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Georg Friedrich Bernhard Riemann은 해석, 수론, 미분기하학에 기여한 독일 수학자였습니다. 실해석 분야에서 그는 주로 적분의 첫 번째 엄밀한 공식화인 Riemann 적분과 Fourier 급수에 대한 연구로 알려져 있습니다. 복소해석에 대한 그의 기여는 가장 주목할 만하게 Riemann 곡면의 도입을 포함하며, 복소해석의 자연스럽고 기하학적인 취급에 새로운 길을 열었습니다. 소수 계산 함수에 관한 그의 유명한 1859년 논문은 Riemann 가설의 원래 진술을 포함하고 있으며, 해석적 수론에서 가장 영향력 있는 논문 중 하나로 간주됩니다. Riemann은 미분기하학에 대한 선구적 기여를 통해 일반 상대성 이론의 수학적 기초를 마련했습니다. 그는 많은 사람들에게 모든 시대의 위대한 수학자 중 한 명으로 간주됩니다.
전기
초기 시절
Riemann은 1826년 9월 17일 Hanover 왕국의 Dannenberg 근처 마을인 Breselenz에서 태어났습니다. 그의 아버지 Friedrich Bernhard Riemann은 Breselenz의 가난한 루터교 목사로 나폴레옹 전쟁에서 싸웠습니다. 그의 어머니 Charlotte Ebell은 자녀들이 성인이 되기 전에 돌아가셨습니다. Riemann은 6명의 자녀 중 둘째로, 수줍음이 많았고 수많은 신경쇠약으로 고통받았습니다. Riemann은 계산 능력과 같은 뛰어난 수학적 기술을 어린 나이부터 보였지만, 수줍음과 공개 연설에 대한 두려움으로 인해 고통받았습니다.
교육
1840년 동안 Riemann은 Hanover로 가서 할머니와 함께 살면서 김나지움 중학교에 다녔습니다. 1842년 할머니의 사망 후, 그는 Johanneum Lüneburg에서 고등학교를 다녔습니다. 고등학교에서 Riemann은 성경을 집중적으로 공부했지만, 종종 수학으로 인해 산만했습니다. 그의 교사들은 복잡한 수학 연산을 수행하는 그의 뛰어난 능력에 놀랐으며, 종종 그는 교사의 지식을 능가했습니다. 1846년, 나이 19세에 그는 목사가 되고 가족의 재정을 돕기 위해 필로로지와 기독교 신학을 공부하기 시작했습니다.
1846년 봄, 그의 아버지는 충분한 돈을 모은 후 Riemann을 University of Göttingen으로 보냈으며, 그곳에서 신학 학위를 공부할 계획이었습니다. 그러나 그곳에 도착한 후, 그는 Carl Friedrich Gauss 아래에서 수학을 공부하기 시작했으며, 특히 최소제곱법에 관한 강의를 들었습니다. Gauss는 Riemann이 신학 공부를 포기하고 수학 분야에 입장할 것을 권장했습니다. 아버지의 승인을 받은 후, Riemann은 1847년 University of Berlin으로 옮겼습니다. 공부 기간 동안 Carl Gustav Jacob Jacobi, Peter Gustav Lejeune Dirichlet, Jakob Steiner, Gotthold Eisenstein이 가르치고 있었습니다. 그는 Berlin에서 2년을 머물렀고 1849년 Göttingen으로 돌아왔습니다.
학계
Riemann은 1854년에 첫 번째 강의를 열었으며, 이는 Riemannian 기하학의 분야를 창립했고 Albert Einstein의 일반 상대성 이론을 위한 무대를 마련했습니다. 1857년, University of Göttingen에서 Riemann을 특임 교수 지위로 승진시키려는 시도가 있었습니다. 이 시도는 실패했지만, 결과적으로 Riemann은 마침내 정규 급여를 받게 되었습니다. 1859년, University of Göttingen에서 Gauss의 의자를 보유하고 있던 Dirichlet의 사망 이후, 그는 University of Göttingen의 수학과 과장으로 승진했습니다. 그는 또한 물리적 현실을 설명하기 위해 단순히 3차원 또는 4차원보다 더 높은 차원을 사용할 것을 제안한 첫 번째 사람이었습니다.
1862년 그는 Elise Koch와 결혼했고, 1862년 12월 22일에 태어난 딸 Ida Schilling이 있습니다.
프로테스탄트 가족과 이탈리아에서의 죽음
Riemann은 1866년 Hanover와 프로이센의 군대가 그곳에서 충돌했을 때 Göttingen에서 도망쳤습니다. 그는 이탈리아로의 세 번째 여행 중 결핵으로 Maggiore 호수의 Verbania의 한 마을인 Selasca에서 죽었고, Biganzolo Verbania의 묘지에 묻혔습니다.
Riemann은 헌신적인 기독교인이자 프로테스탄트 목사의 아들이었으며, 수학자로서의 그의 삶을 하나님을 섬기는 또 다른 방법으로 봤습니다. 그의 인생 동안, 그는 자신의 기독교 신앙을 굳게 지켰고 그것이 그의 삶의 가장 중요한 측면이라고 생각했습니다. 그의 죽음 당시, 그는 그의 아내와 함께 주기도문을 외우고 있었고 그들이 기도를 마치기 전에 죽었습니다. 한편, Göttingen에서 그의 하녀는 그의 사무실의 몇몇 서류를 버렸으며, 많은 미발표 작품을 포함하고 있었습니다. Riemann은 미완성 작업을 발행하기를 거부했으며, 일부 깊은 통찰력이 영원히 손실되었을 수도 있습니다.
Riemann의 Biganzolo 이탈리아의 묘비는 Romans 8:28을 언급합니다:
여기 하나님 안에서 안식하니
Georg Friedrich Bernhard Riemann
Göttingen의 교수
Breselenz에서 태어남, 1826년 9월 17일
Selasca에서 죽음, 1866년 7월 20일
하나님을 사랑하는 자들을 위해, 모든 것이 최선을 위해 함께 일하리라
여기 하나님 안에서 안식하니 Georg Friedrich Bernhard Riemann Göttingen의 교수 Breselenz에서 태어남, 1826년 9월 17일 Selasca에서 죽음, 1866년 7월 20일 하나님을 사랑하는 자들을 위해, 모든 것이 최선을 위해 함께 일하리라
Riemannian 기하학
Riemann의 발표된 작업들은 해석을 기하학과 결합하는 연구 영역을 열었습니다. 이들은 이후 Riemannian 기하학, 대수 기하학, 복소 다양체 이론의 주요 부분이 될 것입니다. Riemann 곡면의 이론은 Felix Klein과 특히 Adolf Hurwitz에 의해 정교화되었습니다. 이 수학 영역은 위상수학의 기초의 일부이며 여전히 수학 물리학에 새로운 방식으로 적용되고 있습니다.
1853년, Gauss는 자신의 학생 Riemann에게 기하학의 기초에 관한 Habilitationsschrift를 준비하도록 요청했습니다. 여러 달에 걸쳐 Riemann은 고차원의 이론을 발전시켰고 1854년 Göttingen에서 "Ueber die Hypothesen welche der Geometrie zu Grunde liegen" "기하학의 기초가 되는 가설에 관해"라는 제목으로 강의했습니다. 그것은 12년 후인 1868년에 Dedekind에 의해 출판되었으며, 그의 사망 2년 후였습니다. 초기 반응은 느린 것으로 보였지만, 현재는 기하학에서 가장 중요한 작업 중 하나로 인식되고 있습니다.
이 작업으로 창립된 주제는 Riemannian 기하학입니다. Riemann은 Gauss 자신이 자신의 theorema egregium으로 증명한 곡면의 미분기하학을 n차원으로 확장할 수 있는 올바른 방법을 찾았습니다. 기본 대상은 Riemann 곡률 텐서라고 불립니다. 곡면의 경우, 이것은 양수, 음수 또는 0인 스칼라 수로 축소될 수 있습니다. 0이 아닌 상수 경우는 알려진 비유클리드 기하학의 모델입니다.
Riemann의 아이디어는 공간의 모든 점에 숫자 모음 즉, 공간이 얼마나 구부러지거나 휘어져 있는지 설명할 텐서를 도입하는 것이었습니다. Riemann은 4차원 공간에서 다양체의 성질을 설명하기 위해 각 점에서 10개의 숫자 모음이 필요하다는 것을 발견했으며, 아무리 왜곡되어도 마찬가지입니다. 이것이 그의 기하학의 중심이 되는 유명한 구성이며, 현재는 Riemannian 메트릭으로 알려져 있습니다.
복소해석
그의 박사학위 논문에서, 그는 Riemann 곡면을 통해 복소해석을 위한 기하학적 기초를 수립했습니다. Riemann 곡면을 통해 무한히 많은 시트를 가진 로그와 같은 다중값 함수나 2개의 시트를 가진 제곱근은 일대일 함수가 될 수 있습니다. 복소 함수는 조화 함수입니다. 즉, 그들은 Laplace 방정식을 만족하고 따라서 이러한 곡면에서 Cauchy-Riemann 방정식을 만족하며, 특이점의 위치와 곡면의 위상에 의해 설명됩니다. Riemann 곡면의 위상적 "종수"는 g = w / 2 − n + 1 매개변수 "모듈리"로 주어집니다.
이 영역에 대한 그의 기여는 많습니다. 유명한 Riemann 사상 정리는 복소 평면의 단순 연결 영역이 "이중정규 등가"라고 말합니다. 즉, 그들 사이에 홀로모르픽이고 홀로모르픽 역함수를 가진 전단사가 C이거나 단위원의 내부입니다. 정리의 Riemann 곡면으로의 일반화는 19세기에 Henri Poincaré와 Felix Klein에 의해 증명된 유명한 균일화 정리입니다. 여기서도, 엄밀한 증명은 이 경우 위상수학의 더 풍부한 수학적 도구의 개발 이후에 처음 주어졌습니다. Riemann 곡면에서 함수의 존재 증명을 위해 그는 Dirichlet 원리라고 부르는 최소성 조건을 사용했습니다. Karl Weierstrass는 증명에서 간격을 찾았습니다: Riemann은 최솟값이 존재한다는 그의 작업 가정이 작동하지 않을 수 있다는 것을 알지 못했습니다. 함수 공간이 완전하지 않을 수 있으며, 따라서 최솟값의 존재가 보장되지 않았습니다. David Hilbert의 변분 미적분학 작업을 통해 Dirichlet 원리가 마침내 수립되었습니다. 그 외에도 Weierstrass는 Riemann에게 매우 깊은 인상을 받았으며, 특히 그의 아벨함수 이론에 깊은 인상을 받았습니다. Riemann의 작업이 나타났을 때, Weierstrass는 그의 논문을 Crelle's Journal에서 철회했으며 그것을 발행하지 않았습니다. 1859년 Riemann이 Berlin에서 그를 방문했을 때 그들은 좋은 이해를 가졌습니다. Weierstrass는 그의 학생 Hermann Amandus Schwarz에게 복소해석에서 Dirichlet 원리에 대한 대안을 찾도록 권장했으며, 그는 성공했습니다. Arnold Sommerfeld의 일화는 현대 수학자들이 Riemann의 새로운 아이디어를 가진 어려움을 보여줍니다. 1870년, Weierstrass는 Riemann의 박사학위 논문을 Rigi로의 휴가에 가지고 갔으며 그것이 이해하기 어렵다고 불평했습니다. 물리학자 Hermann von Helmholtz는 밤새 그를 도와 "자연스럽고" "매우 이해하기 쉽다"는 댓글과 함께 돌아왔습니다.
다른 하이라이트로는 Riemann 곡면에서 아벨함수와 세타함수에 대한 그의 작업이 있습니다. Riemann은 1857년 이후 타원 적분의 일반화인 아벨 적분의 Jacobian 역함수 문제를 해결하기 위해 Weierstrass와 경쟁해 왔습니다. Riemann은 여러 변수에서 세타함수를 사용했으며 문제를 이 세타함수의 0점 결정으로 축소했습니다. Riemann은 또한 주기 행렬을 조사했으며 "Riemannian 주기 관계"를 통해 그들을 특성화했습니다: 대칭, 음의 실수 부분. Ferdinand Georg Frobenius와 Solomon Lefschetz에 의해 이 관계의 유효성은 C n / Ω의 임베딩과 동등하며, 이것은 Riemann 곡면의 Jacobian 다양체이며, 아벨 다양체의 예입니다.
Alfred Clebsch와 같은 많은 수학자들이 대수 곡선에 대한 Riemann의 작업을 발전시켰습니다. 이 이론들은 Riemann 곡면에서 정의된 함수의 성질에 의존했습니다. 예를 들어, Riemann-Roch 정리(Roch는 Riemann의 학생이었습니다)는 Riemann 곡면의 영점과 극점에 대한 알려진 조건을 가진 선형 독립 미분의 개수에 관해 무언가를 말합니다.
Detlef Laugwitz에 따르면, 자형함수는 전자적으로 충전된 원기둥에 대한 Laplace 방정식에 관한 에세이에서 처음 나타났습니다. 그러나 Riemann은 그러한 함수를 등각 사상을 위해 사용했습니다. 예를 들어, 1859년 초기하함수에 관한 강의에서 위상 삼각형을 원으로 매핑하거나 최소 곡면에 관한 논문에서입니다.
실해석
실해석 분야에서, 그는 habilitation에서 Riemann 적분을 발견했습니다. 특히 그는 모든 구간별 연속 함수가 적분 가능하다는 것을 보였습니다. 유사하게, Stieltjes 적분은 Göttingen 수학자로 거슬러 올라가며, 따라서 그들은 함께 Riemann-Stieltjes 적분으로 이름 지어집니다.
그의 교사 Dirichlet의 작업을 따랐던 Fourier 급수에 관한 habilitation 작업에서, 그는 Riemann 적분 함수가 Fourier 급수로 "표현 가능"하다는 것을 보였습니다. Dirichlet는 연속이고 구간별 미분 가능한 함수에 대해 이를 보였으며, 따라서 셀 수 있게 많은 미분 불가능한 점이 있습니다. Riemann은 Dirichlet이 다루지 않은 경우인 연속이지만 거의 어디서나 미분 불가능한 함수를 나타내는 Fourier 급수의 예를 제공했습니다. 그는 또한 Riemann-Lebesgue 보조정리를 증명했습니다: 함수가 Fourier 급수로 표현 가능하다면, Fourier 계수는 큰 n에 대해 0으로 갑니다.
Riemann의 에세이는
