Se chegarmos a uma equação contendo em cada lado o mesmo termo mas com coeficientes diferentes, devemos subtrair iguais de iguais até obter um termo igual a outro termo. Mas, se houver termos negativos em um ou em ambos os lados, as deficiências devem ser adicionadas em ambos os lados até que todos os termos em ambos os lados sejam positivos. Então devemos subtrair iguais de iguais até que um termo reste em cada lado.
Diophantus de Alexandria foi um matemático alexandrino, autor de uma série de livros chamada Arithmetica, muitos dos quais estão agora perdidos. Seus textos lidam com a resolução de equações algébricas. Ao ler a edição de Claude Gaspard Bachet de Méziriac da Arithmetica de Diophantus, Pierre de Fermat concluiu que uma certa equação considerada por Diophantus não tinha soluções e anotou na margem, sem elaboração, que havia encontrado "uma prova verdadeiramente maravilhosa desta proposição," agora conhecida como Último Teorema de Fermat. Isto levou a avanços tremendos na teoria dos números, e o estudo das equações diofantinas "geometria diofantina" e das aproximações diofantinas continuam sendo áreas importantes da pesquisa matemática. Diophantus cunhou o termo παρισότης parisotes para se referir a uma igualdade aproximada. Este termo foi traduzido como adaequalitas em latim e se tornou a técnica de adequality desenvolvida por Pierre de Fermat para encontrar máximos de funções e retas tangentes a curvas. Diophantus foi o primeiro matemático grego que reconheceu frações como números; assim ele permitiu números racionais positivos para os coeficientes e soluções. No uso moderno, equações diofantinas são geralmente equações algébricas com coeficientes inteiros, para as quais se buscam soluções inteiras.
Biografia
Pouco se sabe sobre a vida de Diophantus. Ele viveu em Alexandria, Egito, durante a era romana, provavelmente entre 200 e 214 d.C. até 284 ou 298. Diophantus foi descrito variavelmente por historiadores como grego, ou possivelmente egípcio helenizado, ou babilônico helenizado. Muitas destas identificações podem originar-se de confusão com o retórico do século IV Diophantus o Árabe. Muito de nosso conhecimento sobre a vida de Diophantus é derivado de uma antologia grega do século V de jogos numéricos e quebra-cabeças criada por Metrodorus. Um dos problemas às vezes chamado de seu epitáfio afirma:
'Aqui jaz Diophantus,' a maravilha se vê.
Pela arte algébrica, a pedra conta qual era sua idade:
'Deus lhe deu sua infância um sexto de sua vida,
Um doze avos a mais como juventude enquanto a barba brotava;
E então um sétimo antes do casamento começar;
Em cinco anos veio um filho saltitante e novo.
Ai, o querido filho do mestre e sábio
Depois de atingir metade da medida da vida de seu pai, o destino frio o levou. Após consolar seu destino pela ciência dos números por quatro anos, ele terminou sua vida.'
Este quebra-cabeça implica que a idade x de Diophantus pode ser expressa como
x = x/6 + x/12 + x/7 + 5 + x/2 + 4
o que dá a x um valor de 84 anos. Porém, a precisão das informações não pode ser confirmada independentemente.
Na cultura popular, este quebra-cabeça foi o Quebra-cabeça nº 142 em Professor Layton and Pandora's Box como um dos quebra-cabeças mais difíceis de resolver no jogo, que precisava ser desbloqueado resolvendo outros quebra-cabeças primeiro.
Arithmetica
Arithmetica é a obra principal de Diophantus e a obra mais proeminente sobre álgebra na matemática grega. É uma coleção de problemas dando soluções numéricas de equações determinadas e indeterminadas. Dos treze livros originais dos quais Arithmetica consistia, apenas seis sobreviveram, embora haja alguns que acreditam que quatro livros árabes descobertos em 1968 também são de Diophantus. Alguns problemas diofantinos de Arithmetica foram encontrados em fontes árabes.
Deve ser mencionado aqui que Diophantus nunca usou métodos gerais em suas soluções. Hermann Hankel, renomado matemático alemão, fez a seguinte observação sobre Diophantus.
"Nosso autor Diophantus não apresenta o menor rastro de um método geral e abrangente; cada problema exige algum método especial que se recusa a funcionar mesmo para os problemas mais relacionados. Por essa razão, é difícil para o estudioso moderno resolver o 101º problema mesmo depois de ter estudado 100 soluções de Diophantus".
História
Como muitos outros tratados matemáticos gregos, Diophantus foi esquecido na Europa Ocidental durante a chamada Idade das Trevas, já que o estudo do grego antigo e a alfabetização em geral haviam declinado muito. A porção da Arithmetica grega que sobreviveu, porém, foi, como todos os textos gregos antigos transmitidos ao mundo moderno inicial, copiada por e assim conhecida por estudiosos bizantinos medievais. Escolias sobre Diophantus pelo estudioso grego bizantino John Chortasmenos 1370–1437 são preservadas junto com um comentário abrangente escrito pelo estudioso grego anterior Maximos Planudes 1260 – 1305, que produziu uma edição de Diophantus dentro da biblioteca do Mosteiro Chora em Constantinopla Bizantina. Além disso, uma porção da Arithmetica provavelmente sobreviveu na tradição árabe veja acima. Em 1463, o matemático alemão Regiomontanus escreveu:
Ninguém traduziu ainda do grego para o latim os treze livros de Diophantus, nos quais a flor mais bela de toda a aritmética está oculta . . . .
Arithmetica foi traduzida pela primeira vez do grego para o latim por Bombelli em 1570, mas a tradução nunca foi publicada. Porém, Bombelli tomou emprestados muitos dos problemas para seu próprio livro Algebra. A editio princeps de Arithmetica foi publicada em 1575 por Xylander. A tradução para o latim mais conhecida de Arithmetica foi feita por Bachet em 1621 e se tornou a primeira edição em latim amplamente disponível. Pierre de Fermat possuía uma cópia, estudou-a e fez anotações nas margens.
Anotações nas margens por Fermat e Chortasmenos
A edição de 1621 de Arithmetica por Bachet ganhou fama depois que Pierre de Fermat escreveu seu famoso "Último Teorema" nas margens de sua cópia:
Se um inteiro n é maior que 2, então an + bn = cn não tem soluções em inteiros não-zero a, b e c. Tenho uma prova verdadeiramente maravilhosa desta proposição, mas esta margem é estreita demais para contê-la.
A prova de Fermat nunca foi encontrada, e o problema de encontrar uma prova para o teorema permaneceu sem solução por séculos. Uma prova foi finalmente encontrada em 1994 por Andrew Wiles após trabalhar nela por sete anos. Acredita-se que Fermat não tinha realmente a prova que afirmava ter. Embora a cópia original na qual Fermat escreveu isto esteja perdida hoje, as anotações de Fermat—incluindo o "Último Teorema"—foram impressas nesta versão, que foi publicada em 1670 e editada pelo filho de Fermat. Apesar do texto ser de outra forma inferior à edição de 1621, as anotações de Fermat—incluindo o "Último Teorema"—foram impressas nesta versão.
Fermat não foi o primeiro matemático tão movido a escrever em suas próprias anotações nas margens de Diophantus; o estudioso bizantino John Chortasmenos 1370–1437 havia escrito "Tua alma, Diophantus, esteja com Satanás pela dificuldade de teus outros teoremas e particularmente do presente teorema" próximo ao mesmo problema.
Outras obras
Diophantus escreveu vários outros livros além de Arithmetica, mas muito poucos deles sobreviveram.
Os Porisms
Diophantus mesmo se refere a uma obra que consiste em uma coleção de lemas chamada The Porisms ou Porismata, mas este livro está completamente perdido.
Embora The Porisms esteja perdido, sabemos três lemas contidos lá, já que Diophantus se refere a eles na Arithmetica. Um lema afirma que a diferença dos cubos de dois números racionais é igual à soma dos cubos de dois outros números racionais, isto é, dado qualquer a e b, com a > b, existem c e d, todos positivos e racionais, tais que
a³ − b³ = c³ + d³.
Números poligonais e elementos geométricos
Diophantus também é conhecido por ter escrito sobre números poligonais, um tópico de grande interesse para Pythagoras e os pitagóricos. Fragmentos de um livro tratando de números poligonais existem.
Um livro chamado Preliminaries to the Geometric Elements foi tradicionalmente atribuído a Hero de Alexandria. Foi estudado recentemente por Wilbur Knorr, que sugeriu que a atribuição a Hero está incorreta, e que o verdadeiro autor é Diophantus.
Influência
O trabalho de Diophantus teve grande influência na história. Edições de Arithmetica exerceram uma profunda influência no desenvolvimento da álgebra na Europa no final do século XVI e através dos séculos XVII e XVIII. Diophantus e suas obras também influenciaram a matemática árabe e foram de grande fama entre os matemáticos árabes. O trabalho de Diophantus criou uma fundação para o trabalho em álgebra e de fato muito da matemática avançada é baseado em álgebra. Quanto ele afetou a Índia é uma questão de debate.
Diophantus é frequentemente chamado "o pai da álgebra" porque contribuiu muito para a teoria dos números, notação matemática, e porque Arithmetica contém o primeiro uso conhecido de notação sincopada.
Análise diofantina
Hoje, análise diofantina é a área de estudo onde soluções inteiras de números inteiros são procuradas para equações, e equações diofantinas são equações polinomiais com coeficientes inteiros para as quais apenas soluções inteiras são procuradas. Geralmente é bastante difícil dizer se uma dada equação diofantina é solúvel. A maioria dos problemas em Arithmetica leva a equações quadráticas. Diophantus observou 3 tipos diferentes de equações quadráticas: ax² + bx = c, ax² = bx + c, e ax² + c = bx. A razão pela qual havia três casos para Diophantus, enquanto hoje temos apenas um caso, é que ele não tinha noção de zero e evitava coeficientes negativos considerando os números dados a, b, c como todos positivos em cada um dos três casos acima. Diophantus sempre ficava satisfeito com uma solução racional e não exigia um número inteiro, o que significa que ele aceitava frações como soluções para seus problemas. Diophantus considerava soluções de raízes quadradas negativas ou irracionais "inúteis", "sem sentido" e até "absurdas". Para dar um exemplo específico, ele chama a equação 4 = 4x + 20 de "absurda" porque levaria a um valor negativo para x. Uma solução era tudo que ele procurava em uma equação quadrática. Não há evidências que sugiram que Diophantus sequer realizasse que poderia haver duas soluções para uma equação quadrática. Ele também considerava equações quadráticas simultâneas.
Notação matemática
Diophantus fez avanços importantes em notação matemática, tornando-se a primeira pessoa conhecida a usar notação e simbolismo algébricos. Antes dele, todos escreviam as equações completamente. Diophantus introduziu um simbolismo algébrico que usava uma notação abreviada para operações frequentemente ocorrentes e uma abreviação para a incógnita e para as potências da incógnita. O historiador matemático Kurt Vogel afirma:
O simbolismo que Diophantus introduziu pela primeira vez, e indubitavelmente desenvolveu ele mesmo, forneceu um meio breve e facilmente compreensível de expressar uma equação... Uma vez que uma abreviação também é empregada para a palavra 'iguala', Diophantus deu um passo fundamental da álgebra verbal em direção à álgebra simbólica.
Embora Diophantus tenha feito avanços importantes em simbolismo, ele ainda carecia da notação necessária para expressar métodos mais gerais. Isso causou seu trabalho ser mais preocupado com problemas particulares do que com situações gerais. Algumas das limitações da notação de Diophantus são que ele tinha notação apenas para uma incógnita e, quando problemas envolviam mais de uma única incógnita, Diophantus era reduzido a expressar "primeira incógnita", "segunda incógnita", etc. em palavras. Ele também carecia de um símbolo para um número geral n. Onde escreveríamos 12 + 6n/n² − 3, Diophantus tem que recorrer a construções como: "... um número seis vezes aumentado por doze, que é dividido pela diferença pela qual o quadrado do número excede três".
A álgebra ainda tinha um longo caminho a percorrer antes que problemas muito gerais pudessem ser escritos e resolvidos sucintamente.
