Georg Cantor: O homem que tornou o infinito contável

Em janeiro de 1874, Cantor colocou uma questão ao seu amigo Richard Dedekind: "Pode uma superfície (digamos, um quadrado que inclui a fronteira) ser referida univocamente a uma linha... de modo que para cada ponto da superfície haja um ponto correspondente da linha e, inversamente?" Ele supôs que a resposta era obviamente não. Três anos depois, provou que era sim — que um quadrado inteiro, e de fato um espaço de qualquer número de dimensões, contém exatamente tantos pontos quanto um único segmento de linha. Escreveu logo a Dedekind: "Eu vejo-o, mas não acredito nele!"

Filho de um comerciante em São Petersburgo

Georg Ferdinand Ludwig Philipp Cantor nasceu em 3 de março de 1845 em São Petersburgo. O seu pai, Georg Waldemar Cantor, era um comerciante de sucesso; a sua mãe, Maria Anna Böhm, era russa e notavelmente musical. Em 1856, quando Georg tinha onze anos, a saúde do seu pai forçou a família a mudar-se para a Alemanha, onde se estabeleceram primeiro em Wiesbaden.

Frequentou o ginásio em Frankfurt e a Realschule em Darmstadt, graduando-se em 1860 com notas excecionais em matemática e trigonometria. O seu pai destinava-o à engenharia; Cantor obteve permissão para estudar matemática em vez disso. Entrou na Politécnica de Zurique em 1862 e, após a morte do seu pai em junho de 1863, transferiu-se para a Universidade de Berlim, onde estudou com Weierstrass, Kummer e Leopold Kronecker, e tornou-se amigo de Hermann Schwarz. A sua dissertação, sobre equações indeterminadas, foi concluída em 1867.

Halle, e o problema de Heine

Após um período a ensinar numa escola feminina de Berlim, Cantor juntou-se à Universidade de Halle em 1869 — a instituição provincial onde passaria toda a sua carreira. O seu colega Heine entregou-lhe um problema de longa data sobre a unicidade das representações de séries trigonométricas. Cantor resolveu-o em abril de 1870.

Esse problema é a semente de tudo. Seguir os pontos excecionais onde tal série poderia comportar-se mal forçou-o a pensar seriamente sobre conjuntos infinitos de pontos, e por 1872 tinha definido os números irracionais por meio de sequências convergentes de racionais e começado a correspondência com Dedekind que o sustentaria durante uma década.

Mais do que um infinito

Em 1874, Cantor publicou o resultado que abriu o mundo. Provou que os números racionais podem ser postos em correspondência um-para-um com os números naturais — são contáveis — enquanto os números reais não podem. Não há um infinito; há pelo menos dois, e são de tamanhos diferentes.

O método era o critério que ele tinha inventado: duas coleções têm o mesmo tamanho se os seus membros puderem ser emparelhados exatamente, não importa quão grandes sejam. Parecia um truque, e as suas consequências foram imediatas e ultrajantes. Cantor observou que se seguia que "quase todos" os números são transcendentais em vez de algébricos — uma prova de existência para toda uma classe de números, alcançada sem exibir um único.

O transfinito

O seu artigo de 1878 no Journal de Crelle introduziu o termo "conjuntos enumeráveis". A hostilidade de Kronecker quase bloqueou a sua publicação e Dedekind teve de intervir; Cantor nunca mais submeteu nada a Crelle.

Entre 1879 e 1884, publicou seis artigos na Mathematische Annalen fundando a teoria dos conjuntos. O Grundlagen einer allgemeinen Mannigfaltigkeitslehre de 1883 apresentou os números transfinitos como "uma extensão autónoma e sistemática dos números naturais" — não como paliativos ou limites, mas números que se podem ordenar e com os quais se pode fazer aritmética. Ele sabia o que estava a fazer: "Percebo que neste empreendimento coloco-me em certa oposição a opiniões amplamente defendidas sobre o infinito matemático."

Ele denotou os cardinais transfinitos com a letra hebraica aleph, ℵ₀ sendo o menor, e expressou o tamanho dos números reais como 2^ℵ₀. Isso levantou a questão que consumiu o resto da sua vida. É o contínuo o próximo infinito a seguir ao contável — é 2^ℵ₀ = ℵ₁? Contra o construtivismo de Kronecker, ele emitiu o seu manifesto: "a essência da matemática reside precisamente na sua liberdade."

Colapso, Bacon e o Papa

Cantor sofreu a sua primeira depressão registada em maio de 1884. A velha história é que a perseguição de Kronecker o levou à loucura; a leitura moderna inverte a causalidade, sustentando que a depressão magnificou as suas preocupações matemáticas em vez de ser produzida por elas. Ele alternou durante anos entre acreditar que tinha provado a hipótese do contínuo como verdadeira e acreditar que a tinha provado como falsa, encontrando o erro de cada vez.

Em 1885, Mittag-Leffler persuadiu-o a retirar um artigo da Acta Mathematica sob o fundamento de que estava cerca de cem anos prematuro. A piada de Cantor foi amarga: "Se Mittag-Leffler tivesse conseguido o que queria, eu teria de esperar até ao ano 1984, o que me parecia uma exigência demasiado grande!" A sua correspondência terminou efetivamente, e com ela o impulso criativo de doze anos que tinha construído a teoria dos conjuntos.

Nos seus períodos depressivos, virou-se para a filosofia e a literatura, fixando-se na teoria de que Francis Bacon escreveu as peças de Shakespeare e publicando panfletos sobre isso em 1896-97. Era também intensamente religioso e acreditava que os números transfinitos lhe tinham sido comunicados por Deus. Correspondeu-se com teólogos católicos sobre a natureza do infinito e escreveu diretamente ao Papa Leão XIII, esperando que a sua matemática pudesse informar a doutrina da igreja.

As últimas décadas

Fundou a Deutsche Mathematiker-Vereinigung por volta de 1890 e serviu como o seu primeiro presidente. Os seus últimos artigos importantes, em 1895 e 1897, examinaram a aritmética transfinita e os conjuntos bem ordenados. No Congresso Internacional de Zurique de 1897, foi publicamente elogiado por Hurwitz e Hadamard e reconciliou-se com Dedekind.

Por essa altura, tinha encontrado as falhas ele próprio, informando Hilbert em 1896 de paradoxos que espreitavam na teoria dos conjuntos; Burali-Forti publicou um independentemente em 1897. As perdas pessoais vieram depressa — a sua mãe em outubro de 1896, o seu irmão em janeiro de 1899, e o seu filho mais novo em 16 de dezembro de 1899. A depressão dominou o resto da sua vida, e após 1900 passou longos períodos na Nervenklinik em Halle, tirando licença do ensino nos invernos de 1902-03, 1904-05 e 1907-08. Recebeu a Medalha Copley da Royal Society e um grau honorário de St Andrews, viajando para lá em 1911 para o 500º aniversário da universidade. Morreu de um ataque cardíaco em Halle em 6 de janeiro de 1918.

Porque é que Georg é chamado um génio

O próprio Hilbert forneceu a palavra, chamando ao trabalho de Cantor "o melhor produto do génio matemático e uma das conquistas supremas da atividade intelectual humana pura". A qualidade específica foi uma vontade de confiar numa definição acima de uma intuição. Todos antes dele tratavam o infinito como uma direção, não como uma quantidade. Cantor propôs um critério para a igualdade de tamanho — emparelhamento exato — aplicou-o sem vacilar a coleções infinitas e seguiu-o para onde quer que levasse, incluindo conclusões que ele próprio não conseguia acreditar. "Eu vejo-o, mas não acredito nele" é a frase de um homem a ser arrastado pela sua própria lógica, e que avança de qualquer modo.

O contra-caso vale a pena ser declarado. Ele nunca resolveu a hipótese do contínuo, e convenceu-se repetidamente de que o tinha feito — em ambas as direções — antes de encontrar os seus erros, o que reflete tanto no seu julgamento como na profundidade do problema. Gödel e Cohen mostraram eventualmente que a hipótese é independente dos axiomas padrão, por isso a coisa que ele perseguiu durante trinta anos não estava lá para ser apanhada. O que ele construiu estava também inacabado e inconsistente: ele descobriu paradoxos no seu próprio sistema, e foi preciso a axiomatização de Zermelo, e mais tarde de Fraenkel e von Neumann, para tornar a teoria dos conjuntos segura. A sua convicção de que os números transfinitos vinham de Deus, o seu lobby junto do Vaticano e os seus panfletos baconianos sugerem uma certeza que nem sempre foi bem calibrada. E nunca obteve a prestigiosa cátedra que queria, passando quarenta anos em Halle.

Legado

A teoria dos conjuntos tornou-se o fundamento sobre o qual descansa a matemática moderna, desde os Principia Mathematica aos axiomas de Zermelo-Fraenkel que os matemáticos ainda usam. O tributo de Hilbert é o que ficou: ninguém nos expulsará do paraíso que Cantor criou.