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Saul Aaron Kripke è un filosofo e logico americano della tradizione analitica. È Professore Distinto di Filosofia presso il Graduate Center della City University of New York e professore emerito presso l'Università di Princeton. Dalla metà degli anni Sessanta, Kripke è stato una figura centrale in numerosi campi legati alla logica matematica, logica modale, filosofia del linguaggio, filosofia della matematica, metafisica, epistemologia e teoria della ricorsione. Gran parte del suo lavoro rimane inedito o esiste solo come registrazioni su nastro e manoscritti privati.
Kripke ha fornito contributi influenti e originali alla logica, in particolare alla logica modale. Il suo principale contributo è una semantica per la logica modale che coinvolge i mondi possibili, ora chiamata semantica di Kripke. Ha ricevuto il Premio Schock del 2001 in Logica e Filosofia.
Kripke è anche in parte responsabile della rinascita della metafisica dopo il declino del positivismo logico, sostenendo che la necessità è una nozione metafisica distinta dalla nozione epistemica di a priori, e che esistono verità necessarie che sono conosciute a posteriori, come il fatto che l'acqua è H2O. Una serie di lezioni di Princeton del 1970, pubblicata in forma di libro nel 1980 come Naming and Necessity, è considerata una delle più importanti opere filosofiche del XX secolo. Introduce il concetto di nomi come designatori rigidi, veri in ogni mondo possibile, in contrasto con le descrizioni. Contiene anche la teoria causale della referenza di Kripke, che contesta la teoria descrittivista trovata nel concetto di senso di Gottlob Frege e nella teoria delle descrizioni di Bertrand Russell.
Kripke ha anche dato una lettura originale di Ludwig Wittgenstein, nota come "Kripkenstein", nel suo Wittgenstein on Rules and Private Language. Il libro contiene il suo argomento del seguire una regola, un paradosso per lo scetticismo riguardo al significato.
Vita e carriera
Saul Kripke è il maggiore di tre figli nati da Dorothy K. Kripke e dal Rabbino Myer S. Kripke. Suo padre era il leader della Sinagoga Beth El, l'unica congregazione conservatrice a Omaha, Nebraska; sua madre ha scritto libri educativi ebraici per bambini. Saul e le sue due sorelle, Madeline e Netta, hanno frequentato la Dundee Grade School e la Omaha Central High School. Kripke è stato etichettato come prodigio, insegnandosi da solo l'ebraico antico all'età di sei anni, leggendo le opere complete di Shakespeare a nove anni, e padroneggiando le opere di Descartes e complessi problemi matematici prima di finire la scuola primaria. Ha scritto il suo primo teorema di completezza in logica modale a 17 anni, ed è stato pubblicato un anno dopo. Dopo essersi diplomato nel 1958, Kripke ha frequentato l'Università di Harvard e si è laureato summa cum laude nel 1962 con una laurea in matematica. Durante il suo secondo anno a Harvard, ha insegnato un corso di logica a livello di laurea presso il vicino MIT. Al momento della laurea ha ricevuto una borsa di studio Fulbright, e nel 1963 è stato nominato alla Society of Fellows. Kripke ha successivamente detto: "Mi sarebbe piaciuto poter saltare il college. Ho imparato a conoscere alcune persone interessanti ma non posso dire di aver imparato nulla. Probabilmente avrei imparato tutto comunque solo leggendo per conto mio."
Dopo aver insegnato brevemente a Harvard, nel 1968 Kripke si è trasferito alla Rockefeller University a New York City, dove ha insegnato fino al 1976. Nel 1978 ha assunto una cattedra presso l'Università di Princeton. Nel 1988 ha ricevuto il premio Behrman dell'università per il risultato eccezionale nelle discipline umanistiche. Nel 2002 Kripke ha iniziato a insegnare al CUNY Graduate Center, e nel 2003 è stato nominato professore distinto di filosofia lì.
Kripke ha ricevuto lauree honoris causa dall'Università del Nebraska, Omaha 1977, Johns Hopkins University 1997, Università di Haifa, Israele 1998, e dall'Università della Pennsylvania 2005. È membro dell'American Philosophical Society e membro eletto della American Academy of Arts and Sciences, e nel 1985 è stato Corresponding Fellow della British Academy. Ha vinto il Premio Schock in Logica e Filosofia nel 2001.
Kripke era sposato con la filosofa Margaret Gilbert. È il secondo cugino di una generazione del scrittore televisivo, regista e produttore Eric Kripke.
Lavoro
I contributi di Kripke alla filosofia includono:
- Semantica di Kripke per la logica modale e logiche correlate, pubblicata in diversi saggi a partire dagli anni dell'adolescenza.
- Le sue lezioni di Princeton del 1970 Naming and Necessity pubblicate nel 1972 e 1980, che hanno ristrutturato significativamente la filosofia del linguaggio.
- La sua interpretazione di Wittgenstein.
- La sua teoria della verità.
Ha anche contribuito alla teoria della ricorsione, vedere ordinale ammissibile e teoria degli insiemi di Kripke–Platek.
Logica modale
Due dei primi lavori di Kripke, "A Completeness Theorem in Modal Logic" 1959 e "Semantical Considerations on Modal Logic" 1963, il primo scritto quando era un adolescente, erano sulla logica modale. Le logiche più familiari della famiglia modale sono costruite da una logica debole chiamata K, dal nome di Kripke. Kripke ha introdotto la semantica di Kripke ora standard, nota anche come semantica relazionale o semantica dei frame per le logiche modali. La semantica di Kripke è una semantica formale per sistemi logici non classici. È stata creata per la prima volta per le logiche modali, e successivamente adattata alla logica intuizionista e ad altri sistemi non classici. La scoperta della semantica di Kripke è stata una svolta nella creazione delle logiche non classiche, perché la teoria dei modelli di tali logiche era assente prima di Kripke.
Un frame di Kripke o frame modale è una coppia ⟨ W , R ⟩ , dove W è un insieme non vuoto, e R è una relazione binaria su W. Gli elementi di W sono chiamati nodi o mondi, e R è nota come relazione di accessibilità. A seconda delle proprietà della relazione di accessibilità transitività, riflessività, ecc., il frame corrispondente è descritto, per estensione, come transitivo, riflessivo, ecc.
Un modello di Kripke è una tripla ⟨ W , R , ⊩ ⟩ è una relazione tra nodi di W e formule modali, tale che:
- w ⊩ ¬ A ,
- w ⊩ A → B ,
- w ⊩ ◻ A .
Leggiamo w ⊩ A è chiamata relazione di soddisfacimento, valutazione, o relazione di forzatura. La relazione di soddisfacimento è determinata univocamente dal suo valore sulle variabili proposizionali.
Una formula A è valida in:
- un modello ⟨ W , R , ⊩ ⟩ per tutti w ∈ W,
- un frame ⟨ W , R ⟩ ,
- una classe C di frame o modelli, se è valida in ogni membro di C.
Definiamo ThmC come l'insieme di tutte le formule che sono valide in C. Inversamente, se X è un insieme di formule, sia ModX la classe di tutti i frame che validano ogni formula da X.
Una logica modale cioè un insieme di formule L è corretta rispetto a una classe di frame C, se L ⊆ ThmC. L è completa rispetto a C se L ⊇ ThmC.
La semantica è utile per indagare una logica cioè un sistema di derivazione solo se la relazione di conseguenza semantica riflette il suo controparte sintattica, la relazione di conseguenza derivabilità. È vitale sapere quali logiche modali sono corrette e complete rispetto a una classe di frame di Kripke, e per loro, determinare quale classe sia.
Per qualsiasi classe C di frame di Kripke, ThmC è una logica modale normale in particolare, i teoremi della logica modale normale minima, K, sono validi in ogni modello di Kripke. Tuttavia, il contrario non vale in generale. Ci sono logiche modali normali Kripke incomplete, il che è inproblematico, perché la maggior parte dei sistemi modali studiati sono completi di classi di frame descritte da condizioni semplici.
Una logica modale normale L corrisponde a una classe di frame C, se C = ModL. In altre parole, C è la classe più grande di frame tale che L è corretta rispetto a C. Ne segue che L è Kripke completa se e solo se è completa della sua classe corrispondente.
Consideriamo lo schema T : ◻ A → A . T corrisponde alla classe di frame di Kripke riflessivi.
Spesso è molto più facile caratterizzare la classe corrispondente di L che provare la sua completezza, quindi la corrispondenza serve come guida alle prove di completezza. La corrispondenza è anche usata per mostrare l'incompletezza delle logiche modali: supponiamo che L1 ⊆ L2 siano logiche modali normali che corrispondono alla stessa classe di frame, ma L1 non prova tutti i teoremi di L2. Allora L1 è Kripke incompleta. Per esempio, lo schema ◻ A ≡ ◻ A → ◻ A .
Modelli canonici
Per qualsiasi logica modale normale L, un modello di Kripke chiamato modello canonico può essere costruito, che valida precisamente i teoremi di L, mediante un adattamento della tecnica standard di usare insiemi massimali consistenti come modelli. I modelli di Kripke canonici svolgono un ruolo simile alla costruzione dell'algebra di Lindenbaum–Tarski nella semantica algebrica.
Un insieme di formule è L-consistente se nessuna contraddizione può essere derivata da esse usando gli assiomi di L, e modus ponens. Un insieme L-massimale consistente un insieme L-MCS in breve è un insieme L-consistente che non ha sovrainsieme L-consistente proprio.
Il modello canonico di L è un modello di Kripke ⟨ W , R , ⊩ ⟩ sono come segue:
Il modello canonico è un modello di L, in quanto ogni L-MCS contiene tutti i teoremi di L. Dal lemma di Zorn, ogni insieme L-consistente è contenuto in un L-MCS, in particolare ogni formula non provabile in L ha un controesempio nel modello canonico.
L'applicazione principale dei modelli canonici sono le prove di completezza. Le proprietà del modello canonico di K implicano immediatamente la completezza di K rispetto alla classe di tutti i frame di Kripke. Questo argomento non funziona per L arbitraria, perché non c'è garanzia che il frame sottostante del modello canonico soddisfi le condizioni di frame di L.
Diciamo che una formula o un insieme X di formule è canonico rispetto a una proprietà P dei frame di Kripke, se
- X è valido in ogni frame che soddisfa P,
- per qualsiasi logica modale normale L che contiene X, il frame sottostante del modello canonico di L soddisfa P.
Un'unione di insiemi canonici di formule è essa stessa canonica. Segue dalla discussione precedente che qualsiasi logica assiomatizzata da un insieme canonico di formule è Kripke completa, e compatta.
Gli assiomi T, 4, D, B, 5, H, G e quindi qualsiasi combinazione di essi sono canonici. GL e Grz non sono canonici, perché non sono compatti. L'assioma M da solo non è canonico Goldblatt, 1991, ma la logica combinata S4.1 in realtà, anche K4.1 è canonica.
In generale, è indecidibile se un dato assioma sia canonico. Conosciamo una bella condizione sufficiente: H. Sahlqvist ha identificato una vasta classe di formule ora chiamate formule di Sahlqvist tale che:
- una formula di Sahlqvist è canonica,
- la classe di frame corrispondente a una formula di Sahlqvist è definibile del primo ordine,
- esiste un algoritmo che calcola la condizione di frame corrispondente a una data formula di Sahlqvist.
Questo è un criterio potente: per esempio, tutti gli assiomi elencati sopra come canonici sono equivalenti a formule di Sahlqvist. Una logica ha la proprietà del modello finito FMP se è completa rispetto a una classe di frame finiti. Un'applicazione di questa nozione è la questione della decidibilità: segue dal teorema di Post che una logica modale ricorsivamente assiomatizzata L che ha FMP è decidibile, a condizione che sia decidibile se un dato frame finito è un modello di L. In particolare, ogni logica finitamente assiomatizzabile con FMP è decidibile.
Ci sono vari metodi per stabilire FMP per una data logica. I raffinamenti e le estensioni della costruzione del modello canonico spesso funzionano, utilizzando strumenti come la filtrazione o lo "unravelling". Come un'altra possibilità, le prove di completezza basate su calcoli sequenti liberi da tagli solitamente producono modelli finiti direttamente.
La maggior parte dei sistemi modali utilizzati in pratica, inclusi tutti i precedenti, hanno FMP.
In alcuni casi, possiamo usare FMP per provare la completezza di Kripke di una logica: ogni logica modale normale è completa rispetto a una classe di algebre modali, e un'algebra modale finita può essere trasformata in un frame di Kripke. Come esempio, Robert Bull ha provato usando questo metodo che ogni estensione normale di S4.3 ha FMP, ed è Kripke completa.
La semantica di Kripke ha una generalizzazione diretta a logiche con più di una modalità. Un frame di Kripke per un linguaggio con { ◻ i ∣ i ∈ I } come l'insieme dei suoi operatori di necessità consiste in un insieme non vuoto W equipaggiato con relazioni binarie Ri per ogni i ∈ I. La definizione di una relazione di soddisfacimento è modificata come segue:
Modelli di Carlson
Una semantica semplificata, scoperta da Tim Carlson, è spesso usata per le logiche di provabilità polimodale. Un modello di Carlson è una struttura ⟨ W , R , { D i } i ∈ I , ⊩ ⟩ con una singola relazione di accessibilità R, e sottoinsiemi Di ⊆ W per ogni modalità. La soddisfacimento è definita come:
I modelli di Carlson sono più facili da visualizzare e da lavorare rispetto ai soliti modelli di Kripke polimodali; ci sono, tuttavia, logiche polimodali Kripke complete che sono Carlson incomplete.
In Semantical Considerations on Modal Logic, pubblicato nel 1963, Kripke ha risposto a una difficoltà con la teoria della quantificazione classica. La motivazione per l'approccio relativo al mondo era rappresentare la possibilità che gli oggetti in un mondo possono non esistere in un altro. Se vengono utilizzate regole di quantificatore standard, tuttavia, ogni termine deve fare riferimento a qualcosa che esiste in tutti i mondi possibili. Questo sembra incompatibile con la nostra pratica ordinaria di usare termini per fare riferimento a cose che esistono contingentemente.
La risposta di Kripke a questa difficoltà era eliminare i termini. Ha dato un esempio di un sistema che utilizza l'interpretazione relativa al mondo e pres
