Maxim Kontsevich: O matemático que tornou a física rigorosa

Em 1990, um investigador soviético de 25 anos, sem licenciatura universitária, sentou-se num auditório em Bonn e ouviu Michael Atiyah — "um eminente matemático britânico que falou de coisas maravilhosas", como diria mais tarde — descrever uma conjetura escandalosa de Edward Witten sobre a geometria das curvas. Poucos dias depois, num passeio de barco pelo Reno, Kontsevich explicava aos colegas como pretendia prová-la. Foi convidado a regressar a Bonn para um ano completo. Dois anos depois, a prova foi a sua tese de doutoramento.

Khimki, coreano e uma Olimpíada

Nasceu a 25 de agosto de 1964 em Khimki, nos arredores de Moscovo, numa família de rigorosa erudição. O seu pai, Lev Rafailovich Kontsevich, era um especialista líder em coreano no Instituto de Estudos Orientais da Academia de Ciências da Rússia e o autor do sistema Kontsevich, ainda o método padrão para transliterar o coreano para cirílico. A sua mãe era engenheira; o seu irmão mais velho, Leonid, dedicou-se à investigação em imagiologia computacional em São Francisco. Kontsevich atribui ao irmão, e a "alguns livros muito bons", a sua orientação para a matemática e a física.

Os livros fizeram o seu trabalho cedo. Aos dezasseis anos, ficou em segundo lugar na Olimpíada Nacional de Matemática, o que lhe valeu a admissão na Universidade Estatal de Moscovo sem exames de entrada. Estudou lá de 1980 a 1985 sob um corpo docente formidável, sobretudo Israil Gelfand. Publicava aos dezanove anos: "O crescimento da álgebra de Lie gerada por dois campos vetoriais genéricos" com A. A. Kirillov em 1983, seguido de "Álgebras de crescimento intermédio" com Kirillov e A. I. Molev.

O estudante que partiu

Em 1985, abandonou a Universidade Estatal de Moscovo sem obter o grau e juntou-se ao Instituto para os Problemas da Transmissão de Informação da Academia de Ciências, publicando sobre a álgebra de Virasoro e estruturas relacionadas até 1988. Vale a pena refletir sobre isto: o homem que ganharia a Medalha Fields passou os seus vinte e poucos anos como investigador sem diploma num instituto soviético de teoria da informação. Visitou pela primeira vez o Institut des Hautes Études Scientifiques em 1988 e nunca mais o esqueceu.

Quatro problemas

A tese de Bonn, apresentada em 1992 sob a supervisão de Don Zagier, intitulava-se "Teoria da Interseção no Espaço de Moduli de Curvas e a Função Airy Matricial". Provou a conjetura de Witten: que os números de interseção de classes estáveis em espaços de moduli compactificados de curvas algébricas obedecem à hierarquia integrável de Korteweg–de Vries — uma afirmação que liga a geometria das superfícies de Riemann à matemática das ondas em águas pouco profundas, o que não fazia sentido ser verdade. O revisor Clifford Henry Taubes observou que "muitos dos passos nesta prova exibem o talento único de Kontsevich para cálculos combinatórios".

Depois fê-lo mais três vezes em cinco anos. O seu artigo de 1993 sobre os invariantes de nós de Vassiliev introduziu o que é hoje o integral de Kontsevich, um invariante universal de nós e elos; a revisora Joan Birman escreveu que ele tinha "lançado um olhar muito fresco e original" sobre o tema e tornado uma teoria complicada "parecer natural e clara". Provou que toda a variedade de Poisson admite uma quantização de deformação formal, fornecendo fórmulas explícitas no caso plano e resolvendo uma questão fundamental na física matemática. Com Yuri Manin escreveu "Classes de Gromov–Witten, cohomologia quântica e geometria enumerativa" em 1994, e introduziu o espaço de moduli de mapas estáveis que tornou possível a contagem rigorosa de curvas — a maquinaria por trás dos teoremas sobre curvas racionais em variedades tridimensionais de Calabi–Yau que se provaram decisivos para a simetria espelho. Também escreveu "Geometria simplética formal (não)comutativa" e, mais tarde, com Alexei Belov-Kanel, provou a equivalência das conjeturas de Dixmier e Jacobiana.

A simetria espelho como teoria de categorias

No Congresso Internacional de Matemáticos de 1994, em Zurique, propôs a ideia que hoje ostenta a sua marca mais do que qualquer outra: a simetria espelho homológica. Os teóricos das cordas tinham notado que as variedades de Calabi–Yau surgem em pares espelho cujas estruturas complexas e simpléticas parecem trocar. A conjetura de Kontsevich é que esta é uma equivalência de categorias — que a categoria derivada de feixes coerentes sobre X, um objeto de geometria algébrica pura, é equivalente à categoria derivada de Fukaya do seu espelho Y, um objeto de geometria simplética pura. Converteu uma coincidência observada por um físico numa afirmação estrutural precisa, e tem organizado grandes partes da geometria desde então.

Bures-sur-Yvette

Passou por Harvard, pelo Institute for Advanced Study em Princeton, pela Rutgers e por uma cátedra em Berkeley em meados da década de 1990, depois recusou estabelecer-se na América, apesar de o seu irmão lá estar. Aceitou uma cátedra permanente no IHES em Bures-sur-Yvette, a instituição que admirava desde 1988, e aí permaneceu. Também detém uma cátedra distinta na Universidade de Miami, adquiriu a nacionalidade francesa em 1999 e possui passaportes russo e francês.

Os prémios acumularam-se: o Prémio Henri Poincaré em 1997; a Medalha Fields no Congresso de Berlim de 1998, citado pelo trabalho em geometria algébrica e topologia algébrica; o Prémio Daniel Iagolnitzer; o Prémio Crafoord em 2008, partilhado com Edward Witten, "pelas suas importantes contribuições para a matemática inspiradas pela física teórica moderna"; o Prémio Shaw em 2012; o Prémio Breakthrough em Física Fundamental no mesmo ano; o Prémio Breakthrough em Matemática em 2015; membro da Academia de Ciências de Paris e associado estrangeiro da Academia Nacional de Ciências dos E.U.A.

Por que chamam génio a Maxim

Duas capacidades distintas estão em jogo, e são raramente encontradas juntas. A primeira é um poder de cálculo bruto de um tipo muito particular — a frase de Taubes, "talento único para cálculos combinatórios", é uma avaliação técnica, não um elogio, e descreve a maquinaria que fez com que a conjetura de Witten fosse provada quando ninguém mais conseguia. A segunda é um instinto estrutural para o que os físicos estão realmente a dizer. Os teóricos das cordas produziram afirmações deslumbrantes e não rigorosas ao longo das décadas de 1980 e 1990; o hábito de Kontsevich era encontrar o objeto matemático sobre o qual essas afirmações tratavam secretamente, e depois enunciá-lo numa forma com a qual os matemáticos pudessem trabalhar. A simetria espelho homológica é o exemplo mais puro: uma coincidência física transformada numa equivalência categórica. A observação de Birman de que ele faz uma teoria complicada "parecer natural e clara" aponta para a mesma faculdade de outro ângulo.

O contra-argumento honesto tem três partes. Grande parte da matéria-prima não era sua — Witten conjeturou, Vassiliev definiu os invariantes, os físicos encontraram a simetria espelho; o papel de Kontsevich foi tornar as coisas rigorosas, o que é indispensável, mas derivativo por construção. Em segundo lugar, a sua ideia isolada mais celebrada permanece uma conjetura: a simetria espelho homológica não está provada em geral mais de trinta anos depois, e conjeturas são baratas face a teoremas. Em terceiro lugar, "génio" é uma moeda que circula livremente na matemática, e os testemunhos públicos específicos sobre Kontsevich tendem a elogiar a técnica e a originalidade em vez de recorrerem à palavra. A afirmação defensável é mais estreita e ainda assim extraordinária: durante cerca de uma década, ele foi o tradutor mais fiável entre a física teórica e a matemática rigorosa que qualquer um dos campos teve.

Legado

Programas inteiros de investigação correm agora sobre as suas definições — mapas estáveis, o integral de Kontsevich, quantização de deformação, o enquadramento da categoria de Fukaya da simetria espelho. Permanece no IHES, ainda a trabalhar, e a conjetura que lançou num palco de Zurique em 1994 continua a gerar mais matemática do que a maioria das provas concluídas.