Dudley E. Littlewood: A regra que ele não conseguiu provar

Em 1934, dois matemáticos de um pequeno colégio universitário galês publicaram uma lei combinatória que rege como certos objetos algébricos se multiplicam. Eles enunciaram-na como um teorema. Provaram-na apenas num punhado de casos especiais simples, e o exemplo prático que ofereceram para a ilustrar continha erros. A regra era, contudo, correta. A profissão demorou quarenta anos a demonstrá-lo, altura em que se tinha tornado um dos resultados mais utilizados na álgebra moderna. Como disse o teórico das representações Gordon James, a regra de Littlewood-Richardson "ajudou a levar homens à Lua, mas não foi provada até depois de eles chegarem lá".

De Tottenham a Trinity

Dudley Ernest Littlewood nasceu em Londres a 7 de setembro de 1903, filho único de Ada Piper e Harry Bramley Littlewood, funcionário de um advogado. Não houve herança matemática nem dinheiro; ele chegou onde chegou graças aos exames. Da Tottenham County School em Middlesex, ganhou uma bolsa de estudo estatal e uma bolsa de entrada para o Trinity College, em Cambridge.

Em Trinity, o seu tutor de licenciatura foi John Edensor Littlewood — o célebre analista e colaborador de Hardy, sem qualquer parentesco, uma coincidência que tem confundido as bibliografias desde então. Licenciou-se em 1925 como wrangler no Mathematical Tripos, na mesma coorte que Hall e Hodge. Depois, à maneira do mercado académico do período entre guerras, nada aconteceu. Ele deu aulas na escola. Em 1928, aceitou um cargo temporário de professor a tempo parcial no University College de Swansea, seguido de um breve cargo no Queen's College, Dundee. Casou-se com Muriel Doris Dyson em 1930; o filho deles nasceu em 1935.

Swansea e Richardson

Swansea é onde a sua vida matemática realmente começou, e começou por causa de um colega. Archibald Read Richardson, professor lá, introduziu Littlewood à álgebra — um campo no qual ele não tinha trabalhado anteriormente. Regressou a Swansea como professor assistente em 1930 e tornou-se professor em 1934, permanecendo até 1947. Os seus primeiros artigos tratavam de álgebras de quaterniões e teoria dos invariantes, trabalho respeitável que não dava qualquer sinal particular do que estava para vir.

O que veio foi o artigo de 1934 escrito com Richardson, "Group characters and algebras". Introduziu o immanante de uma matriz — uma generalização que se situa entre o determinante e o permanente — e abordou as funções S, agora universalmente chamadas funções de Schur, que codificam os caracteres dos grupos simétricos e lineares gerais. O artigo colocava a pergunta seguinte óbvia: o que acontece quando se multiplicam duas funções de Schur? A resposta que propuseram é que o produto se decompõe numa soma de funções de Schur cujos coeficientes contam certos quadros — arranjos combinatórios de caixas cheias com números sob regras estritas.

Por que a regra é importante

Essa única afirmação acabou por se situar numa encruzilhada onde vários campos se encontram. Os coeficientes de Littlewood-Richardson dão as multiplicidades quando os produtos tensoriais de representações de dimensão finita são decompostos, e quando as representações de grupos simétricos são induzidas. São as constantes de estrutura do anel de funções simétricas na base de Schur. E na geometria algébrica reaparecem como números de interseção em Grassmannianos, contando como as variedades de Schubert se encontram — uma ligação que ninguém em 1934 procurava. O próprio Littlewood procurou as aplicações da teoria das representações à mecânica quântica.

A prova, no entanto, estava em falta. Gilbert de Beauregard Robinson afirmou em 1938 tê-la completado, mas a sua exposição era suficientemente obscura para que as lacunas passassem despercebidas durante décadas; Ian Macdonald ainda estava a preencher algumas delas em 1995. Os primeiros argumentos que satisfizeram os padrões modernos vieram de Glânffrwd P. Thomas em 1974 e Marcel-Paul Schützenberger em 1977, construídos sobre a maquinaria combinatória da correspondência de Robinson-Schensted desenvolvida por Schensted, Schützenberger e Donald Knuth. Cerca de quatro décadas separaram a alegação da demonstração.

Livros e Bangor

Littlewood transformou a sua investigação no livro que levou o seu nome mais longe, The Theory of Group Characters and Matrix Representations of Groups, publicado em 1940 com uma segunda edição em 1950 — durante uma geração o lugar padrão para aprender o assunto em inglês. Seguiu-se The Skeleton Key of Mathematics em 1949, uma exposição geral que teve várias edições posteriores, e A University Algebra em 1950, revisto em 1961.

Passou de 1947 a 1948 como professor universitário em Cambridge, e depois em 1948 assumiu a cadeira de matemática no University College of North Wales em Bangor, mantendo-a durante vinte e dois anos até à sua reforma em 1970. Os colegas lembravam-se de um homem tímido e reservado, sempre com um sorriso amigável, gentil e solidário, que lia ficção científica e que considerava a filosofia e a religião temas muito mais dignos de investigação do que a matemática — uma admissão invulgar de um professor da disciplina.

Por que Dudley é chamado de génio

A palavra aplica-se a uma faculdade específica e estreita: ele conseguia ver a forma de um mecanismo algébrico antes que alguém pudesse provar que ele tinha essa forma. O seu aluno J. A. Green descreveu-o exatamente — "A força matemática de Littlewood residia na sua extraordinária intuição sobre a forma como certos processos algébricos funcionavam". Os colegas notaram uma forte compreensão intuitiva da matemática formal e uma preferência franca por uma fórmula utilizável em detrimento de uma derivação rigorosa, e observaram que ele pegava nos métodos de Frobenius, Schur e Weyl e retrabalhava-os no seu próprio idioma em vez de os reproduzir. A regra de 1934 é o caso em questão. Littlewood e Richardson chegaram a uma lei combinatória correta sobre objetos que ninguém compreendia totalmente, num domínio onde a intuição é notoriamente pouco fiável, e tiveram razão — enquanto vários matemáticos capazes que tentaram provas ao longo dos quarenta anos seguintes estavam errados.

O contraexemplo é real e não é meramente pedante. Publicaram a regra como um teorema tendo provado apenas casos especiais fáceis, e o exemplo ilustrativo que deram foi mal calculado. Se um revisor tivesse sido mais rigoroso, o resultado poderia ter aparecido como uma conjectura, que era o que era. O trabalho de um matemático é a prova, e por esse padrão, a contribuição mais famosa de Littlewood esteve incompleta durante quatro décadas e terminada por outras pessoas usando ferramentas que ele não tinha. O seu trabalho mais vasto — três livros e uma série de artigos sobre invariantes, álgebras de quaterniões e caracteres de grupo — é sólido e útil em vez de epoch-making, e ele passou a sua carreira em Swansea e Bangor, muito fora dos centros da disciplina. O veredicto honesto é que ele possuía um instinto matemático genuinamente excepcional, desigualmente correspondido pelo rigor para o concretizar; a profissão passou noventa anos a beneficiar do instinto e a reparar o rigor.

Legado

Reformou-se em 1970 e morreu em Llandudno a 6 de outubro de 1979, pouco depois do seu septuagésimo sexto aniversário, na sequência de uma queda em que partiu a perna. Está enterrado em Llanrhos; Muriel sobreviveu-lhe por dez anos. O seu nome é agora pronunciado diariamente por pessoas que não sabem mais nada sobre ele, ligado a uma regra que sustenta o estudo moderno das funções simétricas, a teoria das representações dos grupos clássicos e o cálculo de Schubert. Muito poucos matemáticos têm um teorema com o seu nome. Ainda menos têm um cuja fama chegou antes da sua prova.