マーク・ラッケンビー：結び目を解いた男

「2つの結び目が同じであるかどうかを判別する体系的な方法は、まだ知られていない」。これは1954年のアラン・チューリングの言葉であり、数学において最も頑固で具体的な未解決問題の1つを指摘した。それは、端を結合した紐の絡まりが、真に結ばれているかどうかを判断することである。マックス・デーン (Max Dehn) は1910年にこの問題を提起した。ヴォルフガング・ハーケン (Wolfgang Haken) は1961年に最初のアルゴリズムを作成したが、複雑な問題に対しては絶望的に遅かった。2021年2月2日、カリフォルニア大学デービス校で、マーク・ラッケンビーは、この問題がnのc log n乗ステップ、つまり準多項式時間で解決可能であることを発表した。これは、計算機科学者が真に扱いやすい問題の証と見なす効率性に近いものである。オックスフォードの数学者たちは、これをゴルディオンの難問を解く離れ業と呼んだ。

ケンブリッジとリコリッシュ学派

ラッケンビーは1990年に数学を学ぶためにケンブリッジ大学に入学し、そのまま博士号を取得するために留まった。1997年にW. B. R. リコリッシュ (W. B. R. Lickorish) の指導の下、「Dehn Surgery and Unknotting Operations（デーン手術と結び目解消操作）」というタイトルの論文を完成させた。リコリッシュは20世紀の結び目理論の中心人物の一人であり、論文のトピックであるデーン手術と結び目解消は、四半世紀経ってもラッケンビーの専門分野として認識され続けることになった。これほど早く自分の専門領域を選び、そこで新しい発見をし続ける数学者は珍しい。

彼はカリフォルニア大学バークレー校でミラー・リサーチ・フェローを務め、ケンブリッジで研究員を経て、1999年にオックスフォード大学の講師およびセント・キャサリンズ・カレッジのフェローとなった。2006年には教授に昇進した。彼の研究は結び目理論、低次元トポロジー、群論にまたがっており、これら3つの主題は、3次元においては異なる角度から見た多かれ少なかれ同じ主題であることが判明している。

穴を埋める

デーン手術は3次元トポロジーの中心となる操作である。結び目の周囲にある固体のチューブを切り取り、別の方法で貼り直す。ほとんどすべての3次元多様体はこの方法で生成できるため、操作を理解することは対象を理解することを意味する。

重要なのは、結果がいつ双曲的なままになるかという問いである。双曲幾何学は3次元多様体を剛直で解析可能にする構造であり、その欠如は荒野の始まりを意味する。2π定理は、手術が双曲性を保存することを保証する幾何学的基準を与える。ラッケンビーはその強化版を証明した。これは彼にとって典型的な結果の種類である。新しい風景の発見ではなく、既存の境界線の鋭敏化であり、その有用な側に多くの領域が収まるように十分うまく行われている。

交代結び目と体積

第2の糸は、結び目の図と幾何学を結びつける。ページ上に結び目を図として描けば、交点、弧、領域といった組合せ論が得られる。結び目の周囲の空間を考えれば、それに付随する双曲体積を持つ幾何学が得られる。これらは全く異なる種類の情報であり、それらを関連付けることはこの分野の深いプロジェクトの1つである。

ラッケンビーは、交代結び目（結び目に沿って進むと交点が上、下、上、下と交互に現れるクラス）の結び目補空間の双曲体積に境界を与えた。これは幾何学的な不変量を、図上で文字通り数えられるものと結びつけるものである。この種の結果こそが、結び目幾何学を単なる観想対象ではなく計算可能なものにする。

ライデマイスター移動のカウント

結び目のどの図も、3つの基本的な操作であるライデマイスター移動のシーケンスによって、同じ結び目の他のどの図にも変換できる。これは1920年代から知られているが、それ自体では役に立たない。何回の移動が必要かは何も示しておらず、単純化される前に、端点よりもはるかに複雑な図を経由しなければならない可能性があるからである。これが結び目解消が難しい理由そのものであり、多くの場合、良くなる前に絡まりを悪化させなければならない。

ラッケンビーは、自明な結び目の図は、交点の数に対して多項式的な回数のライデマイスター移動で解けることを示した。悲観論は間違っていた。自明な円への道は常にかなり短く存在する。それを見つけるのが別の問題であるとしても。

準多項式時間

2021年へと話は移る。結び目解消問題には、ハーケンの後、トポロジーと幾何学に基づいた多くのアルゴリズムが蓄積されていたが、結び目が複雑になると、そのほとんどが壊滅的に遅くなった。多項式時間アルゴリズムが存在するかどうかは、トポロジーと計算機科学の境界における有名な未解決問題の1つとなっていた。ウィリアム・サーストン (William Thurston) は2011年にこう明言した。「多くの人がこの問題について考えてきた……しかし、これは解決するのが非常に難しい問題だった」。

ラッケンビーのn^(c log n)の境界は、完全に決着をつけたわけではない。準多項式は多項式より遅いからである。しかし、準多項式とそれ以前のすべてのものとの間のギャップは巨大であり、準多項式と多項式との間のギャップは、実用的かつ概念的な観点からは小さい。チューリングが手に負えないものとしてリストアップしていた問題は、今や本質的に手なずけられている。

マークが天才と呼ばれる理由

彼が示している資質は、スピードでも幅でもない。それはある種の忍耐強い深さである。デーン手術、結び目解消、結び目補空間の幾何学という同じ一連の疑問に25年間向き合い、何世代もの数学者が耐えてきた問題を解決可能にするまで技術を積み重ねてきたことだ。結び目解消の結果が最も明白な証拠である。なぜなら、それは巧妙なトリックによって導き出されたものではないからだ。必要な特定の機械構造を構築することにキャリアを費やし、他の人には見えなかったトポロジー的および幾何学的な道具の組み合わせを構成できる人物によって導き出されたのである。

同僚からの評価は、扇情的なものではなく一貫している。2003年のロンドン数学会のホワイトヘッド賞、2006年の数学・統計学におけるフィリップ・リーヴァーヒューム賞、2010年の国際数学者会議での講演招待など、研究の重要性を示す分野で最も信頼できるシグナルである。2021年の発表は最も強い言葉を引き出し、オックスフォードは「離れ業 (tour-de-force)」という言葉を使った。

反論も述べなければならない。ラッケンビーを天才と呼んだ記録はどの情報源にもなく、彼が属する数学界はその言葉を非常に慎重に使う。彼の研究はハーケン、サーストン、リコリッシュ、そして正規曲面の伝統全体に直接基づいている。準多項式アルゴリズムは確立された枠組みの中での劇的な改善であり、新しい枠組みではない。また、多項式ではないため、主要な疑問は技術的にはまだ開かれている。そして低次元トポロジーは、その美しさにもかかわらず専門分野であり、彼の結果はトポロジストの間では有名だが、外部ではほとんど知られていない。議論の余地がないのは、彼が1世紀の間耐えられてきた難問を解き、誰よりも自分の専門分野を徹底的に理解することでそれを成し遂げたということである。

遺産

ラッケンビーが研究の全4つの柱を通じて行ったことは、結び目理論を効果的にすることである。交点を数えることで体積を制限し、移動を数えることで結び目解消を制限し、ステップを数えることで認識を制限する。それぞれの場合において、観想対象であったものが計算可能な対象となった。このシフトこそが美しい理論を使える理論に変えるものであり、2021年の成果がトポロジーの枠を超えて理論計算機科学へと大きく波及した理由である。デーンが1910年に問題を提起してから、111年と、それ以外の仕事に取り組むことを拒んだオックスフォードの教授が必要だったのである。