ポール・エルデシュ：住所のない数学者

半ば空のスーツケース、サンダル履きの靴下、家も仕事もなく、一つの国に長く留まることもない。60年間の大半において、ポール・エルデシュはほとんど何も持たずに世界中を横断し、同僚の家の玄関先に予告なしに現れては研究を始めた。「財産は厄介者だ」と彼は言った。21歳になるまで自分でトーストにバターを塗ることさえせず、住居、食事、衣服、納税申告まで他の数学者に依存していた。彼が死んだ時、約2万5000ドルと1500本以上の論文を残した。

喪失の中に生まれて

エルデシュは1913年3月26日、ブダペストで、もとはエングレンダー（Engländer）という名だったユダヤ系家庭の数学教師である父ラヨシュと母アンナの間に生まれた。彼の誕生は悲劇と重なった。「3歳と5歳の2人の姉がいた」と彼は後に振り返った。「母が私を出産中で入院している間に、24時間以内に2人の姉が猩紅熱で亡くなった」。両親は、残された息子を極端に守るようになったことは理解できる。

第一次世界大戦により、父は6年間シベリアで捕虜となった。母は教師をしており、エルデシュは主にオーストリア人の家庭教師に預けられた。「オーストリア人の女性と2人で過ごす時間が長かったので、3歳でドイツ語を覚えた」。数学はカリキュラムというより会話として現れた。「100から250を引くと0の下の150になる」と4歳頃に独力で計算したことがきっかけで、母は負の数を教えた。10歳で父は、素数が無限であるというユークリッドの証明を見せた。「素数との親交は非常に早くから始まった」と彼は書いている。

素数との親交

1930年代のハンガリーでは大学でのユダヤ人の入学が制限されていたが、エルデシュは全国試験でトップの成績を修め、1930年に入学した。20歳になる前に、専門家の間で彼の名を高める成果を上げた。ベルトランの仮説、すなわち「任意のnと2nの間には常に素数が存在する」という命題のエレガントで初等的な証明である。彼は1934年にブダペストのパズマニー・ペーテル大学で博士号を取得した。

同年、フェローシップを得てマンチェスターへ渡り、放浪が始まった。1934年にケンブリッジでG.H.ハーディと、1935年にスタニスワフ・ウラムと出会った。反ユダヤ主義的な暴力の嵐の中、母から家族でキリスト教に改宗すべきかと尋ねられたとき、若いエルデシュは彼を特徴づけることになる率直な独立心でこう答えた。「好きにすればいいよ。でも僕は、自分が何者として生まれたか、そのままでいるつもりだ」。

亡命、そして失われたもの

1938年にプリンストン、続いてウラムの誘いでマディソンに渡った。ヨーロッパは彼を締め出した。1942年に父が心臓発作で亡くなり、母は戦争を生き延びたが、4人の叔父・叔母が殺害され、いとこのマグダ・フレドロはアウシュヴィッツから生還した。彼は解放後の1948年にブダペストに戻った。

その後、アメリカも彼に敵対した。FBIが記録した1941年の些細な不法侵入事件と、中国人数学者との文通が、マッカーシズム時代の当局が1954年にアメリカへの再入国を拒否する理由となった。彼のビザが回復されたのは1963年11月だった。ほぼ10年間、最も国際的な数学者は、彼の共同研究者の大半が働く国から締め出された。

初等的な証明と論争

1949年、エルデシュとアトレ・セルベルグは、当時の専門家が不可能と考えていた、素数定理の初等的な証明という成果を上げた。これは、それまでのすべての証明で必要とされていた複素解析を回避するものだった。この後、世紀の最も苦い優先権争いが起きた。セルベルグが先を越し、先に出版し、翌年にフィールズ賞を受賞した。エルデシュは例によって「競争的な側面にはあまり関心がなかった」。彼は1951年にアメリカ数学会のコール賞（数論）を受賞し、ずっと後年の1983年には5万ドルが贈られるウルフ賞を受賞した。彼はそのほぼすべてを学生や自身が提示した問題の懸賞金として寄付した。

住所のない人生

スタニスワフ・ウラムは1976年の記述で、彼を「平均より少し背が低く、極めて神経質で落ち着きがない人物」と描き、その目は「常に数学のことを考えていることを示していた」と書いた。彼はあらゆる会議に出席し、受け入れてくれる人のところに滞在した。ロナルド・グラハムは彼に部屋を与え、金銭と文通を管理し、「エルデシュの部屋」として知られる場所を維持した。エルデシュは未解決問題に難易度に応じた懸賞金を出し、誰かが解くと支払った。

彼の数学は数論、組合せ論、グラフ理論、そしてニューヨーク・タイムズ紙が彼を創始者と称えた離散数学に及んだ。これは現在、コンピュータ科学の基盤となっている。ブリタニカ百科事典は彼を「解いた問題数と、他者に研究を促した問題数の両面で、20世紀で最も多作な数学者と言える」と評している。タイムズ紙は彼を「現代のオイラー」と呼んだ。彼は数学的真理は発明されるのではなく発見されるものだと信じ、すべての定理の最もエレガントな証明が既に書かれている神の『本』を空想した。彼が論証に対して与える最高の賛辞は、「それは『本』から直接来たものだ」という言葉だった。

エルデシュ数

彼の共同研究の習慣は、民俗的な指標を生んだ。エルデシュ数1とは、彼と論文を共著したことを意味する。2は、エルデシュ数1の人と共著したことを意味し、以下同様である。彼には458人の直接の共同研究者がおり、約4500人の数学者がエルデシュ数2を持っている。誰もが同じように研究したわけではないため、他の誰にもこのような指標は存在しない。

ポールが天才と呼ばれる理由

エルデシュの天才性は通常とは異なる。彼は理論の大聖堂を築かなかった。常任の椅子も、学校も持たず、フィールズ賞も一度も受賞しなかった。一緒に到達した同じ成果でセルベルグにその栄冠を譲った。分野を再編するような基盤的枠組みという偉大な数学者の通常の尺度で測れば、彼の記録は評判より薄い。

代わりに彼が持っていたのは、正しい問題に対する並外れた鼻である。彼自身の説明によれば、「信じられないほど単純で、一見ほとんど不可能に思える」疑問に目を向け、それを解く唯一の組合せ論的角度を見出す能力だった。彼は数論、グラフ理論、集合論を通じて、60年間で数千回これを繰り返した。20歳前のベルトランの仮説の初等的な証明と、36歳での素数定理の初等的な証明がそれを証明している。ブリタニカの「伝説的な風変わり」とタイムズの「現代のオイラー」は、どちらも正当である。

正直な複雑さは、彼の天才が個人のものというよりは、社会的なものだったことだ。エルデシュは、到着し、彼らが答える準備ができている正確な問いを投げかけ、解けるまで共に働くことで、他の数学者をより良くした。その458人の共同研究者は、彼の功績の脚注ではなく、その功績の形そのものである。彼はスーツケースを持った分散型インテリジェンスであり、エルデシュ数が存在するのは、彼が行ったことを説明する他の方法がなかったからだ。

遺産

1996年9月20日、数学の会議に出席中、ワルシャワで心臓発作により83歳で死去した。ロナルド・グラハムの墓碑銘は正確だった。「彼はもう一つの問題との格闘の最中、ブーツを履いたまま死んだ」。彼が提示した問題の多くには懸賞金がかかっており、現在も解かれ続けている。彼が設立に貢献した分野は現代のコンピュータ計算を支えている。そして、彼にちなんで名付けられた指標は、一人の人間がいかにして他の人々と繋がっているかを測る、科学において唯一の尺度として残っている。