マキシム・コンツェビッチ：物理学に厳密さをもたらした数学者

1990年、大学の学位を持たない25歳のソビエト連邦の研究者が、ボン大学の講堂でマイケル・アティヤ（Michael Atiyah）の講義に耳を傾けていた。後に彼が語ったところによれば、「素晴らしい事柄について語る偉大なイギリスの数学者」であったアティヤは、エドワード・ウィッテン（Edward Witten）による曲線の幾何学に関する常識外れな予想について語っていた。数日後、ライン川を下る船の遠足の中で、コンツェビッチは同僚たちに、いかにしてそれを証明するつもりであるかを説明していた。彼はボンに丸1年招待され、2年後にはその証明が博士論文となった。

ヒムキ、韓国語、そして数学オリンピック

彼は1964年8月25日、モスクワ郊外のヒムキ（Khimki）で、厳格な学問を重んじる家庭に生まれた。父のレフ・ラファエロヴィチ・コンツェビッチ（Lev Rafailovich Kontsevich）は、ロシア科学アカデミー東洋学研究所の著名な韓国語の専門家であり、現在でも韓国語をキリル文字に転写する標準的な方法である「コンツェビッチ式」の考案者であった。母はエンジニアであり、兄のレオニード（Leonid）はサンフランシスコでコンピュータ画像処理の研究に従事した。コンツェビッチは、数学と物理学への興味を抱くきっかけを兄と「いくつかの非常に優れた書籍」のおかげだと考えている。

書籍は早い時期にその役割を果たした。16歳で全国数学オリンピックで2位に入賞し、入試なしでモスクワ国立大学への入学を許可された。1980年から1985年まで、イスライル・ゲルファント（Israil Gelfand）をはじめとする素晴らしい教授陣の下で学んだ。19歳ですでに論文を発表しており、1983年にはA. A. キリロフ（A. A. Kirillov）との共著「2つの一般的ベクトル場によって生成されるリー環の増大度（The growth of the Lie algebra generated by two generic vector fields）」、続いてキリロフおよびA. I. モレフ（A. I. Molev）との共著「中程度の増大度を持つ代数（Algebras of intermediate growth）」を発表している。

大学を去った学生

1985年、学位を取得せずにモスクワ国立大学を去り、科学アカデミーの情報伝達問題研究所に加わり、1988年までヴィラソロ代数（Virasoro algebra）や関連構造に関する論文を発表した。ここで立ち止まって考える価値がある。後にフィールズ賞を受賞する人物が、20代前半を学位なしの研究者として、ソ連の情報理論研究所で過ごしていたということである。1988年にフランス高等科学研究所（IHES）を初めて訪れ、決してその場所を忘れなかった。

4つの問題

1992年にドン・ザギエ（Don Zagier）の指導の下で提出されたボン大学での学位論文は、「曲線モジュライ空間上の交差理論と行列airy関数（Intersection Theory on the Moduli Space of Curves and the Matrix Airy Function）」と題されていた。これはウィッテンの予想を証明するものであった。すなわち、代数曲線のコンパクト化されたモジュライ空間上の安定なクラスの交差数が、可積分階層であるコルテヴェック＝ド・フリース方程式（Korteweg–de Vries integrable hierarchy）に従うというものであった。これは、リーマン面の幾何学と浅水波の数学を結びつける、真実であるはずのない主張であった。査読者のクリフォード・ヘンリー・タウブス（Clifford Henry Taubes）は、「この証明の多くのステップが、コンツェビッチの組合せ論的計算に対するユニークな才能を示している」と記した。

その後、5年間でさらに3回、同様の成果を上げた。1993年のワシリエフ（Vassiliev）の結び目不変量に関する論文では、現在「コンツェビッチ積分（Kontsevich integral）」として知られる、結び目と絡み目の普遍的な不変量を導入した。査読者のジョーン・バーマン（Joan Birman）は、彼がこの主題に対して「非常に新鮮で独創的な視点」を取り入れ、複雑な理論を「自然かつ明快に」見せたと記した。また、すべてのポアソン多様体（Poisson manifold）が形式的な変形量子化（deformation quantization）を許容することを証明し、平坦な場合について明示的な公式を提供し、数理物理学における基礎的な問題を解決した。1994年にはユーリ・マニン（Yuri Manin）との共著「グロモフ・ウィッテン類、量子コホモロジー、および列挙幾何学（Gromov–Witten classes, quantum cohomology, and enumerative geometry）」を執筆し、曲線の厳密な計算を可能にする安定写像のモジュライ空間を導入した。これは、カラビ・ヤウ多様体（Calabi–Yau threefolds）内の有理曲線に関する定理の背後にある装置であり、ミラー対称性（mirror symmetry）にとって決定的となった。さらに「形式的（非）可換シンプレクティック幾何学」を執筆し、後にアレクセイ・ベロフ＝カネル（Alexei Belov-Kanel）とともに、ディクミエ予想（Dixmier conjecture）とヤコビアン予想（Jacobian conjecture）の同値性を証明した。

カテゴリー論としてのミラー対称性

1994年のチューリッヒでの国際数学者会議（ICM）において、他の何よりも彼の名を刻むことになったアイデア、ホモロジー的ミラー対称性（homological mirror symmetry）を提唱した。弦理論の研究者たちは、カラビ・ヤウ多様体がミラーペアとして存在し、その複素構造とシンプレクティック構造が入れ替わっているように見えることに気づいていた。コンツェビッチの予想は、これがカテゴリーの同値であるというものである。すなわち、純粋代数幾何学の対象であるX上の連接層の導来圏（derived category of coherent sheaves）は、純粋シンプレクティック幾何学の対象であるそのミラーY上の導来深谷圏（derived Fukaya category）と同値であるというものだ。これは物理学者が観察した偶然の一致を正確な構造的主張へと変え、それ以来、幾何学の大部分を組織化してきた。

ビュル＝シュル＝イヴェット

1990年代半ばにはハーバード大学、プリンストン高等研究所（IAS）、ラトガース大学を経て、バークレー校で教授職に就いたが、兄がそこにいたにもかかわらずアメリカに定住することを断った。彼は1988年から憧れていたビュル＝シュル＝イヴェットのIHESで常任教授職に就き、そこにとどまっている。マイアミ大学でも卓越教授職を務めており、1999年にフランス国籍を取得し、ロシアとフランスの両方のパスポートを保持している。

受賞歴は枚挙にいとまがない。1997年にアンリ・ポアンカレ賞、1998年のベルリンでの国際数学者会議では代数幾何学および代数トポロジーへの貢献によりフィールズ賞、ダニエル・イアゴルニッツァ賞、2008年にはエドワード・ウィッテンとともに「現代の理論物理学に触発された数学への重要な貢献」によりクラフォード賞を受賞した。2012年にはショウ賞および基礎物理学ブレイクスルー賞、2015年には数学ブレイクスルー賞を受賞。パリ科学アカデミーの会員であり、米国科学アカデミーの外国人アソシエイトでもある。

なぜマキシムは天才と呼ばれるのか

二つの異なる能力が働いており、それらが両立することは極めて稀である。第一は非常に特殊な種類の荒削りな計算能力であり、タウブスの言う「組合せ論的計算に対するユニークな才能」という言葉は、褒め言葉ではなく技術的な評価である。これは他の誰にもできなかったウィッテン予想を証明するに至った装置を説明するものだ。第二は物理学者が実際に何を言っているのかを理解する構造的な直感である。弦理論の研究者たちは1980年代から90年代にかけて、目もくらむような厳密さを欠いた主張を生み出していたが、コンツェビッチの習慣は、それらの主張が密かに言及していた数学的対象を見つけ出し、数学者が扱うことのできる形式で提示することであった。ホモロジー的ミラー対称性は最も純粋な例であり、物理的な偶然をカテゴリー的な同値へと変えたものである。バーマンの「複雑な理論を自然かつ明快に感じさせる」という観察は、同じ能力を別の角度から指摘している。

これに対する正直な反論は三つある。原材料の多くは彼のものではない（ウィッテンが予想し、ワシリエフが不変量を定義し、物理学者がミラー対称性を発見した）。コンツェビッチの役割は事物を厳密にすることで、これは不可欠だが、構成上は派生的である。第二に、彼の最も有名な唯一のアイデアは依然として予想の域を出ていない。ホモロジー的ミラー対称性は30年以上経った今でも一般的な証明はなされておらず、予想は定理に比べれば安価なものである。第三に、「天才」とは数学界で自由に流通する通貨であり、コンツェビッチに対する具体的な公的証言は、その言葉を求めるよりも、技術と独創性を称賛する傾向がある。守り得る主張はより狭い範囲でありながら、依然として並外れている。約10年間、彼は理論物理学と厳密な数学の間で、どの分野よりも信頼できる翻訳者であった。

遺産

今日、全研究プログラムが彼の定義に基づいている。安定写像、コンツェビッチ積分、変形量子化、そしてミラー対称性の深谷圏による定式化である。彼は今もIHESに残り、研究を続けており、1994年のチューリッヒの舞台で浮かび上がらせたその予想は、ほとんどの完結した証明よりも多くの数学を生み出し続けている。