Marc Lackenby: O homem que desvendou o nó trivial

"Ainda não se conhece nenhum método sistemático pelo qual se possa dizer se dois nós são iguais." Foi o que disse Alan Turing em 1954, apontando um dos problemas matemáticos concretos mais obstinadamente não resolvidos: dado um emaranhado de corda com as pontas unidas, decidir se ele está genuinamente dado um nó. Max Dehn colocou o problema em 1910. Wolfgang Haken produziu o primeiro algoritmo em 1961, mas ele era irremediavelmente lento em qualquer coisa complicada. Em 2 de fevereiro de 2021, na UC Davis, Marc Lackenby anunciou que a questão poderia ser resolvida em n elevado à potência c log n passos — tempo quase polinomial, um pouco menos da eficiência que os cientistas da computação consideram a marca de um problema genuinamente tratável. Os matemáticos de Oxford chamaram-lhe um tour-de-force gordiano.

Cambridge e a escola de Lickorish

Lackenby foi para Cambridge estudar matemática em 1990 e permaneceu para o seu doutoramento, concluído em 1997 sob a orientação de W. B. R. Lickorish com uma tese intitulada "Dehn Surgery and Unknotting Operations". Lickorish é uma das figuras centrais da teoria dos nós do século XX, e os tópicos da tese — a cirurgia de Dehn e o desnodamento — continuariam a ser reconhecidamente os temas de Lackenby um quarto de século depois. Poucos matemáticos escolhem o seu território tão cedo e depois continuam a encontrar coisas novas nele.

Ele ocupou uma bolsa de investigação Miller na UC Berkeley e uma bolsa de investigação de volta a Cambridge antes de se mudar para Oxford em 1999 como professor e membro do St Catherine's College. A promoção a professor catedrático seguiu-se em 2006. O seu trabalho abrange a teoria dos nós, a topologia de baixa dimensão e a teoria dos grupos — três assuntos que, em três dimensões, acabam por ser mais ou menos o mesmo assunto visto de ângulos diferentes.

Preenchendo os buracos

A cirurgia de Dehn é a operação no centro da topologia tridimensional: corta-se um tubo sólido à volta de um nó e depois cola-se de volta de forma diferente. Quase todas as variedades de três dimensões podem ser produzidas desta forma, pelo que compreender a operação significa compreender os objetos.

A questão que importa é quando o resultado permanece hiperbólico — a geometria hiperbólica sendo a estrutura que torna uma variedade de três dimensões rígida e analisável, e a sua ausência sendo onde começa o deserto. O teorema 2π fornece um critério geométrico que garante que a cirurgia preserva a hiperbolicidade. Lackenby provou uma versão reforçada do mesmo. Esse é um tipo de resultado característico dele: não a descoberta de uma nova paisagem, mas o aprimoramento de uma linha limite existente, feito de forma suficientemente boa para que muito mais território caia no lado útil dela.

Nós alternados e volume

Um segundo fio liga a imagem de um nó à sua geometria. Desenhe um nó como um diagrama numa página e terá combinatória — cruzamentos, arcos, regiões. Considere o espaço à volta do nó e terá geometria, com um volume hiperbólico associado. Estes são tipos de informação totalmente diferentes, e relacioná-los é um dos projetos profundos da área.

Lackenby produziu limites para o volume hiperbólico de complementos de nós para nós alternados — a classe em que os cruzamentos alternam acima, abaixo, acima, abaixo à medida que se percorre o nó — ligando um invariante geométrico a algo que se pode literalmente contar num desenho. Resultados deste tipo são o que torna a geometria dos nós computável em vez de meramente contemplável.

Os movimentos de Reidemeister, contados

Qualquer diagrama de um nó pode ser transformado em qualquer outro diagrama do mesmo nó através de uma sequência de três manipulações elementares, os movimentos de Reidemeister. Isso é conhecido desde a década de 1920, e é inútil por si só: nada lhe diz quantos movimentos são necessários, e a sequência pode ter de passar por diagramas muito mais desordenados do que qualquer um dos pontos finais antes de se simplificar. É exatamente por isso que o desnodamento é difícil — muitas vezes tem de tornar um emaranhado pior antes que possa melhorar.

Lackenby mostrou que um diagrama do nó trivial pode ser desfeito num número de movimentos de Reidemeister polinomial em relação ao número de cruzamentos. O pessimismo estava fora de lugar. Existe sempre um caminho razoavelmente curto para o círculo trivial, mesmo que encontrá-lo seja outra questão.

Tempo quase polinomial

O que nos leva a 2021. O problema do reconhecimento do nó trivial tinha acumulado muitos algoritmos após o de Haken, recorrendo à topologia e à geometria, e quase todos eram catastroficamente lentos quando os nós se tornavam complicados. Se existia um algoritmo de tempo polinomial tornou-se uma das famosas questões em aberto na fronteira da topologia e da ciência da computação. William Thurston, em 2011, disse-o claramente: "Muita gente pensou nesta questão... mas esta tem sido uma questão muito difícil de resolver".

O limite n^(c log n) de Lackenby não o resolve completamente. O quase polinomial é mais lento que o polinomial. Mas a lacuna entre o quase polinomial e tudo o que veio antes é enorme, e a lacuna entre o quase polinomial e o polinomial é, em termos práticos e conceptuais, pequena. Um problema que Turing tinha listado entre os indomáveis está agora, essencialmente, domado.

Por que Marc é chamado de génio

A qualidade em exibição não é a velocidade nem a amplitude. É uma espécie de profundidade paciente: ficar com o mesmo grupo de questões — cirurgia de Dehn, desnodamento, a geometria dos complementos de nós — durante vinte e cinco anos, acumulando técnica até que problemas que tinham resistido a gerações se tornaram alcançáveis. O resultado sobre o nó trivial é a evidência mais clara, porque não caiu graças a um truque inteligente. Caiu perante alguém que tinha passado uma carreira a construir a maquinaria específica necessária e conseguia ver, onde outros não conseguiam, que combinação de ferramentas topológicas e geométricas se comporia.

O reconhecimento dos seus pares tem sido consistente em vez de sensacional: o Prémio Whitehead da Sociedade Matemática de Londres em 2003, um Prémio Philip Leverhulme em matemática e estatística em 2006, um convite para falar no Congresso Internacional de Matemáticos em 2010 — o sinal mais fiável da disciplina de que um corpo de trabalho importa. O anúncio de 2021 usou a linguagem mais forte, com Oxford a recorrer ao termo "tour-de-force".

O contra-argumento tem de ser declarado. Nenhuma fonte regista alguém a chamar Lackenby de génio, e a cultura matemática a que ele pertence é notavelmente poupada com a palavra. O seu trabalho baseia-se diretamente em Haken, Thurston, Lickorish e toda a tradição de superfícies normais; o algoritmo quase polinomial é uma melhoria espetacular dentro de uma estrutura estabelecida, não uma nova estrutura. Também não é polinomial, o que significa que a questão principal ainda está tecnicamente em aberto. E a topologia de baixa dimensão, apesar de toda a sua beleza, é uma área especializada — os seus resultados são famosos entre os topólogos e largamente desconhecidos fora dela. O que está fora de questão é que ele resolveu algo que resistiu durante um século, e fê-lo conhecendo a sua própria matéria mais profundamente do que qualquer outra pessoa.

Legado

O que Lackenby fez, ao longo de todos os quatro fios do seu trabalho, é tornar a teoria dos nós eficaz. Limitar volumes contando cruzamentos, limitar o desnodamento contando movimentos, limitar o reconhecimento contando passos — em cada caso um objeto que podia ser contemplado tornou-se um objeto que pode ser computado. Essa mudança é o que transforma uma bela teoria numa teoria utilizável, e é a razão pela qual o resultado de 2021 viajou muito além da topologia para a ciência da computação teórica. Dehn colocou a questão em 1910. Levou 111 anos e um professor em Oxford que se recusou a trabalhar em qualquer outra coisa.