Leopold Kronecker: Deus criou os números inteiros

"Die ganzen Zahlen hat der liebe Gott gemacht, alles andere ist Menschenwerk" — Deus criou os números inteiros, todo o resto é obra do homem. Heinrich Weber registrou a frase, e ela sobreviveu a quase tudo o mais que seu autor disse, porque não é uma digressão piedosa, mas uma declaração de guerra. O homem que a proferiu passou suas décadas finais tentando livrar a matemática moderna dos objetos infinitos que seus colegas estavam ocupados inventando, e ele fez inimigos suficientes fazendo isso a ponto de um dos maiores analistas da Europa quase deixar Berlim para se afastar dele.

Liegnitz e um professor chamado Kummer

Leopold Kronecker nasceu em 7 de dezembro de 1823 em Liegnitz, Prússia — hoje Legnica, Polônia — em uma família judia rica. Seus pais, Isidor e Johanna, nascida Prausnitzer, contrataram tutores particulares em casa antes de enviá-lo ao Ginásio de Liegnitz, onde ele explorou a ciência, a história e a filosofia, e praticou natação e ginástica com o mesmo apetite. Seu irmão mais novo, Hugo, tornou-se um distinto fisiologista. No Ginásio, seu professor de matemática era Ernst Kummer, que notou o talento e o impulsionou — uma relação que moldaria o resto da vida de Kronecker, já que as carreiras dos dois homens continuaram convergindo.

Ele se matriculou na Universidade de Berlim em 1841, indeciso entre a astronomia, a filosofia e a matemática, passou o verão de 1843 estudando astronomia em Bonn, depois seguiu Kummer para Breslau em 1843-44 antes de retornar a Berlim, onde em 1845 defendeu uma dissertação em teoria algébrica dos números sob a orientação de Peter Gustav Lejeune Dirichlet.

O empresário que fazia matemática

O que ele fez a seguir foi incomum para um homem de seus dons: nada acadêmico. Ele voltou para casa para administrar uma grande propriedade agrícola e cuidar dos negócios da família. Casou-se com sua prima Fanny Prausnitzer em 1848 e teve seis filhos. Ele foi, por cerca de uma década, um próspero empresário provincial que publicava matemática original paralelamente — incluindo um artigo de 1853 sobre a solubilidade algébrica de equações que estendia o trabalho de Galois, e um tratamento de 1850 da quíntica usando a teoria dos grupos (não por radicais, o que Abel e Ruffini já haviam demonstrado ser impossível).

O negócio teve sucesso suficiente para que, em 1855, ele pudesse retornar a Berlim e simplesmente viver lá como um acadêmico privado sem cargo e sem necessidade de um. A eleição para a Academia de Berlim em 1861 deu-lhe o direito de lecionar na universidade, o que começou a fazer em 1862; ele ensinou por duas décadas sem uma cátedra. Em 1866, ele recusou a cátedra de matemática em Göttingen — a sede de Gauss e Dirichlet, indiscutivelmente a posição mais prestigiosa na matemática europeia — preferindo Berlim. Somente em 1883, quando Kummer se aposentou, ele aceitou uma cátedra ordinária, sucedendo o mestre-escola que o descobrira.

O sonho mais querido da teoria dos números

A matemática de Kronecker é do tipo que semeia uma disciplina em vez de fechá-la. Ele formulou em 1853 o que se tornou o teorema de Kronecker-Weber, cuja prova completa David Hilbert forneceu mais tarde. Ele introduziu o teorema da estrutura para grupos abelianos finitamente gerados, um dos resultados de suporte da álgebra moderna. Ele trabalhou em funções elípticas e conjecturou o que chamou de seu "liebster Jugendtraum" — sonho mais querido da juventude — uma visão da teoria de corpos de classes explícita que Hilbert incorporou mais tarde ao seu décimo segundo problema, onde permanece um programa de pesquisa vivo.

Na teoria algébrica dos números, ele construiu uma teoria de divisores como alternativa à teoria dos ideais de Dedekind, e fê-lo por razões filosóficas em vez de técnicas: divisores podiam ser manuseados por construção explícita, enquanto ideais exigiam conjuntos infinitos. A abordagem de Dedekind venceu o século, e a de Kronecker foi amplamente tratada como uma curiosidade — até que o século XX a reviveu. Seu nome está agora ligado a uma quantidade improvável de mobiliário matemático: o delta de Kronecker, o produto de Kronecker, o símbolo de Kronecker, a fórmula limite de Kronecker, teorema de Kronecker, lema de Kronecker, teorema de Kronecker-Capelli, substituição de Kronecker.

A guerra contra o infinito

A posição filosófica que gerou a teoria dos divisores gerou todo o resto, inclusive a inimizade. Kronecker sustentava que a matemática deveria ser construída a partir dos números inteiros por construção finita e explícita — uma doutrina agora chamada finitismo, que fez dele um precursor do intuicionismo. Ele contribuiu para o conceito de continuidade e para a reconstrução dos números irracionais na análise real, mas rejeitou a função contínua em toda parte não diferenciável de Weierstrass por motivos filosóficos, e atacou a teoria dos conjuntos de Georg Cantor, com sua hierarquia de infinitos atuais, como ilegítima.

Ele não restringiu essas visões a seminários. Sua campanha estressou tanto sua relação com Karl Weierstrass que em 1888 Weierstrass quase deixou a universidade. No último ano de sua vida, Kronecker converteu-se ao cristianismo. Ele morreu em Berlim em 29 de dezembro de 1891 e foi enterrado no cemitério Alter St. Matthäus Kirchhof em Schöneberg.

Por que Leopold é chamado de gênio

O caso repousa sobre uma combinação específica e rara: o instinto de um algebrista para a estrutura aliado a uma demanda quase obsessiva por conteúdo construtivo. Kronecker parece ter sido incapaz de aceitar um objeto matemático que ele não pudesse, em princípio, construir — e essa restrição, que parece uma limitação, funcionou como um gerador. Ela produziu a teoria dos divisores, o teorema da estrutura para grupos abelianos finitamente gerados, o teorema de Kronecker-Weber e o Jugendtraum, vários dos quais reorganizaram suas áreas. Suas conjecturas também eram incomumente bem direcionadas: diz algo o fato de que Hilbert dedicou um esforço significativo para provar uma delas e consagrar outra como um problema nomeado.

O contra-argumento honesto é que seu julgamento sobre a matemática como um todo era pobre, e a um custo alto. Ele estava errado sobre a função patológica de Weierstrass, que é agora material padrão de graduação. Ele estava errado sobre Cantor, cuja aritmética transfinitas tornou-se fundamental. Sua teoria dos divisores preferida foi obscurecida pelos ideais de Dedekind por quase um século, o que sugere que seus escrúpulos construtivos custaram um poder expressivo real na época. E ele defendeu essas convicções com uma ferocidade pessoal que quase expulsou de Berlim um colega do porte de Weierstrass — uma conduta que historiadores não conseguiram desculpar como mera rigidez. O resumo justo é que Kronecker foi um matemático de primeiro escalão e um profeta de segundo escalão: seus teoremas envelheceram muito melhor do que suas opiniões, e suas objeções filosóficas revelaram-se mais úteis como uma posição minoritária permanente dentro da matemática do que como o programa que ele pretendia.

Legado

Ele foi eleito para a Academia Prussiana de Ciências em 1861, a Academia Francesa de Ciências em 1868 e a Royal Society em 1884, e o asteroide 25624 Kronecker leva seu nome. Ele supervisionou Kurt Hensel, Adolf Kneser, Mathias Lerch e Franz Mertens — os números p-ádicos de Hensel sendo um descendente direto do impulso construtivo. O renascimento da sua teoria dos divisores no século XX, e a sobrevivência do intuicionismo como uma alternativa fundamental séria, significam que o homem que perdeu o argumento em sua vida nunca o perdeu inteiramente.