Kiyoshi Itō: O matemático que deu um cálculo à aleatoriedade

Por mais de uma década após Kiyoshi Itō publicar o artigo que fundou o cálculo estocástico moderno, quase ninguém o leu. «Não conheço ninguém que tenha lido este artigo minuciosamente quando ele apareceu, exceto o meu amigo G. Maruyama», admitiu ele mais tarde. Seis décadas depois, a fórmula contida nesse artigo — uma forma de fazer cálculo em processos demasiado irregulares para o cálculo ordinário tocar — funcionava silenciosamente dentro de todas as mesas de precificação de opções dos bancos de todo o mundo e, em 2006, aos 91 anos, Itō tornou-se a primeira pessoa a ser galardoada com o Prémio Gauss, a mais recente honra da matemática especificamente destinada a trabalhos cujas consequências no mundo real empequeneceram as expectativas do seu autor.

O projeto secundário de um estatístico em tempo de guerra

Itō nasceu a 7 de setembro de 1915 em Hokusei-cho, na Prefeitura de Mie, no Japão. Estudou matemática na Universidade Imperial de Tóquio, graduando-se em 1938, e, enquanto estudante, sentiu-se insatisfeito com a literatura de teoria das probabilidades da época, que, na sua opinião, carecia de uma definição rigorosa de variável aleatória. Essa insatisfação transformou-se num programa de investigação. A partir de 1938, trabalhou no Gabinete de Estatística do Gabinete do Japão, um cargo da função pública em tempo de guerra que, de forma invulgar, lhe deu cobertura institucional para prosseguir investigação teórica pura em paralelo; foi lá, em 1942, que escreveu o artigo «On Stochastic Processes» (Sobre processos estocásticos), que reconstruiu a partir dos princípios fundamentais a teoria da integração estocástica — integrar em relação a um processo que flutua aleatoriamente em vez de uma curva suave.

Construindo um cálculo para o movimento browniano

O objeto matemático que Itō precisava de domar era o movimento browniano, o ziguezague errático usado pela primeira vez para modelar a agitação de grãos de pólen na água: um caminho tão irregular que tem variação não limitada e não pode ser diferenciado no sentido ordinário. A solução de Itō teve três partes interligadas. Definiu um novo tipo de integral, agora chamado integral de Itō, que dava sentido à integração em relação ao movimento browniano. Usou-o depois para formular equações diferenciais estocásticas — expressões da forma dX(t) = σ(X(t))dB(t) + b(X(t))dt — que permitem aos matemáticos descrever e manipular diretamente caminhos de amostra aleatórios individuais, em vez de apenas as distribuições de probabilidade que esses caminhos possam produzir. E derivou o que o campo agora chama de Lema de Itō, uma fórmula, df(X(t)) = f′(X(t))dX(t) + ½f″(X(t))σ²(X(t))dt, sobre como uma função de um processo estocástico muda por si mesma ao longo do tempo — a regra da cadeia do cálculo ordinário, reconstruída para dar conta do termo extra da aleatoriedade. Entre ambos, estes resultados sintetizaram duas tradições anteriormente separadas: o pensamento probabilístico intuitivo e de caminhos amostrais do matemático francês Paul Lévy e os fundamentos rigorosos da teoria da medida estabelecidos por Andrei Kolmogorov.

Uma carreira através de continentes

Itō obteve o seu doutoramento em 1945 e, após a guerra, lecionou como professor assistente na Universidade Imperial de Nagoya de 1943 a 1952. Mudou-se para a Universidade de Quioto em 1952, onde manteve um cargo de professor até 1979, intercalado com nomeações internacionais: dois anos no Institute for Advanced Study em Princeton a partir de 1954, uma cátedra na Universidade de Aarhus na Dinamarca de 1966 a 1969, e outra na Universidade Cornell de 1969 a 1975. Após 1979, lecionou na Universidade Gakushuin. Através destes cargos, o seu artigo de 1942, outrora negligenciado, construiu lentamente um seguimento internacional, e os próprios estudantes de Itō no Japão — entre eles Shinzo Watanabe, Masatoshi Fukushima e Hiroshi Kunita — expandiram os seus métodos para espaços de dimensões infinitas e processos de Markov simétricos gerais, transformando o Japão num dos principais centros mundiais da teoria das probabilidades.

Reconhecimento e o Prémio Gauss

As honras acumularam-se de forma constante ao longo da carreira posterior de Itō: o Prémio Asahi do Japão em 1978, o Prémio Imperial e o Prémio da Academia do Japão no mesmo ano, o Prémio Fujiwara em 1985, o Prémio Wolf de Matemática em 1987 e o Prémio Quioto em Ciências Básicas em 1998. Foi eleito para a Academia Nacional de Ciências dos Estados Unidos e para a Académie des Sciences de França e recebeu doutoramentos honoris causa pela Universidade de Warwick e pela ETH de Zurique. O ponto alto ocorreu em 2006, quando a União Matemática Internacional criou o Prémio Carl Friedrich Gauss especificamente para homenagear trabalhos matemáticos de excecional importância prática, e nomeou Itō — então com 91 anos — como o seu primeiro destinatário no Congresso Internacional de Matemáticos em Madrid. O próprio Itō pareceu surpreendido com o enquadramento da honra: «o facto de o meu trabalho ter sido escolhido para o Prémio Gauss para aplicações da matemática é verdadeiramente inesperado e profundamente gratificante», afirmou, acrescentando que sempre considerara a sua investigação como pertencendo à matemática pura.

Do quadro negro à sala de negociação

Essa modéstia desvalorizava o alcance do que ele tinha construído. O cálculo de Itō tornou-se a infraestrutura matemática por trás das finanças quantitativas modernas: o modelo de precificação de opções de Black-Scholes e o campo mais amplo das finanças estocásticas assentam diretamente na resolução de equações diferenciais estocásticas do tipo Itō para preços de ativos. Além das finanças, o seu quadro tornou-se uma ferramenta padrão na teoria de filtragem e processamento de sinais, na genética de populações para modelar a deriva genética e na física estatística para descrever sistemas fustigados por ruído aleatório. Poucos resultados matemáticos do século XX gerados num gabinete de estatística governamental, num artigo que quase ninguém leu inicialmente, podem gabar-se de estar agora integrados no software de todos os grandes bancos.

Porque é que Kiyoshi é chamado de génio

O argumento a favor do génio de Itō é restrito mas forte: ele não resolveu simplesmente um problema em aberto, construiu a linguagem — o integral, a equação, a regra de diferenciação — que todo um campo subsequente necessitava antes de sequer poder colocar as suas questões. Os matemáticos que trabalharam na sua tradição descrevem a sua construção de 1942 como o momento em que a análise estocástica se tornou rigorosa em vez de heurística, unindo a intuição de Lévy com o formalismo de Kolmogorov em ferramentas suficientemente precisas para suportar o peso que mais tarde lhes seria colocado por economistas e físicos. A complicação honesta é que isto não foi um clarão de perspicácia reconhecido instantaneamente — demorou mais de uma década, segundo o próprio Itō, até que mais do que um ou dois matemáticos se envolvessem seriamente com o trabalho, e a sua importância prática explosiva nas finanças só se tornou visível décadas mais tarde, impulsionada substancialmente por economistas (Fischer Black, Myron Scholes, Robert Merton) que aplicavam ferramentas que Itō tinha construído para outros fins. O seu génio, por outras palavras, foi a construção paciente e solitária de uma maquinaria exata cujo valor total nem ele próprio anteviu — mais próxima da infraestrutura fundamental de um engenheiro do que de uma única prova deslumbrante.

Legado

Itō faleceu a 10 de novembro de 2008, em Quioto, aos 93 anos. O vocabulário que introduziu — integral de Itō, processo de Itō, lema de Itō — está hoje tão enraizado na teoria das probabilidades, na física e nas finanças que é ensinado a estudantes de pós-graduação com quase nenhuma menção à sua origem num gabinete de estatística japonês em tempo de guerra. O Prémio Gauss que coroou a sua carreira é agora atribuído anualmente a matemáticos cujo trabalho teórico remodelou um campo externo; a própria vida de Itō forneceu o modelo que o prémio foi inventado para homenagear.