優れた数学者は皆、少なくとも半分は哲学者であり、優れた哲学者は皆、少なくとも半分は数学者である。
Friedrich Ludwig Gottlob Frege はドイツの哲学者、論理学者、数学者でした。彼は Jena 大学で数学教授として働き、多くの人に解析哲学の父として理解されており、言語哲学、論理学、数学に専念していました。彼は生涯中ほぼ無視されていましたが、Giuseppe Peano 1858–1932、Bertrand Russell 1872–1970、およびある程度 Ludwig Wittgenstein 1889–1951 が彼の著作を後の世代の哲学者に紹介しました。
彼の貢献には、Begriffsschrift における現代論理の発展と数学の基礎における研究が含まれます。彼の著書「算術の基礎」は論理主義的プロジェクトの最重要テキストであり、Michael Dummett によって言語論的転回の転機として引用されています。彼の哲学論文「意味と指示について」と「思想」も広く引用されています。前者は 2 つの異なるタイプの意味と記述主義を論じています。「基礎」と「思想」において、Frege は数と命題に関して、心理主義または形式主義に対するプラトニズムを論じています。Russell の逆説は、「基礎」における Frege の基本法則 V が偽であることを示すことで、論理主義的プロジェクトを損なわせました。
生涯
幼年期 1848–69
Frege は 1848 年に Wismar、Mecklenburg-Schwerin（現在は Mecklenburg-Vorpommern の一部）で生まれました。彼の父 Carl Karl Alexander Frege 1809–1866 は女子高等学校の共同創設者兼校長で、彼の死まで務めました。Carl の死後、学校は Frege の母 Auguste Wilhelmine Sophie Frege（旧姓 Bialloblotzky）1815 年 1 月 12 日 – 1898 年 10 月 14 日によって指導されました。彼女の母は Auguste Amalia Maria Ballhorn で、Philipp Melanchthon の子孫であり、彼女の父は Johann Heinrich Siegfried Bialloblotzky で、17 世紀にポーランドを離れたポーランド貴族の家系の子孫でした。
幼年期に、Frege は彼の将来の科学的キャリアを導くであろう哲学に出会いました。例えば、彼の父は「Hülfsbuch zum Unterrichte in der deutschen Sprache für Kinder von 9 bis 13 Jahren」（第 2 版、Wismar 1850；第 3 版、Wismar および Ludwigslust: Hinstorff、1862）「9 歳から 13 歳の子どもにドイツ語を教えるためのハンドブック」というタイトルの児童向けドイツ語教科書を執筆しました。その最初のセクションは言語の構造と論理を扱っていました。
Frege は Große Stadtschule Wismar で学び、1869 年に卒業しました。彼の教師 Gustav Adolf Leo Sachse 1843 年 11 月 5 日 – 1909 年 9 月 1 日は詩人であり、Frege の将来の科学的キャリアを決定する上で最も重要な役割を果たし、Jena 大学での研究を続けるよう彼を励ましました。
大学での研究 1869–74
Frege は 1869 年春に北ドイツ連邦の市民として Jena 大学に入学しました。彼の研究の 4 学期間に、彼はおよそ 20 コースの講義に出席し、そのほとんどが数学と物理学に関するものでした。彼の最も重要な教師は Ernst Karl Abbe 1840–1905；物理学者、数学者、発明家でした。Abbe は重力理論、ガルバニ現象と電気力学、複素解析複素変数の関数論、物理学の応用、機械学の選定部門、および固体の力学に関する講義を行いました。Abbe は Frege にとって単なる教師以上の存在でした。彼は信頼できる友人であり、光学機器製造業者 Carl Zeiss AG の取締役として、Frege のキャリアを進める立場にありました。Frege の卒業後、彼らはより密接な文通を行うようになりました。
彼の他の注目すべき大学教師は Christian Philipp Karl Snell 1806–86；科目：幾何学における無限小解析の使用、平面の解析幾何学、解析力学、光学、力学の物理的基礎；Hermann Karl Julius Traugott Schaeffer 1824–1900；解析幾何学、応用物理学、代数解析、電信およびその他の電子機器；および哲学者 Kuno Fischer 1824–1907；カント哲学および批判哲学でした。
1871 年から、Frege は German 語圏の数学の主要大学である Göttingen での研究を続けました。そこで彼は Rudolf Friedrich Alfred Clebsch 1833–72；解析幾何学、Ernst Christian Julius Schering 1824–97；関数論、Wilhelm Eduard Weber 1804–91；物理学研究、応用物理学、Eduard Riecke 1845–1915；電気理論、および Hermann Lotze 1817–81；宗教哲学の講義に出席しました。成熟期の Frege の多くの哲学的教義は Lotze の教説に類似していますが、Frege の見解に Lotze の講義からの直接的な影響があったかどうかは学問的議論の対象となってきました。
1873 年、Frege は Ernst Christian Julius Schering の下で博士号を取得し、「Ueber eine geometrische Darstellung der imaginären Gebilde in der Ebene」「平面における虚数の形の幾何学的表現について」というタイトルの学位論文を執筆しました。この論文では、射影幾何学の無限遠虚点の数学的解釈など、幾何学の基本的な問題を解決することを目指していました。
Frege は 1887 年 3 月 14 日に Margarete Katharina Sophia Anna Lieseberg 1856 年 2 月 15 日 – 1904 年 6 月 25 日と結婚しました。
論理学者としての仕事
彼の教育と初期の数学的仕事は主に幾何学に焦点を当てていましたが、Frege の仕事はすぐに論理へと転向しました。彼の「Begriffsschrift, eine der arithmetischen nachgebildete Formelsprache des reinen Denkens」Halle a/S: Verlag von Louis Nebert, 1879 は論理の歴史における転機となりました。Begriffsschrift は新しい境地を開き、関数と変数の観念の厳密な扱いを含みました。Frege の目標は、数学が論理から成長することを示すことであり、そうすることで、彼は彼に伝わってきた論理的伝統の中の Aristoteles のシロギズムおよび Stoic 命題論理をはるかに超える技法を考案しました。
実際のところ、Frege は大部分は量化された変数の彼の発明のおかげで公理的述語論理を発明しました。これは最終的に数学と論理の中で遍在するようになり、多重一般性の問題を解決しました。以前の論理は論理定数 and、or、if... then...、not、および some と all を扱っていましたが、特に「some」と「all」のこれらの操作の反復はほとんど理解されていませんでした。「すべての少年がある少女を愛する」と「ある少女がすべての少年に愛されている」というような文の区別さえ、非常に人工的にしか表現できませんでした。一方、Frege の形式主義は「すべての少年がある少女を愛しており、その少女がある少年を愛しており、その少年がある少女を愛している」および類似の文の異なる読み方を、例えば「すべての少年は愚かである」の彼の扱いと完全に平行して表現するのに何の困難もありませんでした。
よく指摘される例は、Aristoteles の論理が「無限に多くの素数がある」という数論の基本的な陳述である Euclid の定理のような数学的陳述を表現することができないということです。しかし、Frege の「概念表記法」はそのような推論を表現できます。論理的概念の分析と形式化の機構は、Bertrand Russell 1872–1970 および Alfred North Whitehead 1861–1947 による「Principia Mathematica」3 巻、1910–13 に不可欠であり、Russell の記述理論、Kurt Gödel 1906–78 の不完全性定理、および Alfred Tarski 1901–83 の真理論に至るまで、最終的には Frege によるものです。
Frege の述べられた目的の 1 つは、真に論理的な推論の原則を分離することでした。それにより、数学的証明の適切な表現においては、「直観」に訴えることはないでしょう。直観的な要素があった場合、それは分離され、別々の公理として表現されることになっていました。そこから、証明は純粋に論理的であり、隙間がないものにする必要がありました。この可能性を示すことで、Frege のより大きな目的は、算術が論理の一部であるという見解を擁護することでした。これは論理主義として知られている見解です。幾何学と異なり、算術は「直観」に基礎を持たないこと、および非論理的公理の必要性がないことが示されることになっていました。既に 1879 年の Begriffsschrift において、例えば三分法の一般化された形のような重要な予備定理は、Frege が純粋論理であると理解していたもの内で導かれていました。
このアイデアは彼の「Die Grundlagen der Arithmetik」「算術の基礎」1884 で非記号的な用語で定式化されました。後に、彼の「Grundgesetze der Arithmetik」「算術の基本法則」第 1 巻 1893；第 2 巻 1903；第 2 巻は彼自身の費用で出版されました、Frege は彼の記号法を使用して、彼が論理的であると主張した公理から算術のすべての法則を導出しようとしました。これらの公理のほとんどは彼の Begriffsschrift から引き継がれましたが、いくつかの重要な変更がありました。唯一の本当に新しい原則は、彼が基本法則 V と呼んだもので、関数 fx の「値の範囲」は関数 gx の「値の範囲」と同じであり、かつ当たり場合のみです。
法則の重要な場合は、次のように現代的な表記法で定式化できます。{x|Fx} を述語 Fx の外延、すなわち、すべての F の集合を表し、Gx についても同様とします。その後、基本法則 V は、述語 Fx と Gx が同じ外延を持つ場合、かつ当たり場合のみであると述べています。F の集合は、すべての F が G であり、かつすべての G が F である場合、かつその場合にのみ G の集合と同じです。この場合が特別なのは、ここで述語の外延、または集合と呼ばれているものが、関数の「値の範囲」の唯一のタイプであるためです。
有名なエピソードで、Bertrand Russell は 1903 年に「Grundgesetze」の第 2 巻がプレスに行く直前に Frege に手紙を書き、Russell の逆説が Frege の基本法則 V から導き出されることを示しました。Frege のシステムで集合またはメンバーシップの拡張の関係を定義することは簡単です。その後、Russell は「x がそれ自身のメンバーではないようなもの x の集合」に注目を呼びかけました。「Grundgesetze」のシステムは、このように特徴付けられた集合が自身のメンバーであり、かつそうではないこともあることを含み、したがって矛盾しています。Frege は第 2 巻に急ぎの最後の瞬間の付録を書き、矛盾を導き出し、基本法則 V を修正することで矛盾を排除することを提案しました。Frege は付録を非常に正直なコメントで開きました：「科学的著者にとって、著作が完成した後に彼の建造物の基礎の 1 つが揺すぶられるより不幸なことはほとんどない。これが Bertrand Russell 氏の手紙によって私が置かれた立場でした。この巻の印刷がその完成に近づいていた時ちょうど。」この手紙と Frege の返信は Jean van Heijenoort 1967 で翻訳されています。
Frege が提案した救済策はその後、宇宙に物体が 1 つだけ存在することを示すことが示されました。したがって、価値がありません。実際に、これは Frege の議論の基礎である「真と偽は異なるオブジェクトである」というアイデアを公理化していた場合、Frege のシステムに矛盾をもたらすであろう。例えば、Dummett 1973 を参照してください。しかし、最近の研究は、「Grundgesetze」のプログラムの多くが他の方法で救済される可能性があることを示しています：
- 基本法則 V は他の方法で弱化できます。最も知られた方法は Frege の著作の専門家であった哲学者および数学論理学者 George Boolos 1940–1996 によるものです。「概念」F は、F の下で落ちるオブジェクトが談話の宇宙と 1 対 1 対応で置かれることができない場合、つまり、∃R[R は 1-to-1 & ∀x∃yxRy & Fy] でない限り、「小さい」です。その後、V を V* に弱化します：「概念」F と「概念」G が同じ「外延」を持つ場合、かつ F も G も小さくない場合、または ∀xFx ↔ Gx である場合のみです。V* は 2 次算術である場合に一貫しており、2 次算術の公理を証明するのに十分です。
- 基本法則 V は単に Hume の原則で置き換えることができます。この原則は、F の数が G の数と同じである場合、かつ F を G と 1 対 1 対応で置くことができる場合のみであると述べています。この原則も、2 次算術である場合に一貫しており、2 次算術の公理を証明するのに十分です。この結果は Frege の定理と呼ばれています。これは、算術を発展させる際に、Frege による基本法則 V の使用が Hume の原則の証明に限定されていることに気付いたため、これから算術の原則が導かれるためです。Hume の原則と Frege の定理については、「Frege の論理、定理、および算術の基礎」を参照してください。
- Frege の論理は、現在 2 次論理として知られており、いわゆる述語的 2 次論理に弱化できます。述語的 2 次論理加算基本法則 V は有限主義的または構成的な方法で証明可能に一貫していますが、算術の非常に弱いフラグメントのみを解釈できます。
Frege の論理学の仕事は 1903 年に Russell が「数学の原理」への付録を書くまで、ほとんど国際的な注目を集めませんでした。Frege との彼の違いを述べています。Frege が使用した図式表記法は先例がなく、それ以来模倣者がいません。さらに、Russell と Whitehead の「Principia Mathematica」3 巻が 1910–13 に登場するまで、数学論理学への支配的なアプローチは依然として George Boole 1815–64 とその知的継承者、特に Ernst Schröder 1841–1902 のアプローチでした。しかし、Frege の論理的観念は、彼の学生 Rudolf Carnap 1891–1970 の著作と他の支持者、特に Bertrand Russell および Ludwig Wittgenstein 1889–1951 を通じて広がりました。
哲学者
Frege は解析哲学の創設者の 1 人であり、論理と言語に関する彼の著作は哲学における言語論的転回を引き起こしました。彼の言語哲学への貢献は以下を含みます：
- 命題の関数と引数の分析；
- 概念とオブジェクト Begriff und Gegensta の区別
