Arieh Iserles: Fazendo os Computadores Respeitarem a Geometria

Um planeta orbitando uma estrela conserva sua energia exatamente, para sempre. Simule essa órbita em um computador usando um método numérico padrão e a energia derivará — o planeta entrará em espiral lentamente em direção ao sol ou para a escuridão, não porque a física diga isso, mas porque a aritmética vaza. Arieh Iserles pertence ao grupo de matemáticos que decidiram que isso era inaceitável e partiram para construir algoritmos que obedeçam às leis que suas equações codificam.

De Jerusalém para o Cam

Iserles nasceu em 2 de setembro de 1947 e estudou na Universidade Hebraica de Jerusalém e na Universidade Ben-Gurion do Neguev. Seu trabalho de doutorado foi sobre métodos numéricos para equações diferenciais ordinárias stiff (rígidas) — um assunto que parece restrito e é tudo menos isso.

A rigidez é a patologia que aparece sempre que um sistema contém processos correndo em escalas de tempo drasticamente diferentes: uma reação química onde uma etapa leva microssegundos e outra leva horas. Métodos numéricos ingênuos são forçados a rastejar no ritmo do processo mais rápido, mesmo quando nada de interessante está acontecendo lá, e o cálculo torna-se inviável. Resolver a rigidez adequadamente foi um dos problemas práticos centrais da computação científica do século XX, e é um bom campo de treinamento para alguém que passará sua carreira na incompatibilidade entre matemática contínua e máquinas discretas.

Cambridge, com um desvio

Ele veio para Cambridge como Investigador Júnior (Junior Research Fellow) no King's College em 1978, tornou-se Investigador Sénior (Senior Research Fellow) lá em 1982 e passou 1986–1987 como professor associado na Universidade do Arizona. Depois, retornou e permaneceu.

Ele foi Professor Universitário em Cambridge de 1987 a 1995, Reader em Análise Numérica de 1995 a 1999, e desde 1999 é Professor de Análise Numérica de Equações Diferenciais no Departamento de Matemática Aplicada e Física Teórica — DAMTP, o departamento em que Dirac e Hawking trabalharam. De 2010 a 2015, ele dirigiu o Centro de Análise de Cambridge.

Integração Geométrica

A ideia central da vida de pesquisa de Iserles é que uma equação diferencial carrega estrutura, e um bom método numérico deve preservá-la.

Alguns sistemas conservam energia. Alguns conservam volume no espaço de fases. Alguns evoluem em uma variedade curvada — um corpo rígido em rotação, por exemplo, cujo estado vive no grupo de rotações e nunca pode deixá-lo, não importa quanto tempo você espere. Métodos numéricos convencionais não sabem nada sobre isso. Eles aproximam o próximo passo e aceitam um pequeno erro, e ao longo de uma simulação longa, esses pequenos erros acumulam-se em um absurdo qualitativo: a matriz de rotação deixa de ser uma rotação, a energia deriva, a órbita está errada de uma maneira que nenhuma quantidade de precisão extra consertará.

A integração numérica geométrica ataca isso projetando métodos que respeitam os invariantes exatamente — integradores simpléticos para sistemas hamiltonianos, métodos que preservam volume e esquemas construídos de forma que um sistema que vive em um grupo de Lie permanece nele. As próprias contribuições de Iserles agrupam-se em torno da maquinaria para isso: aproximações da exponencial de matriz, particularmente métodos que mapeiam corretamente uma álgebra de Lie para o seu grupo de Lie, e a análise de fluxos isoespectrais e estruturas de Lie-Poisson.

Oscilação, o Outro Caso Difícil

Seu segundo grande território são fenômenos altamente oscilatórios — problemas onde a solução oscila muito rapidamente.

Isso é um verdadeiro pesadelo para a análise numérica padrão, e por uma razão não intuitiva. A quadratura ordinária funciona por amostragem; se a função oscila mais rápido do que você amostra, você não aprende nada, e a resposta clássica é amostrar mais rápido, o que custa mais quanto pior o problema fica. Iserles trabalhou em métodos de discretização eficazes para integrais altamente oscilatórias — uma família de técnicas onde, notavelmente, a alta oscilação pode ser transformada de obstáculo em vantagem, com a precisão melhorando à medida que a frequência sobe em vez de colapsar. Ele estendeu a abordagem para equações diferenciais e para os espectros de operadores, e desenvolveu integradores exponenciais para equações com várias escalas interagentes de oscilação.

Sua ampla gama de pesquisas abrange equações diferenciais ordinárias e parciais, teoria da aproximação, polinômios ortogonais, equações funcionais e dinâmica computacional.

O Guardião

Iserles tem sido invulgarmente central para as instituições de sua área. Ele é editor-gerente da Acta Numerica, o volume de revisão anual que é essencialmente a declaração de onde a área se encontra, e editor-chefe do IMA Journal of Numerical Analysis, além de cargos em conselhos em outros lugares. De 1997 a 2000, ele presidiu a Sociedade para os Fundamentos da Matemática Computacional.

E ele escreveu A First Course in the Numerical Analysis of Differential Equations, publicado pela Cambridge University Press e agora em sua segunda edição — para um grande número de estudantes de pós-graduação em todo o mundo, o livro que lhes ensinou o assunto.

Por Que Arieh É Chamado de Gênio

A qualidade intelectual em exibição é um tipo específico de inversão: tomar repetidamente a propriedade que torna um problema difícil e transformá-la na propriedade que faz a solução funcionar. O caso mais claro é a integração altamente oscilatória, onde a moldura padrão trata a oscilação rápida como o inimigo a ser superamostrado, e os métodos em que Iserles trabalhou tornam-se melhores à medida que a oscilação aumenta. A integração geométrica envolve o mesmo movimento em um nível superior: parar de tratar uma equação diferencial como uma fórmula a ser aproximada e começar a tratá-la como um objeto geométrico cuja estrutura é a coisa a ser preservada. Reformulações desse tipo são mais raras e difíceis do que a virtuosidade técnica, e mudam o que uma comunidade inteira pensa que está fazendo.

O reconhecimento, honestamente sopesado, é substancial mas focado em serviços. A Medalha Onsager veio em 1999. A Medalha David Crighton seguiu-se em 2012, concedida explicitamente "por serviços à matemática e à comunidade matemática". O Prêmio SIAM de Serviço Distinto à Profissão veio em 2014. Dois desses três são, por suas próprias citações, sobre serviços em vez de descobertas.

Portanto, o contra-argumento é real. Nenhum teorema carrega o nome de Iserles da maneira que um método de Runge–Kutta ou de Newton faz. A integração geométrica foi construída por uma comunidade — Hairer, Lubich, Wanner, Marsden, McLachlan e outros ao lado dele — e ele é um contribuidor importante, não seu autor solitário. Sua maior influência mensurável pode ser editorial e pedagógica: gerenciar a Acta Numerica, gerenciar o IMA Journal, escrever o curso introdutório padrão. Nenhuma fonte acessível registra alguém o chamando de gênio. Ele é um matemático aplicado excelente e um construtor de instituições excepcional, e a segunda metade dessa frase está fazendo mais trabalho do que os admiradores geralmente admitem.

Legado

Iserles permanece no DAMTP, no departamento onde trabalha desde 1987.

O programa que ele ajudou a impulsionar venceu silenciosamente. Integradores simpléticos e conservadores de estrutura são agora padrão em dinâmica molecular, mecânica celeste, física de plasma e projeto de aceleradores — em qualquer lugar onde uma simulação tenha que rodar por muito tempo e ainda ser acreditada no final. A intuição subjacente é tão filosófica quanto técnica: um método numérico não é um instrumento neutro para aproximar uma equação. É um pequeno sistema dinâmico por direito próprio, e se você o construir descuidadamente, ele lhe contará uma história sobre um universo que não existe.