막심 콘체비치: 물리학을 엄밀하게 만든 수학자

1990년, 학위가 없던 25세의 소련 연구원은 본(Bonn)의 한 강의실에 앉아 마이클 아티야(Michael Atiyah)의 강연을 듣고 있었습니다. 아티야는 나중에 콘체비치가 “놀라운 이야기를 들려준 저명한 영국 수학자”라고 회상했던 인물로, 에드워드 위튼(Edward Witten)의 곡선 기하학에 대한 충격적인 추측을 설명하고 있었습니다. 며칠 후, 라인강 보트 여행 중에 콘체비치는 동료들에게 자신이 어떻게 그것을 증명할 계획인지 설명했습니다. 그는 1년 동안 본으로 다시 초청되었습니다. 2년 후, 그 증명은 그의 박사 학위 논문이 되었습니다.

힘키, 한국어, 그리고 올림피아드

그는 1964년 8월 25일 모스크바 외곽의 힘키(Khimki)에서 학구적인 가정에서 태어났습니다. 그의 아버지 레프 라파일로비치 콘체비치(Lev Rafailovich Kontsevich)는 러시아 과학 아카데미 동양학 연구소의 저명한 한국학 전문가였으며, 한국어를 키릴 문자로 음역하는 표준 방식인 '콘체비치 표기법'을 만든 저자이기도 합니다. 그의 어머니는 엔지니어였으며, 형 레오니드(Leonid)는 샌프란시스코에서 컴퓨터 이미지 연구 분야로 진출했습니다. 콘체비치는 수학과 물리학으로 자신을 이끈 공로를 형과 “몇 권의 아주 좋은 책들”에게 돌립니다.

책들은 일찍부터 제 역할을 했습니다. 16세에 그는 전국 수학 올림피아드에서 2위를 차지하여 입학 시험 없이 모스크바 주립 대학교에 입학했습니다. 그는 1980년부터 1985년까지 그곳에서 훌륭한 교수진, 특히 이스라일 겔판트(Israil Gelfand) 밑에서 공부했습니다. 그는 19세부터 논문을 발표하기 시작했습니다. 1983년 A. A. 키릴로프(A. A. Kirillov)와 함께 “두 일반 벡터 장에 의해 생성된 리 대수의 성장”을 발표했고, 이어 키릴로프 및 A. I. 몰레프(A. I. Molev)와 함께 “중간 성장을 하는 대수”를 발표했습니다.

학교를 떠난 학생

1985년 그는 학위를 받지 않은 채 모스크바 주립 대학교를 떠나 과학 아카데미 정보 전달 문제 연구소에 합류하여 1988년까지 비라소로 대수(Virasoro algebra) 및 관련 구조에 관한 논문을 발표했습니다. 주목할 점은, 나중에 필즈상을 받게 될 이 사람이 20대 초반을 소련 정보 이론 연구소의 학위 없는 연구원으로 보냈다는 것입니다. 그는 1988년에 처음으로 고등 과학 연구소(IHES)를 방문했고 그곳을 잊지 못했습니다.

네 가지 문제

돈 자기어(Don Zagier)의 지도하에 1992년에 제출된 본 대학의 박사 논문은 “곡선의 모듈라이 공간에서의 교차 이론과 에어리 행렬 함수”라는 제목이었습니다. 이 논문은 위튼의 추측을 증명했습니다. 대수 곡선의 콤팩트화된 모듈라이 공간에서의 안정적인 클래스의 교차 수가 코르테베크-드 브리스(Korteweg–de Vries) 적분 계층을 따른다는 것이었습니다. 이는 리만 곡면의 기하학을 천수 파동의 수학과 연결하는 주장으로, 당시에는 참일 리가 없다고 여겨졌습니다. 심사위원 클리퍼드 헨리 타우브스(Clifford Henry Taubes)는 “이 증명의 많은 단계에서 콘체비치의 조합론적 계산에 대한 독특한 재능이 드러난다”고 언급했습니다.

그 후 5년 동안 그는 이를 세 번 더 해냈습니다. 1993년 바실리예프(Vassiliev) 매듭 불변량에 관한 논문에서 그는 현재 '콘체비치 적분'이라 불리는 것을 도입했는데, 이는 매듭과 연결의 보편적 불변량입니다. 심사위원 조안 버먼(Joan Birman)은 그가 이 주제를 “매우 새롭고 독창적인 시각”으로 바라보았으며 복잡한 이론을 “자연스럽고 명확하게” 만들었다고 썼습니다. 그는 모든 푸아송 다양체(Poisson manifold)가 형식적 변형 양자화를 허용함을 증명하여 평탄한 경우에 대한 명시적 공식을 제공하고 수학 물리학의 근본적인 문제를 해결했습니다. 1994년에는 유리 마닌(Yuri Manin)과 함께 “그로모프-위튼 클래스, 양자 코호몰로지, 그리고 열거 기하학”을 집필하고 안정적 사상의 모듈라이 공간을 도입하여 곡선의 엄밀한 계산을 가능하게 했습니다. 이는 칼라비-야우 3차원 다양체 상의 유리 곡선에 대한 정리를 증명하는 기계가 되어 거울 대칭 연구에 결정적인 역할을 했습니다. 그는 또한 “형식적 (비)가환 심플렉틱 기하학”을 저술했으며, 나중에 알렉세이 벨로프-카넬(Alexei Belov-Kanel)과 함께 딕스미어(Dixmier) 추측과 야코비 추측이 동치임을 증명했습니다.

범주론으로서의 거울 대칭

1994년 취리히에서 열린 세계 수학자 대회에서 그는 오늘날 그를 대표하는 개념인 '호몰로지 거울 대칭'을 제안했습니다. 끈 이론가들은 칼라비-야우 다양체가 거울 쌍으로 존재하며 그 복소 구조와 심플렉틱 구조가 서로 뒤바뀌는 것처럼 보인다는 점을 알아챘습니다. 콘체비치의 추측은 이것이 범주 간의 동치라는 것입니다. 즉, 순수 대수기하학의 대상인 X 위의 결맞은 층의 유도 범주가, 순수 심플렉틱 기하학의 대상인 그 거울 Y의 유도 후카야 범주(Fukaya category)와 동치라는 것입니다. 이는 물리학자가 관찰한 우연을 정밀한 구조적 주장으로 변환했으며, 그 이후 기하학의 많은 부분을 조직해 왔습니다.

뷔르쉬르이베트

그는 1990년대 중반 하버드, 프린스턴 고등 연구소, 럿거스를 거쳐 버클리에서 교수직을 역임했지만, 형이 그곳에 있었음에도 미국에 정착하지 않았습니다. 그는 1988년부터 동경해 온 뷔르쉬르이베트(Bures-sur-Yvette)의 IHES에서 종신 교수직을 맡아 정착했습니다. 그는 또한 마이애미 대학교의 석좌 교수직을 보유하고 있으며, 1999년에 프랑스 시민권을 취득하여 현재 러시아와 프랑스 여권을 모두 가지고 있습니다.

상들도 잇따랐습니다. 1997년 앙리 푸앵카레 상, 1998년 베를린 대회에서 대수기하학과 대수위상수학 분야의 업적으로 받은 필즈상, 다니엘 이아골니처 상, 2008년 “현대 이론 물리학에서 영감을 받은 수학에 대한 중요한 공헌”으로 에드워드 위튼과 공동 수상한 크라포드 상, 2012년 쇼 상, 같은 해 기초 물리학 돌파구 상, 2015년 수학 돌파구 상을 받았습니다. 그는 파리 과학 아카데미 회원이며 미국 국립 과학 아카데미의 외국인 회원입니다.

왜 막심이 천재라고 불리는가

두 가지 서로 다른 능력이 작용하고 있는데, 이들은 함께 발견되는 경우가 드뭅니다. 첫 번째는 매우 특별한 종류의 압도적인 계산 능력입니다. 타우브스의 “조합론적 계산에 대한 독특한 재능”이라는 말은 칭찬이 아닌 기술적 평가이며, 누구도 성공하지 못했을 때 위튼의 추측을 증명하게 한 메커니즘을 설명합니다. 두 번째는 물리학자들이 실제로 말하고 있는 바에 대한 구조적 본능입니다. 끈 이론가들은 1980년대와 90년대 내내 눈부시지만 엄밀하지 않은 주장들을 내놓았습니다. 콘체비치의 습관은 그 주장들이 은밀히 가리키고 있는 수학적 대상을 찾아내어 수학자들이 작업할 수 있는 형태로 표현하는 것이었습니다. 호몰로지 거울 대칭이 가장 순수한 예입니다. 물리학적 우연이 범주적 동치로 바뀐 것입니다. 버먼이 그가 복잡한 이론을 “자연스럽고 명확하게” 만든다고 관찰한 것은 같은 능력을 다른 각도에서 지적한 것입니다.

정직한 반론에는 세 가지 측면이 있습니다. 원재료의 상당 부분은 그의 것이 아니었습니다. 위튼이 추측했고, 바실리예프가 불변량을 정의했으며, 물리학자들이 거울 대칭을 발견했습니다. 콘체비치의 역할은 사물을 엄밀하게 만드는 것이었는데, 이는 필수적이지만 구성상 파생적입니다. 둘째, 그의 가장 유명한 단일 아이디어는 여전히 추측으로 남아 있습니다. 호몰로지 거울 대칭은 30년이 넘도록 일반적으로 증명되지 않았으며, 증명에 비하면 추측은 가치가 낮습니다. 셋째, “천재”는 수학계에서 자유롭게 유통되는 통화이며, 콘체비치에 대한 구체적인 공개적 증언들은 그 단어를 사용하기보다는 기술과 독창성을 찬양하는 경향이 있습니다. 방어 가능한 주장은 더 좁지만 여전히 비범합니다. 그는 대략 10년 동안 이론 물리학과 엄밀한 수학 사이에서 가장 신뢰할 수 있는 통역사였습니다.

유산

오늘날 전체 연구 프로그램들이 그의 정의—안정적 사상, 콘체비치 적분, 변형 양자화, 거울 대칭의 후카야 범주 프레임워크—를 기반으로 운영되고 있습니다. 그는 여전히 IHES에서 연구를 계속하고 있으며, 1994년 취리히 무대에서 던진 추측은 완료된 대부분의 증명보다 더 많은 수학을 계속해서 만들어내고 있습니다.