Assim como o sol eclipsa as estrelas pelo seu brilho, o homem de conhecimento eclipsará a fama de outros em assembleias do povo se propuser problemas algébricos, e ainda mais se os resolver.
Brahmagupta foi um matemático e astrônomo indiano. Ele é o autor de dois trabalhos iniciais sobre matemática e astronomia: o Brāhmasphuṭasiddhānta BSS, "doutrina corretamente estabelecida de Brahma", datado de 628, um tratado teórico, e o Khaṇḍakhādyaka "bocado comestível", datado de 665, um texto mais prático.
Brahmagupta foi o primeiro a fornecer regras para computar com zero. Os textos compostos por Brahmagupta eram em verso elíptico em sânscrito, como era prática comum na matemática indiana. Como nenhuma prova é fornecida, não se sabe como os resultados de Brahmagupta foram derivados.
Vida e carreira
Brahmagupta nasceu em 598 CE de acordo com sua própria afirmação. Ele viveu em Bhillamāla em Gurjaradesa, atual Bhinmal em Rajastão, Índia, durante o reinado do governante da dinastia Chavda, Vyagrahamukha. Ele era filho de Jishnugupta e era hindu de religião, em particular, um xivaíta. Ele viveu e trabalhou lá durante uma boa parte de sua vida. Prithudaka Svamin, um comentarista posterior, chamou-o de Bhillamalacharya, o professor de Bhillamala.
Bhillamala era a capital de Gurjaradesa, o segundo maior reino da Índia Ocidental, compreendendo o sul de Rajastão e o norte de Gujarat na Índia moderna. Era também um centro de aprendizado para matemática e astronomia. Brahmagupta tornou-se astrônomo da escola Brahmapaksha, uma das quatro principais escolas de astronomia indiana durante este período. Ele estudou os cinco Siddhartha tradicionais da astronomia indiana, bem como o trabalho de outros astrônomos, incluindo Aryabhata I, Latadeva, Pradyumna, Varahamihira, Simha, Srisena, Vijayanandin e Vishnuchandra.
No ano de 628, aos 30 anos, ele compôs o 'Brāhmasphuṭasiddhānta' o tratado aprimorado de Brahma, que é acreditado ser uma versão revisada do Siddhanta recebido da escola de astronomia Brahmapaksha. Os estudiosos afirmam que ele incorporou uma grande quantidade de originalidade à sua revisão, adicionando uma quantidade considerável de novo material. O livro consiste em 24 capítulos com 1008 versos no metro ārya. Uma boa parte é astronomia, mas também contém capítulos-chave sobre matemática, incluindo álgebra, geometria, trigonometria e algorítmica, que são acreditados conter novas perspectivas devidas ao próprio Brahmagupta.
Mais tarde, Brahmagupta mudou-se para Ujjaini, Avanti, que também era um grande centro de astronomia na Índia central. Aos 67 anos, ele compôs seu próximo trabalho bem conhecido Khanda-khādyaka, um manual prático de astronomia indiana na categoria karana destinado a ser usado por alunos.
Brahmagupta morreu em 668 CE, e presume-se que tenha morrido em Ujjain.
Controvérsia
Brahmagupta dirigiu uma grande quantidade de crítica ao trabalho de astrônomos rivais, e seu Brahmasphutasiddhanta exibe um dos primeiros cismas entre matemáticos indianos. A divisão era principalmente sobre a aplicação da matemática ao mundo físico, em vez de sobre a matemática em si. No caso de Brahmagupta, as discordâncias decorriam em grande parte da escolha de parâmetros e teorias astronômicas. As críticas das teorias rivais aparecem ao longo dos dez primeiros capítulos astronômicos e o décimo primeiro capítulo é inteiramente dedicado à crítica dessas teorias, embora nenhuma crítica apareça no décimo segundo e décimo oitavo capítulos.
Recepção
O historiador da ciência George Sarton chamou-o de "um dos maiores cientistas de sua raça e o maior de seu tempo." Os avanços matemáticos de Brahmagupta foram levados adiante por Bhāskara II, um descendente direto em Ujjain, que descreveu Brahmagupta como o ganaka-chakra-chudamani a joia do círculo dos matemáticos. Prithudaka Svamin escreveu comentários sobre ambos os seus trabalhos, transformando versos difíceis em linguagem mais simples e adicionando ilustrações. Lalla e Bhattotpala nos séculos 8 e 9 escreveram comentários sobre o Khanda-khadyaka. Mais comentários continuaram a ser escritos até o século 12.
Algumas décadas após a morte de Brahmagupta, Sindh entrou sob o Califado Árabe em 712 CE. Expedições foram enviadas para Gurjaradesa "Al-Baylaman em Jurz", conforme os historiadores árabes. O reino de Bhillamala parece ter sido aniquilado, mas Ujjain repeliu os ataques. A corte do Califa Al-Mansur 754–775 recebeu uma embaixada de Sindh, incluindo um astrólogo chamado Kanaka, que trouxe possivelmente textos astronômicos memorizados, incluindo os de Brahmagupta. Os textos de Brahmagupta foram traduzidos para o árabe por Muhammad al-Fazari, um astrônomo na corte de Al-Mansur sob os nomes Sindhind e Arakhand. Uma consequência imediata foi a disseminação do sistema de número decimal usado nos textos. O matemático Al-Khwarizmi 800–850 CE escreveu um texto chamado al-Jam wal-tafriq bi hisal-al-Hind Adição e Subtração na Aritmética Indiana, que foi traduzido para o latim no século 13 como Algorithmi de numero indorum. Através destes textos, o sistema de número decimal e os algoritmos de aritmética de Brahmagupta se espalharam por todo o mundo. Al-Khwarizmi também escreveu sua própria versão de Sindhind, baseando-se na versão de Al-Fazari e incorporando elementos Ptolomaicos. O material astronômico indiano circulou amplamente durante séculos, mesmo passando para textos latinos medievais.
Matemática
Álgebra
Brahmagupta deu a solução da equação linear geral no capítulo dezoito de Brahmasphutasiddhānta,
que é uma solução para a equação bx + c = dx + e onde rupas refere-se às constantes c e e. A solução dada é equivalente a x = e − c/b − d. Ele também forneceu duas soluções equivalentes para a equação quadrática geral
18.44. Diminua pela [número] do meio a raiz quadrada das rupas multiplicadas por quatro vezes o quadrado e aumentado pelo quadrado do [número] do meio; divida o resto por duas vezes o quadrado. [O resultado é] o [número] do meio.
18.45. O que for a raiz quadrada das rupas multiplicadas pelo quadrado [e] aumentado pelo quadrado da metade da incógnita, diminua isso pela metade da incógnita [e] divida [o resto] por seu quadrado. [O resultado é] a incógnita.
que são, respectivamente, soluções para a equação ax2 + bx = c equivalente a,
e
Ele continuou resolvendo sistemas de equações indeterminadas simultâneas, afirmando que a variável desejada deve primeiro ser isolada e então a equação deve ser dividida pelo coeficiente da variável desejada. Em particular, ele recomendou usar "o pulverizador" para resolver equações com múltiplas incógnitas.
18.51. Subtraia as cores diferentes da primeira cor. [O resto] dividido pela primeira [cor do coeficiente] é a medida da primeira. [Termos] dois a dois [são] considerados [quando reduzidos a] divisores semelhantes, [e assim por diante] repetidamente. Se houver muitos [cores], o pulverizador [é para ser usado].
Como a álgebra de Diofanto, a álgebra de Brahmagupta era sincópica. A adição foi indicada colocando os números lado a lado, a subtração colocando um ponto sobre o subtraendo, e a divisão colocando o divisor abaixo do dividendo, semelhante à nossa notação mas sem a barra. Multiplicação, evolução e quantidades desconhecidas foram representadas por abreviações de termos apropriados. A extensão da influência grega nesta sincopa, se houver, não é conhecida e é possível que tanto a sincopa grega quanto a indiana possam ser derivadas de uma fonte babilônica comum.
Aritmética
As quatro operações fundamentais adição, subtração, multiplicação e divisão eram conhecidas por muitas culturas antes de Brahmagupta. Este sistema atual é baseado no sistema de números Hindu-Arábicos e apareceu primeiro no Brahmasphutasiddhanta. Brahmagupta descreve a multiplicação assim "O multiplicando é repetido como uma corda para o gado, tantas vezes quantas há partes integrantes no multiplicador e é repetidamente multiplicado por elas e os produtos são somados. É multiplicação. Ou o multiplicando é repetido tantas vezes quantas há partes componentes no multiplicador". A aritmética indiana era conhecida na Europa Medieval como "Modus Indorum" significando método dos Indianos. Em Brahmasphutasiddhanta, a multiplicação era chamada de Gomutrika.
No início do capítulo doze de seu Brahmasphutasiddhānta, intitulado Cálculo, Brahmagupta detalha operações sobre frações. Espera-se que o leitor conheça as operações aritméticas básicas até a extração da raiz quadrada, embora ele explique como encontrar a raiz cúbica e cúbica de um inteiro e posteriormente fornece regras que facilitam o cálculo de quadrados e raízes quadradas. Ele então fornece regras para lidar com cinco tipos de combinações de frações: a/c + b/c; a/c × b/d; a/1 + b/d; a/c + b/d × a/c = ad + b/cd; e a/c − b/d × a/c = ad − b/cd.
Séries
Brahmagupta então continua a dar a soma dos quadrados e cubos dos primeiros n inteiros.
Aqui Brahmagupta encontrou o resultado em termos da soma dos primeiros n inteiros, em vez de em termos de n como é a prática moderna.
Ele dá a soma dos quadrados dos primeiros n números naturais como nn + 12n + 1/6 e a soma dos cubos dos primeiros n números naturais como nn + 1/22.
Zero
O Brahmasphuṭasiddhānta de Brahmagupta é o primeiro livro que fornece regras para manipulações aritméticas que se aplicam a zero e aos números negativos. O Brahmasphutasiddhānta é o texto mais antigo conhecido que trata zero como um número em si, em vez de simplesmente um dígito de espaço reservado na representação de outro número como fizeram os babilônios ou como um símbolo para uma falta de quantidade como fizeram Ptolomeu e os romanos. No capítulo dezoito de seu Brahmasphutasiddhānta, Brahmagupta descreve operações em números negativos. Ele primeiro descreve adição e subtração,
18.30. [A soma] de dois positivos é positiva, de dois negativos é negativa; de um positivo e um negativo [a soma] é a sua diferença; se são iguais é zero. A soma de um negativo e zero é negativa, [a] de um positivo e zero é positiva, [e a] de dois zeros é zero.
18.32. Um negativo menos zero é negativo, um positivo [menos zero] é positivo; zero [menos zero] é zero. Quando um positivo deve ser subtraído de um negativo ou um negativo de um positivo, então deve ser adicionado.
Ele continua descrevendo a multiplicação,
18.33. O produto de um negativo e um positivo é negativo, de dois negativos é positivo, e de positivos é positivo; o produto de zero e um negativo, de zero e um positivo, ou de dois zeros é zero.
Mas sua descrição de divisão por zero difere de nosso entendimento moderno:
18.34. Um positivo dividido por um positivo ou um negativo dividido por um negativo é positivo; um zero dividido por um zero é zero; um positivo dividido por um negativo é negativo; um negativo dividido por um positivo é [também] negativo.
18.35. Um negativo ou um positivo dividido por zero tem esse [zero] como seu divisor, ou zero dividido por um negativo ou um positivo [tem esse negativo ou positivo como seu divisor]. O quadrado de um negativo ou de um positivo é positivo; [o quadrado] de zero é zero. Aquele do qual [o quadrado] é o quadrado é [sua] raiz quadrada.
Aqui Brahmagupta afirma que / = 0 e quanto à questão de a/ onde a ≠ 0 ele não se comprometeu. Suas regras para aritmética em números negativos e zero são bastante próximas do entendimento moderno, exceto que na matemática moderna a divisão por zero é deixada indefinida.
Análise diofantina
Tríadas pitagóricas
No capítulo doze de seu Brahmasphutasiddhanta, Brahmagupta fornece uma fórmula útil para gerar tríadas pitagóricas:
12.39. A altura de uma montanha multiplicada por um multiplicador dado é a distância para uma cidade; não é apagada. Quando é dividida pelo multiplicador aumentado por dois é o salto de um dos dois que fazem a mesma jornada.
Ou, em outras palavras, se d = mx/x + 2, então um viajante que "salta" verticalmente para cima uma distância d do topo de uma montanha de altura m, e depois viaja em linha reta para uma cidade a uma distância horizontal mx da base da montanha, viaja a mesma distância que um que desce verticalmente a montanha e depois viaja ao longo da horizontal para a cidade. Afirmado geometricamente, isso diz que se um triângulo retângulo tem uma base de comprimento a = mx e altitude de comprimento b = m + d, então o comprimento, c, de sua hipotenusa é dado por c = m1 + x − d. E, de fato, a manipulação algébrica elementar mostra que a2 + b2 = c2 sempre que d tem o valor indicado. Além disso, se m e x são racionais, também são d, a, b e c. Uma tríada pitagórica pode, portanto, ser obtida de a, b e c multiplicando cada um deles pelo mínimo múltiplo comum de seus denominadores.
Equação de Pell
Brahmagupta continuou dando uma relação de recorrência para gerar soluções para certos exemplos de equações diofantinas de
