Raghavan Narasimhan: L'uomo che risolse il problema di Levi

Nel 1962 il Congresso Internazionale dei Matematici invitò un giovane analista indiano a tenere una delle sue relazioni. Aveva venticinque anni e avrebbe conseguito il dottorato solo un anno dopo. L'invito non fu una cortesia: due anni prima Raghavan Narasimhan aveva risolto il problema di Levi per gli spazi complessi, una questione rimasta aperta per mezzo secolo e che aveva sconfitto una generazione dei migliori analisti d'Europa. Trascorse i successivi cinquant'anni a Chicago, scrivendo i libri di testo sui quali chiunque altro ha imparato la materia.

Madras e padre Racine

Nacque il 31 agosto 1937 a Madras. La sua formazione matematica iniziò al Loyola College della città, dove conseguì la laurea triennale nel 1957 e studiò sotto la guida di padre Racine, il gesuita francese che portò l'analisi continentale in un paese che aveva prodotto Ramanujan ma scarsa infrastruttura istituzionale. Narasimhan si trasferì poi a Bombay, nell'orbita del Tata Institute, e ottenne il dottorato dall'Università di Bombay nel 1963 sotto la supervisione del teorico dei numeri K. Chandrasekharan.

Vale la pena soffermarsi sulla cronologia. Il dottorato arrivò nel 1963. I teoremi arrivarono nel 1960 e nel 1961.

Il problema di Levi

L'analisi complessa in una variabile è una materia di una rigidità bellissima: una funzione olomorfa su un disco è determinata da dati straordinariamente scarsi. In più variabili la rigidità diventa strana. Alcune regioni dello spazio complesso hanno la proprietà che ogni funzione olomorfa su di esse si estende automaticamente a una regione più ampia — la regione non è, per così dire, la patria naturale delle sue stesse funzioni. Le regioni che sono le proprie patrie naturali sono chiamate domini di olomorfia, e nel 1910 E. E. Levi chiese quali essi fossero, congetturando che una condizione geometrica sul bordo chiamata pseudoconvessità fosse la risposta.

La questione si rivelò brutalmente difficile. Kiyoshi Oka la risolse infine per i domini nello spazio euclideo complesso negli anni '40 e '50. Hans Grauert trattò in seguito le varietà complesse. Ciò che restava era il caso generale e più delicato: gli spazi complessi, a cui è consentito avere singolarità — punti in cui lo spazio non è localmente un bel frammento di C^n bensì qualcosa di schiacciato o incrociato. Le singolarità rompono gli strumenti. Gli articoli di Narasimhan, «The Levi problem for complex spaces» pubblicato su Mathematische Annalen nel 1961 e il suo seguito, chiusero quel caso. Il risultato è ancora citato come Grauert-Narasimhan, che è il modo con cui la disciplina registra che l'ultimo e più difficile passo fu il suo.

Affondamento

Il suo altro teorema eponimo arrivò per primo, nel 1960, in un articolo sull'American Journal of Mathematics intitolato «Imbedding of Holomorphically Complete Complex Spaces». Le varietà di Stein sono gli oggetti analitico-complessi che possiedono abbastanza funzioni olomorfe da separare i propri punti — la controparte analitica delle varietà algebriche affini e il contesto naturale per l'intero argomento. Definite in modo astratto, sono difficili da visualizzare. Narasimhan dimostrò che ogni varietà di Stein di dimensione complessa n ammette un'immersione olomorfa propria e iniettiva in C^{2n+1}.

Quella frase compie un lavoro immenso. Dice che una varietà di Stein astratta non è mai esotica: può sempre essere realizzata concretamente come sottoinsieme chiuso di un ordinario spazio euclideo complesso di dimensione limitata, con il limite che dipende solo da n. È l'analogo analitico-compleno del teorema di immersione di Whitney nella topologia differenziale, e convertì una classe di oggetti definiti astrattamente in cose che si possono toccare. Il risultato porta il suo nome.

Chicago

Fu visiting scholar presso l'Institute for Advanced Study di Princeton nel 1966 ed entrò a far parte della facoltà di matematica dell'Università di Chicago nel 1969, dove rimase per più di quattro decenni e concluse la carriera come professore emerito. I suoi interessi si ampliarono anziché restringersi: accanto alle funzioni di più variabili complesse lavorò nella teoria analitica dei numeri, e negli anni '90 collaborò con Charles Fefferman di Princeton, vincitore della Medaglia Fields, a saggi sulla frontiera tra analisi e geometria algebrica reale — un abbinamento di due tra gli analisti più tecnicamente formidabili viventi. L'Università di Ginevra gli conferì una laurea honoris causa nel 1986.

I libri

Narasimhan scrisse sei libri, e la loro influenza potrebbe alla fine superare quella dei teoremi. Analysis on Real and Complex Manifolds (1968), il volume delle lezioni di Chicago Several Complex Variables (1971) e Complex Analysis in One Variable (2001) sono condensati, rigorosi e notoriamente inflessibili — libri che presuppongono che il lettore voglia il percorso corretto più breve piuttosto che rassicurazioni. Generazioni di studenti di dottorato hanno imparato le funzioni di più variabili complesse da essi. I colleghi ricordavano un uomo che prendeva ugualmente sul serio la musica classica e il vino, e che, come ricordò qualcuno, «aveva un'intuizione davvero sbalorditiva nell'analisi».

Morì il 3 ottobre 2015, all'età di settantotto anni, dopo una breve malattia.

Perché Raghavan è definito un genio

Siamo concreti, perché è lì che risiede la questione. Due risultati, entrambi ottenuti prima dei venticinque anni e prima di avere un dottorato, ciascuno dei quali ha chiuso un problema anziché farlo avanzare.

Il teorema di immersione è il più pulito. Risponde a una domanda del tipo «quanto possono essere selvaggi questi oggetti?» con «per nulla selvaggi» — ogni varietà di Stein di dimensione n si colloca propriamente all'interno di C^{2n+1}. I risultati di tale forma sono rari e sproporzionatamente utili, perché permettono a tutti gli altri di smettere di preoccuparsi di un'intera categoria di possibili patologie.

Il problema di Levi è più difficile, e più difficile da spiegare. Oka e Grauert avevano trattato i casi lisci; il residuo erano gli spazi complessi con singolarità, esattamente dove la macchina standard diventa insidiosa. Portare a termine un problema vecchio di cinquant'anni nel suo caso più degenerato, come studente di dottorato, contro i migliori analisti d'Europa, è ciò per cui la parola «genio» è stata coniata per descrivere. L'invito dell'ICM a un venticinquenne senza dottorato è il verdetto stesso della professione, espresso all'epoca.

Il controcaso è di scala anziché di qualità. Narasimhan non fondò un campo né riorientò una disciplina; risolse due difficili problemi all'interno di un campo che altri avevano definito, poi trascorse cinquant'anni produttivi ma meno spettacolari lavorandovi all'interno. Non vinse alcuna Medaglia Fields, nessun Wolf, nessun Abel; la sua maggiore distinzione fu una laurea honoris causa da Ginevra. Posto accanto ai matematici che hanno cambiato di cosa tratta la materia, il suo bilancio è quello di un analista eccezionalmente potente con due risultati magnifici all'inizio e un lungo e distinto plateau successivo — un genio nel senso stretto e locale, che vide a ventitré anni ciò che nessun altro poteva vedere, piuttosto che una mente che ridisegnò la mappa.

Eredità

Il teorema di immersione di Narasimhan e la soluzione di Grauert-Narasimhan del problema di Levi sono elementi permanenti delle funzioni di più variabili complesse, insegnati ovunque la materia sia insegnata. I suoi libri di testo sono la seconda eredità, e quella che ha toccato più persone: generazioni di matematici hanno incontrato per la prima volta l'analisi complessa nella sua prosa rigorosa. La terza è istituzionale e facile da trascurare: egli fece parte della coorte che padre Racine e K. Chandrasekharan produssero negli anni '50 e '60, la generazione che ha reso la matematica indiana una presenza permanente nella letteratura internazionale anziché un occasionale prodigio.