トゥラーン・パール：強制収容所からの定理
1944年7月、強制労働に従事していたハンガリー系ユダヤ人のトゥラーン・パール（Pál Turán）は、ブダペスト近郊の工場でレンガを積んだトロッコを線路に沿って押していた。線路が交差する場所でトロッコが揺れ、作業は困難を極めた。多くの者はその交差点を呪っただろうが、トゥラーンはm個の窯とn個の倉庫に対して、交差点の最小数はいくつになるだろうかと考え始めた。こうして、現在「トゥラーンのレンガ工場問題」と呼ばれる、交差数理論の基礎となる問いが生まれた。彼は囚人であったが、その瞬間、数学をしていたのである。
ブダペスト、フェイェール、そして閉ざされた扉
トゥラーンは1910年8月18日、当時オーストリア＝ハンガリー帝国の一部であったブダペストのハンガリー系ユダヤ人の家庭に生まれた。中等学校で才能を発揮し、1933年にブダペスト大学で教職免許を取得、1935年にはハンガリー解析学の中心人物であるフェイェール・リポート（Lipót Fejér）の下でエトヴェシュ・ロラーンド大学から博士号を取得した。
1933年にアメリカ数学会とロンドン数学会の雑誌に2本の重要な論文を発表したが、それが彼の就職に役立つことはなかった。ユダヤ人の高等教育への参加を制限するハンガリーの「ヌメルス・クラウスス（numerus clausus）」法により、彼は長年安定した学術職に就けず、1938年にようやく得た職はブダペストのラビ養成学校でのものだった。23歳で国際的に論文を発表し、28歳で神学校で教えていたこの数学者は、国家によって大学から法的に排除されていたのである。
エルデシュとの出会い
1930年9月1日、ブダペスト大学の数学セミナーで、トゥラーンはエルデシュ・パール（Paul Erdős）と出会った。二人とも学生時代から問題誌『KöMaL』で注目される解答者であった。その日から始まった協力関係は46年間続き、28本の共同論文を生んだ。これは20世紀数学における偉大な持続的パートナーシップの一つであり、トゥラーンの人柄を知るための多くの情報の源でもある。なぜなら、エルデシュは彼について詳しく書き、決してへつらうことはなかったからである。
収容所での5年間
1940年9月、トゥラーンはユダヤ系の出自を理由に逮捕され、強制労働収容所に送られた。彼はトランシルヴァニアとハンガリー各地の収容所で5年間を過ごした。
この期間は彼の業績リストから空白になるはずだったが、そうはならなかった。数学の素養を持つヨシェフ・ヴィンクラー（Joshef Winkler）という将校がトゥラーンの名を知っており、彼のために軽い任務を手配した。トゥラーンはこの余暇を利用した。収容中にリーマンゼータ関数に関する重要な論文を書き上げ、頭の中で問題を解き、考え抜くことで自分を保った。レンガ工場の観察は1944年7月のことだが、彼が真剣に取り組んだのは1952年以降であった。しかし、その問いは線路の上で生まれたのである。
エルデシュは「トゥラーンはナチスの収容所でも精神を失わず、そこで素晴らしい仕事をした」と断言している。1944年に解放され、教育の現場に戻った。
極値グラフ理論
トゥラーンが築いた最も重要な業績は、投獄中に築かれたものである。エルデシュは再びこう述べている。「1940年から1941年にかけて、彼はグラフ理論における極値問題の分野を創設した。これは現在、組合せ論の中で最も急速に成長している分野の一つである。」
その基礎となる「トゥラーンの定理」は、r個の頂点を持つ完全部分グラフを含まないグラフが持ち得る辺の数の上限を与える。これを証明するために、彼は完全二部グラフを一般化した「トゥラーン・グラフ」を発明した。この定理の重要性は特定の境界値にあるのではなく、それが確立した問いの形式にある。つまり、「あるパターンが現れることを強制される前に、どれだけの構造を持ち得るか？」という問いである。それ以来、何千もの設定で問われてきたこの問いこそが、極値組合せ論の本質である。ケヴィ・ショシュ・トゥラーンの定理（Kővári–Sós–Turán theorem）は、このアプローチを禁止部分グラフを持つ二部グラフへと拡張した。
篩とべき乗和
数論が彼の主要分野であった。1934年の「トゥラーンの篩」は、異なる素因数の数の正規分布に関するハーディとラマヌジャンの1917年の結果の簡略化された証明を与えた。ハラースは、その真の意義を「確率論的数論の出発点であったという事実にある」と特定した。学問分野を創設する簡略化は、もはや簡略化ではない。トゥラーン・クビリウスの不等式はこの研究を一般化した。
彼は、素数が剰余類にどのように分布するかという不規則性に対して「素数レース」という言葉を作り、クナポフスキと共にチェビシェフの偏りに関する結果に取り組んだ。エルデシュ・トゥラーンの予想は算術級数における素数に関するものである。また、リーマンゼータ関数の零点のべき乗和の不等式に関する手法である「べき乗和法」を開発し、複素解析、数値解析、微分方程式、超越数論、そして一般的な零点の推定へと応用を広げた。
リーマン予想そのものについて、エルデシュはトゥラーンが「不信者、実際には『異教徒』であった。彼はリーマン予想の真実を信じていなかった」と記録している。彼の解析はルジャンドル多項式に関するトゥラーンの不等式を生み出し、エルデシュと共にエルデシュ・トゥラーンの等分布不等式を導いた。
秘密にされた診断
1945年にブダペスト大学の准教授、1949年に正教授となった。1948年と1952年にコシュート賞を受賞し、1948年にハンガリー科学アカデミーの通信会員、1953年に正会員に選出された。ヤーノシュ・ボヤイ数学会を創設・主宰し、主要な学術誌の編集委員を務め、1970年の国際数学者会議で講演し、同年フィールズ賞委員会に招待された。1975年にはティボル・セーレ賞が続いた。
1939年にエディト・コーボル（Edit Kóbor）と結婚し、息子のロベルトをもうけた。1952年には数学者のヴェラ・ショシュ（Vera Sós）と再婚し、共同研究を行い、二人の息子ジョルジュとタマーシュをもうけた。
1970年頃、白血病と診断された。それを知っていたのはヴェラだけだった。彼女は彼が「人生を愛しすぎていた」ため、絶望するだろうと考え、本人には伝えないことを選んだ。彼女がエルデシュに伝えたのは1976年のことだった。エルデシュは後にその代償を嘆いた。自分の時間が短いことを知らなかったトゥラーンは、いくつかの仕事を「後で」と先延ばしにし、決して完成させることはなかった。
なぜパールは天才と呼ばれるのか
その特別な能力は、学問分野全体にわたる問題の創出にある。トゥラーンの個々の定理は強力だが、彼の特徴は、3つの独立した分野が彼に遡ることである。エルデシュが1940-41年に彼が創設したと明言する「極値グラフ理論」、ハラースが1934年の篩から始まったとする「確率論的数論」、そしてレンガから始まった「交差数理論」である。一つの分野を創設するのはキャリアだが、3つを創設するのは別次元のことである。それは、特定の困難がインスタンスであるような、問いの下にある問いに対する並外れた直感である。
状況がその主張を単なる装飾ではなく、より鋭いものにしている。彼は図書館も同僚も紙もない強制労働収容所で、構造を頭の中に保持しながら極値グラフ理論を創設した。数学的能力について感傷的ではなく、知るべき価値のある人物をすべて知っていたエルデシュは、彼がそこで素晴らしい仕事をしたと語った。
反論は通常よりも薄いが、存在する。エルデシュは46年間彼の親友であり、最も引用される評価者であったため、独立した情報源ではない。トゥラーンのべき乗和法は、その広がりにもかかわらず、彼が信じていなかったリーマン予想を解くことはできなかった。彼の栄誉（2度のコシュート賞、セーレ賞、アカデミー会員）は、学問分野の最高国際賞というよりは、ハンガリーの国家的評価である。そして、極値グラフ理論の爆発的な成長は、彼以降にそれを発展させた人々に負うところが大きい。彼は問いを立て、他者がその主題を構築したのである。
遺産
トゥラーンは1976年9月26日、白血病によりブダペストで66歳で亡くなった。自分が何に殺されているのかを知らないままだった。現在、すべての組合せ論のコースで彼の定理が教えられ、確率論的数論はその創設を彼が24歳で考案した篩に遡る。レンガ工場問題は一般的に未解決のままである。それはふさわしい記念碑である。線路の交差を見つめていた囚人が投げかけた問いは、学問分野がまだ答えきれていないのである。
