만약 우리가 양쪽에 같은 항이 있지만 계수가 다른 방정식에 도달한다면, 한 항이 다른 항과 같아질 때까지 양쪽에서 같은 것을 빼야 합니다. 그러나 한쪽 또는 양쪽에 음수 항이 있다면, 양쪽의 모든 항이 양수가 될 때까지 양쪽에 부족분을 더해야 합니다. 그러면 각 쪽에 한 항만 남을 때까지 양쪽에서 같은 것을 빼야 합니다.
Alexandria의 Diophantus는 Arithmetica라는 일련의 책의 저자였던 Alexandria 수학자였으며, 그 중 많은 책은 이제 없어졌습니다. 그의 저술은 대수 방정식을 푸는 것을 다룹니다. Claude Gaspard Bachet de Méziriac의 Diophantus의 Arithmetica 판을 읽던 중, Pierre de Fermat는 Diophantus가 고려한 특정 방정식이 해를 가지지 않는다고 결론지었고, 자세한 설명 없이 그가 "이 명제에 대한 정말 놀라운 증명"을 찾았다고 여백에 적었으며, 이는 현재 Fermat의 Last Theorem으로 알려져 있습니다. 이것은 수론에서 엄청난 진전을 이끌었고, Diophantine 방정식의 연구인 "Diophantine 기하학"과 Diophantine 근사는 수학 연구의 중요한 분야로 남아 있습니다. Diophantus는 대략적인 등식을 나타내기 위해 παρισότης parisotes 용어를 만들었습니다. 이 용어는 라틴어로 adaequalitas로 표현되었고, Pierre de Fermat에 의해 함수의 최댓값과 곡선의 접선을 찾기 위해 개발된 adequality 기법이 되었습니다. Diophantus는 분수를 수로 인식한 최초의 그리스 수학자였습니다. 따라서 그는 계수와 해에 양의 유리수를 허용했습니다. 현대 사용에서 Diophantine 방정식은 보통 정수 계수를 가진 대수 방정식이며, 정수 해를 구합니다.
전기
Diophantus의 삶에 대해 알려진 것은 거의 없습니다. 그는 Roman 시대에 Alexandria, Egypt에 살았으며, 아마도 AD 200과 214에서 284 또는 298 사이였을 것입니다. Diophantus는 역사가들에 의해 Greek, 또는 아마도 Hellenized Egyptian, 또는 Hellenized Babylonian으로 다양하게 묘사되었습니다. 이러한 많은 식별은 4세기 수사가 Diophantus the Arab과의 혼동에서 비롯되었을 수 있습니다. Diophantus의 삶에 대한 우리의 지식의 대부분은 Metrodorus에 의해 만들어진 5세기 그리스 수 게임 및 퍼즐 모음에서 유래합니다. 때로 그의 묘비명이라고 불리는 문제 중 하나는 다음과 같이 명시합니다:
'여기 Diophantus가 누워있으니', 기적을 보세요.
대수 예술을 통해, 돌이 얼마나 오래되었는지 말합니다:
'신은 그에게 소년 시절을 인생의 6분의 1을 주었고,
수염이 무성해질 때 청년 시절로 12분의 1을 더 주었습니다;
그리고 결혼이 시작되기 전에 또 다른 7분의 1;
5년 후 튀어나온 새로운 아들이 왔습니다.
아, 주인과 현인의 사랑하는 자식이
그의 아버지의 나이의 절반을 달성한 후 냉혹한 운명이 그를 데려갔습니다. 4년 동안 수의 과학으로 그의 운명을 위로한 후, 그는 자신의 삶을 끝냈습니다.'
이 퍼즐은 Diophantus의 나이 x가 다음과 같이 표현될 수 있음을 암시합니다
x = x/6 + x/12 + x/7 + 5 + x/2 + 4
이는 x에 84년의 값을 줍니다. 그러나 정보의 정확성은 독립적으로 확인될 수 없습니다.
대중 문화에서 이 퍼즐은 Professor Layton and Pandora's Box에서 퍼즐 No.142였으며, 게임에서 가장 어려운 풀이 퍼즐 중 하나로 먼저 다른 퍼즐을 풀어서 해제해야 했습니다.
Arithmetica
Arithmetica는 Diophantus의 주요 저작이며 그리스 수학에서 대수에 대한 가장 저명한 저작입니다. 그것은 결정적 및 부정형 방정식의 수치 해를 제공하는 문제의 모음입니다. Arithmetica가 구성했던 원래 13권 중 6권만 생존했지만, 1968년에 발견된 4권의 아랍 책도 Diophantus에 의한 것이라고 믿는 사람들도 있습니다. Arithmetica의 일부 Diophantine 문제는 아랍 출처에서 발견되었습니다.
여기서 언급해야 할 것은 Diophantus가 그의 해법에서 일반적인 방법을 절대 사용하지 않았다는 것입니다. 저명한 독일 수학자 Hermann Hankel은 Diophantus에 대해 다음과 같은 발언을 했습니다.
"우리의 저자 Diophantos에서 일반적이고 포괄적인 방법의 가장 작은 흔적도 보이지 않습니다; 각 문제는 가장 밀접하게 관련된 문제에서도 작동하지 않는 특수한 방법을 요구합니다. 이러한 이유로 현대 학자가 Diophantos의 100가지 해법을 공부한 후에도 101번째 문제를 푸는 것이 어렵습니다".
역사
다른 많은 그리스 수학 저술들처럼, Diophantus는 소위 Dark Ages 동안 서유럽에서 잊혀졌습니다. 고대 그리스 언어의 연구와 일반적인 문해력이 크게 감소했기 때문입니다. 생존한 그리스 Arithmetica의 부분은, 그러나 초대 현대 세계로 전해진 모든 고대 그리스 텍스트처럼 중세 Byzantine 학자들에 의해 복사되었고, 따라서 알려졌습니다. Byzantine 그리스 학자 John Chortasmenos 1370–1437의 Diophantus에 대한 Scholia는 1260–1305의 더 초기 그리스 학자 Maximos Planudes에 의해 작성된 포괄적인 주석과 함께 보존되어 있습니다. Maximos Planudes는 Byzantine Constantinople의 Chora Monastery 도서관 내에서 Diophantus의 판을 제작했습니다. 또한 Arithmetica의 일부는 아마도 아랍 전통에서 생존했을 것입니다. 1463년 독일 수학자 Regiomontanus는 다음과 같이 썼습니다:
아직 누구도 그리스에서 라틴어로 Diophantus의 13권을 번역하지 않았으며, 전체 산술의 참된 꽃이 숨겨져 있습니다. . . .
Arithmetica는 1570년 Bombelli에 의해 그리스에서 라틴어로 처음 번역되었지만, 번역은 출판되지 않았습니다. 그러나 Bombelli는 자신의 책 Algebra를 위해 많은 문제를 빌려왔습니다. Arithmetica의 editio princeps는 1575년 Xylander에 의해 출판되었습니다. Arithmetica의 가장 잘 알려진 라틴 번역은 1621년 Bachet에 의해 만들어졌으며 광범위하게 이용 가능한 첫 라틴 판이 되었습니다. Pierre de Fermat는 사본을 소유했고, 그것을 연구했으며, 여백에 주석을 했습니다.
Fermat과 Chortasmenos의 여백 글쓰기
Bachet의 1621 Arithmetica판은 Pierre de Fermat가 자신의 사본의 여백에 유명한 "Last Theorem"을 쓴 후 유명해졌습니다:
정수 n이 2보다 크면, an + bn = cn은 0이 아닌 정수 a, b, c에서 해를 가지지 않습니다. 나는 이 명제에 대한 정말 놀라운 증명을 가지고 있으며, 이 여백은 그것을 포함하기에는 너무 좁습니다.
Fermat의 증명은 절대 발견되지 않았고, 정리에 대한 증명을 찾는 문제는 수 세기 동안 해결되지 않았습니다. 증명은 마침내 1994년 Andrew Wiles에 의해 7년간 작업한 후에 발견되었습니다. Fermat이 주장한 증명을 실제로 가지지 않았다고 믿어집니다. Fermat가 이것을 쓴 원본 사본은 오늘날 없어졌지만, Fermat의 아들은 1670년에 출판된 Diophantus의 다음 판을 편집했습니다. 텍스트가 1621판보다 열등하지만, Fermat의 주석은 "Last Theorem"을 포함하여 이 버전에서 인쇄되었습니다.
Fermat는 Diophantus에 자신의 여백 주석을 쓰도록 움직여진 첫 번째 수학자가 아니었습니다; Byzantine 학자 John Chortasmenos 1370–1437은 같은 문제 옆에 "당신의 영혼, Diophantus는 다른 정리들의 어려움과 특히 현재의 정리의 어려움 때문에 Satan과 함께 있기를" 썼습니다.
다른 저작
Diophantus는 Arithmetica 외에도 여러 다른 책을 썼지만, 그 중 매우 적은 것만 생존했습니다.
The Porisms
Diophantus 자신은 The Porisms 또는 Porismata라고 불리는 lemmas의 모음으로 구성된 저작을 언급하지만, 이 책은 완전히 없어졌습니다.
The Porisms이 없어졌지만, Diophantus가 Arithmetica에서 그들을 언급하기 때문에 우리는 거기에 포함된 세 가지 lemmas를 알고 있습니다. 한 lemma는 두 유리수의 세제곱의 차이가 다른 두 유리수의 세제곱의 합과 같다고 명시합니다, 즉 a > b인 임의의 a와 b가 주어지면, c와 d가 모두 양수이고 유리수인 다음이 존재합니다
a³ − b³ = c³ + d³.
다각형 수와 기하학적 요소
Diophantus는 또한 Pythagoras와 Pythagoreans에게 큰 관심 주제였던 다각형 수에 대해 썼던 것으로 알려져 있습니다. 다각형 수를 다루는 책의 조각들이 현존합니다.
Preliminaries to the Geometric Elements이라는 책이 전통적으로 Hero of Alexandria에게 귀속되었습니다. 최근 Wilbur Knorr에 의해 연구되었으며, Hero에 대한 귀속은 부정확하고, 진정한 저자는 Diophantus라고 제안했습니다.
영향
Diophantus의 저작은 역사에서 큰 영향을 미쳤습니다. Arithmetica의 판은 16세기 후반과 17세기와 18세기를 통해 유럽에서 대수 발전에 깊은 영향을 미쳤습니다. Diophantus와 그의 저작은 또한 아랍 수학에 영향을 미쳤으며 아랍 수학자들 사이에서 큰 명성을 얻었습니다. Diophantus의 저작은 대수에 대한 기초를 만들었으며, 실제로 고급 수학의 대부분은 대수에 기초하고 있습니다. 그가 인도에 얼마나 영향을 미쳤는지는 논쟁의 대상입니다.
Diophantus는 종종 수론, 수학적 표기법에 크게 기여했고, Arithmetica가 syncopated 표기법의 최초 알려진 사용을 포함하기 때문에 "대수의 아버지"라고 불립니다.
Diophantine 분석
오늘날 Diophantine 분석은 정수 전체수 해를 방정식에 대해 찾는 연구 분야이며, Diophantine 방정식은 정수 계수를 가진 다항 방정식으로 정수 해만 찾습니다. 주어진 Diophantine 방정식이 해 가능한지 여부를 말하는 것이 보통 매우 어렵습니다. Arithmetica의 대부분의 문제는 이차 방정식으로 이끕니다. Diophantus는 3가지 다른 유형의 이차 방정식을 봤습니다: ax² + bx = c, ax² = bx + c, 그리고 ax² + c = bx. Diophantus에 대해 3가지 경우가 있었던 이유는, 오늘날 우리가 1가지 경우만 가진 반면, 그는 0에 대한 어떤 개념도 가지지 않았고 위의 3가지 경우 각각에서 주어진 수 a, b, c를 모두 양수로 고려함으로써 음수 계수를 피했습니다. Diophantus는 항상 유리 해에 만족했고 전체 수를 요구하지 않았으며, 이는 그가 분수를 그의 문제에 대한 해로 받아들였음을 의미합니다. Diophantus는 음수 또는 무리 제곱근 해를 "쓸모없는", "의미 없는", 심지어 "불합리한" 것으로 간주했습니다. 한 가지 구체적인 예를 들자면, 그는 방정식 4 = 4x + 20을 '불합리한' 것으로 부르는데, 이는 x에 대해 음수 값으로 이어질 것이기 때문입니다. 하나의 해가 그가 이차 방정식에서 찾는 모든 것이었습니다. Diophantus가 이차 방정식이 2개의 해를 가질 수 있다는 것을 깨달았다고 시사하는 증거가 없습니다. 그는 또한 동시적 이차 방정식을 고려했습니다.
수학적 표기법
Diophantus는 수학적 표기법에서 중요한 진전을 했으며, 대수 표기법과 상징을 사용한 최초의 알려진 사람이 되었습니다. 그 이전에 모든 사람은 방정식을 완전히 써냈습니다. Diophantus는 자주 나타나는 연산에 대해 축약된 표기법을 사용했고 미지수와 미지수의 거듭제곱에 대해 약어를 사용한 대수적 상징을 도입했습니다. 수학 역사가 Kurt Vogel는 다음과 같이 말합니다:
Diophantus가 처음으로 도입한 그리고 의심할 여지 없이 스스로 고안한 상징법은 방정식을 표현하기 위한 짧고 쉽게 이해할 수 있는 수단을 제공했습니다... '같음'이라는 단어에 대해 약어도 사용되기 때문에, Diophantus는 언어 대수에서 상징 대수로 근본적인 단계를 취했습니다.
Diophantus가 상징법에서 중요한 진전을 했지만, 그는 여전히 더 일반적인 방법을 표현하기 위해 필요한 표기법이 부족했습니다. 이는 그의 저작이 일반적인 상황보다 특정 문제에 더 관심을 가지도록 했습니다. Diophantus의 표기법의 일부 제한 사항은 하나의 미지수에만 표기법을 가지고
