マーク・カッツ（Mark Kac）：太鼓の形を聞き分けることはできるか？

1966年、あるポーランド系アメリカ人の確率論者が、子供でも尋ねるような問いを立てた論文を発表しました。「太鼓の音を聞いて、その形を言い当てることはできるか？」という問いです。答えは「いいえ」でした。異なる共鳴器が同一の固有振動数を共有することがあるのです。この問いがひとつの分野を確立しました。カッツは2年後にこの論文で自身2度目となるショーヴネ賞を受賞し、誰が言ったのか知られずとも人々が引用する数少ない数学の問題の一つを残しました。

クレメネツと移動した国境

カッツは1914年8月3日、当時ロシア帝国領であったクレメネツ（ポーランド語でクシェミェニェツ：Krzemieniec）のポーランド系ユダヤ人の家庭に生まれました。彼が子供の頃、町はソビエト・ウクライナからリガ平和条約のもとポーランドへと統治者が変わりました。彼自身は動いていませんが、国境が動いたのです。足元でシステムが変化する挙動を生涯にわたって研究した数学者にとって、これほどふさわしい出自はないでしょう。

リヴィウ、シュタインハウス、そして旅立ち

彼は1937年にリヴィウ大学（University of Lwów）でフーゴ・シュタインハウス（Hugo Steinhaus）の指導のもと博士号を取得し、戦間期のポーランドにおいて最も重要な数学的才能の集積地であったリヴィウ数学派（Lwów School of Mathematics）に属していました。この学派は来るべき10年で壊滅させられることになります。

1938年、パルナス財団（Parnas Foundation）の助成金により、彼はアメリカへ渡ることが可能になりました。1938年11月にニューヨークに到着しました。そのタイミングは、文字通り「人生」と「統計データ」の分かれ目であり、扉が閉まる直前の最後の窓口を通って大西洋を渡ったのです。

コーネル大学と戦争

彼は1939年にコーネル大学に加わり、1943年にインストラクターから助教授へ、1947年に教授へと昇進しました。1943年にはアメリカ市民権を取得しました。1943年から1945年にかけて、MIT放射線研究所のレーダー開発という戦時任務に従事しました。これは純粋数学者が自らの抽象的概念が直ちに物理的な効力を持つことを発見するような場所でした。ウーレンベックとの共同研究は戦後も続き、二人はP.C.ヘンマーと共に、後にファン・デル・ワールス気体の数学的定式化を行いました。

1942年8月

彼の両親と兄弟はクレメネツに残っていましたが、1942年8月のナチスによる大量虐殺で殺害されました。

この事実は、伝記において通常そうであるように、何の注釈もなく記されており、物語として滑らかに語られるべきではありません。カッツがアメリカでコーネル大学の教鞭をとり、学術的キャリアを上昇させていたその最中に、かつて少年時代に国境が自身の周りを動いた町で、彼の家族は殺害されたのです。内面的な結果が何であれ、記録上彼はその後40年間、精力的に働き続け、晩年には科学者の権利を守る委員会（Committee of Concerned Scientists）の共同議長を務め、ウラジーミル・サムイロヴィチ・キスリク（Vladimir Samuilovich Kislik）やヨシフ・ベグン（Yosif Begun）など、迫害された科学者の事例を世間に公表しました。彼は、誰も声を上げない時に何が失われるのかを、早い段階で学んでいたのです。

統計物理学：リングとイジング模型

1950年代は彼の物理学の時代でした。1952年、セオドア・H・バーリンと共に強磁性体の球模型を導入し、J.C.ウォードと共にイジング模型の厳密解を導き出しました。これは希少かつ価値あるもので、厳密に解けるモデルこそが、分野全体が航行するための固定点となるからです。

1956年には「カッツのリング」が登場し、これがおそらく彼の最もエレガントな単一の構築物でしょう。これが取り組むパズルは古く、実に悩ましいものです。「物事が崩壊し、決して自発的に元に戻らない」というマクロ的な不可逆性が、時間的に完全に等価なミクロの法則からどうして生まれるのか？というロシュミットのパラドックスです。カッツは、完全に解析できるほど単純で、かつ現象を示すほど豊かな「おもちゃのモデル」を構築し、議論ではなく説明を生み出しました。これこそが、ある種の数理物理学における最高形態、すなわち哲学的な論争を計算可能な例に置き換えることなのです。

太鼓

彼の1966年の論文は、「太鼓の幾何学的な形はその音によって一意に決定されるか」を問いました。答えは一般には「いいえ」であり、異なる形状でも同じスペクトルを生み出すことがありますが、円形太鼓のような特定の形状については、ラプラス演算子のスペクトルから幾何学を推定できることが分かりました。そこからスペクトル幾何学が生まれました。これは、演算子のスペクトルがその演算子が存在する空間について何を語るかを体系的に研究するものです。

この問いの力は、その形式にあります。日常語で述べられ、数学者でなくとも即座に理解でき、答えを出すには本格的な数学的手法が必要であるという点です。これら三つの特性を備えた問題を定式化できる研究者は、ごくわずかです。

なぜマークは天才と呼ばれるのか

彼の際立った能力は「問いの選定」にあります。カッツの技術的な業績（イジング解、球模型、ファン・デル・ワールスの数学）は一流ですが、一流の技術的業績は文学の中に埋もれて消えていくことも少なくありません。彼を別格にしているのは、混沌とした領域を突如として扱いやすいものにする定式化を何度も見つけ出した点です。カッツのリングはロシュミットのパラドックスに対して、太鼓の問いはスペクトル幾何学に対してそれを実行しました。これは、難しい問題を解くことではなく、解く価値のある難しい問題を見つけ出し、それを他の人が研究を開始できるほど明快に提示するという、特定の稀な才能です。

彼の解説の才能も同じ本能を外に向けたものであり、それは広く認められました。ショーヴネ賞を1950年と1968年の2度受賞し、1967年にはレスター・R・フォード賞を受賞しています。組織からの承認も続き、アメリカ芸術科学アカデミー（1959年）、アメリカ科学アカデミー（1965年）、アメリカ哲学協会（1969年）の会員となり、1971年にはブリュッセルでソルベー講師を、1980年にはピサのスクオーラ・ノルマーレでフェルミ講師を務めました。

反論としては、記録上誰も彼にその言葉を当てはめておらず、彼の賞は発見よりも解説に対して与えられており、太鼓の問題が有名なのはその魅力的な問いのおかげで、答えは他の人々が提供したという点があります。否定的な読み方をすれば、彼は偉大な数学者というよりは、素晴らしいコミュニケーターであり非常に優秀な数学者となります。公平な読み方をすれば、枠組みの設定（フレーミング）それ自体が発見の一形態であり、カッツはそれを何度も行ったということです。

遺産

カッツは1961年にコーネル大学を去り、ロックフェラー大学へ移り、1981年までの約20年間を過ごした後、南カリフォルニア大学で締めくくりました。1984年10月26日に死去しました。彼の著書『確率論、解析学、数論における統計的独立性』（1959年）、『物理科学における確率および関連トピック』（1959年）、スタニスワフ・ウラムとの共著『Mathematics and Logic』（1968年）は一つの世代を教育し、自伝『偶然の謎（Enigmas of Chance）』は1985年に死後出版されました。このタイトルは、国境という偶然によって家族を失い、助成金という偶然によって生き延びた男によって選ばれた、ふさわしいものと言えます。