アーネスト・マイケル：いかにして悪く選ばずに選ぶか

1956年、ワシントン大学の若き位相幾何学者が、選択に関する定理を発表した。各点に対して単一の値ではなく、許容可能な値の集合全体を割り当てるルールがある場合、そこから一つずつ選ぶことはいつ可能か。それも、近くの点に対しては近くの選択が得られるように、連続的に選ぶことはいつ可能か。彼が与えた答えは、今日、経済学者が均衡の存在を証明するたび、あるいは制御理論家がシステムを操縦可能であることを証明するたびに利用されている。50年後、ある学術誌がこの理論から発展したものに丸ごと一冊の特集号を捧げ、1956年を「この理論の誕生の年」と呼んだ。

チューリッヒ、ベルリン、ハーグ、ニューヨーク

マイケルは1925年8月26日、チューリッヒで、アシュケナージ系ユダヤ人の家庭であるヤコブとエルナ・マイケルの息子として生まれた。

その後の14年間は、崩壊していく大陸の地図のように読める。一家は1932年、ヒトラーが権力を握る前年にベルリンから移住した。つまり、彼らは状況を早期かつ正確に読み取っていたのだ。彼らはハーグへ向かった。1939年、オランダが侵攻まで数ヶ月というところで、彼らは再びニューヨークへ移住した。マイケルは後に、スイスとドイツにルーツを持つアメリカ人と評されることになるが、その言葉の一つひとつは出発という代償を払って得られたものだった。

彼は15歳でホレス・マン・スクールを卒業した。コーネル大学に進学したが、戦争により中断を余儀なくされた。1944年から1946年までUSSクワジェリンに乗艦し、復員後1947年に学士号を取得した。1948年にハーバード大学で修士号を取得し、1951年にはアーヴィング・シーガルの指導の下、シカゴ大学で局所乗法的凸位相代数に関する論文により博士号を取得した。

シアトルでの41年間

1952年、マイケルはワシントン大学の数学科に加わった。1952年から1956年まで助教授、1956年から1960年まで准教授、そして1960年から1993年に退職するまで教授を務めた。最初の14年間で3つの国を経験した人生の中で、一つの学科に41年間留まった。

彼は再び移住するのではなく、その拠点を中心に旅をした。プリンストン高等研究所での4度の客員研究員期間、1973年から74年にかけてのETHチューリッヒ（出生地への帰還）での1年間、そして1978年から79年にかけてのシュトゥットガルト大学での1年間である。

選択定理

1956年の結果は、集合値写像（対応や多価関数とも呼ばれる）に関するものである。

通常の関数は入力に対して一つの出力を与える。集合値写像は、その集合全体を与える。例えば、各価格に対して企業が最適に生産しうる数量の集合、あるいは機械の各状態に対して許容される制御の集合である。選択とは、それらの各集合から一つの要素を選ぶ通常の関数のことである。選択公理を受け入れれば選択は常に存在するが、一般には極めて不連続なものとなり、不連続な選択は現実の目的には役に立たない。

マイケルの選択定理は、連続的な選択が存在するための条件を与える。大まかに言えば、定義域がパラコンパクトであり、写像が閉凸値を持つ下半連続であることである。この定理は、現代解析学の多くが機能する理由となっている。数理経済学における不動点論法、微分包含論、最適化や制御理論は、すべてどこかの段階で、動く集合から連続的に選択できることに依存している。

彼はこの定理にとどまらなかった。彼はその周囲に連続選択理論全体を構築し、1956年の論文はその分野の起源として正当に評価されている。

マイケル線

彼のもう一つの有名な構成は反例であり、一般位相幾何学において最も引用されるものの一つである。

位相幾何学者は長い間、性質が積の下でうまく振る舞うことを望んできた。二つの空間が良ければ、その積も良くなるはずだという考えである。マイケル線は、特定の重要なペアリングにおいてその希望を打ち砕く。それはパラコンパクト空間であるが、無理数空間との積は正規空間ですらない。

この質の反例は、数学において特別な役割を果たす。それらは可能性の境界を示し、後続の者たちが誤った証明を試みて何年も無駄にすることを防ぐ。マイケルの名は、マイケルの積位相や閉部分空間に関する結果にも冠されており、彼は一般位相幾何学において100本以上の論文を『Transactions』、『Annals』、『Duke』などに発表し、部分集合の超空間、パラコンパクト性、連続選択、正規空間の振る舞いについて論じた。

なぜアーネストは天才と呼ばれるのか

最も強力な証拠は、特定の珍しい種類の持続性である。1956年に発表されたたった一つの論文が、50年後もなお新しい数学を生み出し続けていたため、『Topology and Its Applications』誌が記念の特集号を組んだほどである。これほどの成果はめったにない。

関与している認知能力は正確に名付ける価値がある。なぜなら、それは単なる計算能力ではないからだ。マイケルの才能は、正確な仮説を見つけることにあった。望ましいことが真となる最小限の条件を見つけ、それを緩和した瞬間に何が起こるかを示す鋭い例と組み合わせる能力である。選択定理とマイケル線は、反対方向を向いた同じ才能である。一方は地面が固い場所を地図にし、もう一方はそれが崩れる場所を正確に記す。この種の数学者は問題解決者よりも希少であり、分野の地理を定義するため、分野の長期的な健全性にとってより有益である。

正直な反論としては、マイケルの有名な業績は表面積が狭いという点がある。20世紀後半の一般位相幾何学は、その学問の中心地ではなかった。彼の最大の栄誉は、2012年にアメリカ数学会のフェローの初年度クラスに含まれたことだが、これは定理から56年後に来た大規模で集団的な区別である。彼はウルフ賞もスティール賞も受賞しておらず、アクセス可能な情報源に記録された国立アカデミーの会員資格もない。彼を天才と呼んだ同僚の記録もない。選択定理の名声の多くは、その位相幾何学に全く関与せずに補題として引用する経済学者や制御理論家といった下流のユーザーから借りたものである。公平な評価は、マイケルは非常に正確な数学者であり、自分の分野の流行を生き延びるほど正確に正しい一つの定理を見つけたということである。

遺産

マイケルは1993年に退職し、2013年4月29日にシアトルで87歳で亡くなった。

この定理は、集合値解析に関するあらゆる大学院のテキストに載っている。マイケル線は、積を議論するあらゆる位相幾何学のコースに載っている。両者とも、その著者が1932年にベルリンを去り、侵攻の前に海を渡り、太平洋で従軍し、その後シアトルの一室で41年間座り続けて、いつうまく選択することが可能かを正確に解き明かしたユダヤ人の少年であったという事実に触れられることなく、ほとんどの場合教えられている。