Maxim Kontsevich: Il matematico che ha reso rigorosa la fisica

Nel 1990, un ricercatore sovietico di 25 anni senza laurea universitaria sedeva in un'aula di Bonn e ascoltava Michael Atiyah — "un eminente matematico britannico che parlava di cose meravigliose", come disse più tardi — descrivere un'oltraggiosa congettura di Edward Witten sulla geometria delle curve. Pochi giorni dopo, durante un'escursione in barca sul Reno, Kontsevich spiegava ai colleghi come intendeva dimostrarla. Fu invitato a tornare a Bonn per un anno intero. Due anni dopo, la dimostrazione fu la sua tesi di dottorato.

Chimki, coreano e un'Olimpiade

È nato il 25 agosto 1964 a Chimki, appena fuori Mosca, in una famiglia di rigorosa cultura accademica. Suo padre, Lev Rafailovich Kontsevich, era un importante coreanista presso l'Istituto di Studi Orientali dell'Accademia Russa delle Scienze e l'autore del sistema Kontsevich, ancora oggi il metodo standard per traslitterare il coreano in cirillico. Sua madre era un'ingegnere; suo fratello maggiore Leonid si è dedicato alla ricerca sull'elaborazione di immagini al computer a San Francisco. Kontsevich attribuisce a suo fratello, e a "alcuni ottimi libri", il merito di averlo avvicinato alla matematica e alla fisica.

I libri hanno fatto il loro lavoro presto. A sedici anni arrivò secondo all'Olimpiade di Matematica nazionale, il che gli valse l'ammissione all'Università Statale di Mosca senza esami di ingresso. Vi studiò dal 1980 al 1985 sotto una formidabile facoltà, soprattutto Israil Gelfand. Pubblicava già a diciannove anni: "La crescita dell'algebra di Lie generata da due campi vettoriali generici" con A. A. Kirillov nel 1983, seguito da "Algebre di crescita intermedia" con Kirillov e A. I. Molev.

Lo studente che se ne andò

Nel 1985 ha abbandonato l'Università Statale di Mosca senza conseguire la laurea ed è entrato all'Istituto per i Problemi di Trasmissione dell'Informazione dell'Accademia delle Scienze, pubblicando sull'algebra di Virasoro e strutture correlate fino al 1988. Vale la pena soffermarsi su questo: l'uomo che avrebbe vinto la medaglia Fields ha trascorso i suoi vent'anni come ricercatore senza laurea in un istituto sovietico di teoria dell'informazione. Ha visitato per la prima volta l'Institut des Hautes Études Scientifiques nel 1988 e non l'ha mai dimenticato.

Quattro problemi

La tesi di Bonn, presentata nel 1992 sotto la supervisione di Don Zagier, si intitolava "Teoria dell'intersezione sullo spazio dei moduli delle curve e funzione di Airy matriciale". Dimostrò la congettura di Witten: che i numeri di intersezione delle classi stabili sugli spazi dei moduli compattificati di curve algebriche obbediscono alla gerarchia integrabile di Korteweg-de Vries — un'affermazione che collega la geometria delle superfici di Riemann alla matematica delle onde in acque basse, il che non aveva motivo di essere vero. Il revisore Clifford Henry Taubes ha notato che "molti dei passaggi di questa prova mostrano il talento unico di Kontsevich per i calcoli combinatori".

Poi lo ha fatto altre tre volte in cinque anni. Il suo articolo del 1993 sugli invarianti dei nodi di Vassiliev ha introdotto quello che oggi è l'integrale di Kontsevich, un invariante universale di nodi e collegamenti; la revisore Joan Birman ha scritto che aveva "dato uno sguardo molto fresco e originale" all'argomento e aveva reso una teoria complicata "sembrare naturale e chiara". Ha dimostrato che ogni varietà di Poisson ammette una quantizzazione di deformazione formale, fornendo formule esplicite nel caso piatto e risolvendo una questione fondamentale nella fisica matematica. Con Yuri Manin ha scritto "Classi di Gromov-Witten, coomologia quantistica e geometria enumerativa" nel 1994, e ha introdotto lo spazio dei moduli delle mappe stabili che ha reso possibile il conteggio rigoroso delle curve — il meccanismo dietro i teoremi sulle curve razionali nelle tre-varietà di Calabi-Yau che si sono rivelati decisivi per la simmetria speculare. Ha anche scritto "Geometria simplettica formale (non)commutativa" e, più tardi, con Alexei Belov-Kanel, ha dimostrato l'equivalenza delle congetture di Dixmier e Jacobiana.

La simmetria speculare come teoria delle categorie

Al Congresso Internazionale dei Matematici del 1994 a Zurigo, ha proposto l'idea che oggi porta il suo marchio più di ogni altra: la simmetria speculare omologica. I teorici delle stringhe avevano notato che le varietà di Calabi-Yau si presentano in coppie speculari le cui strutture complesse e simplettiche sembrano scambiarsi. La congettura di Kontsevich è che questa sia un'equivalenza di categorie — che la categoria derivata dei fasci coerenti su X, un oggetto della pura geometria algebrica, sia equivalente alla categoria derivata di Fukaya del suo specchio Y, un oggetto della pura geometria simplettica. Ha convertito una coincidenza osservata da un fisico in un'affermazione strutturale precisa, e da allora ha organizzato gran parte della geometria.

Bures-sur-Yvette

È passato per Harvard, l'Institute for Advanced Study di Princeton, Rutgers, e una cattedra a Berkeley a metà degli anni '90, per poi rifiutarsi di stabilirsi in America nonostante la presenza del fratello. Ha ottenuto una cattedra permanente all'IHES di Bures-sur-Yvette, l'istituzione che ammirava dal 1988, ed è rimasto. Detiene anche una cattedra distinta presso l'Università di Miami, ha ottenuto la cittadinanza francese nel 1999 e possiede passaporti sia russi che francesi.

I premi si sono accumulati: il Premio Henri Poincaré nel 1997; la Medaglia Fields al Congresso di Berlino del 1998, citato per il lavoro in geometria algebrica e topologia algebrica; il Premio Daniel Iagolnitzer; il Premio Crafoord nel 2008, condiviso con Edward Witten, "per i loro importanti contributi alla matematica ispirati alla moderna fisica teorica"; il Premio Shaw nel 2012; il Breakthrough Prize in Fundamental Physics lo stesso anno; il Breakthrough Prize in Mathematics nel 2015; membro dell'Accademia delle Scienze di Parigi e associato straniero della U.S. National Academy of Sciences.

Perché Maxim viene chiamato genio

Sono all'opera due capacità distinte, e raramente si trovano insieme. La prima è una forza di calcolo brutale di un tipo molto particolare — la frase di Taubes, "talento unico per i calcoli combinatori", è una valutazione tecnica, non un complimento, e descrive il meccanismo che ha permesso di dimostrare la congettura di Witten quando nessun altro poteva. La seconda è un istinto strutturale per ciò che i fisici stanno realmente dicendo. I teorici delle stringhe hanno prodotto affermazioni sbalorditive e non rigorose per tutti gli anni '80 e '90; l'abitudine di Kontsevich era trovare l'oggetto matematico di cui quelle affermazioni trattavano segretamente, poi esprimerlo in una forma con cui i matematici potessero lavorare. La simmetria speculare omologica è l'esempio più puro: una coincidenza fisica trasformata in un'equivalenza categorica. L'osservazione della Birman che rende una teoria complicata "sembrare naturale e chiara" punta alla stessa facoltà da un altro angolo.

Il controargomento onesto ha tre parti. Gran parte della materia prima non era sua — Witten ha congetturato, Vassiliev ha definito gli invarianti, i fisici hanno trovato la simmetria speculare; il ruolo di Kontsevich è stato quello di rendere le cose rigorose, il che è indispensabile ma derivativo per costruzione. In secondo luogo, la sua singola idea più celebrata rimane una congettura: la simmetria speculare omologica è ancora non dimostrata in termini generali dopo più di trent'anni, e le congetture sono a buon mercato rispetto ai teoremi. In terzo luogo, "genio" è una valuta che circola liberamente in matematica, e le testimonianze pubbliche specifiche su Kontsevich tendono a lodare la tecnica e l'originalità piuttosto che ricorrere alla parola. L'affermazione difendibile è più ristretta e comunque straordinaria: per circa un decennio è stato il traduttore più affidabile tra la fisica teorica e la matematica rigorosa che uno dei due campi abbia mai avuto.

Eredità

Interi programmi di ricerca ora funzionano sulle sue definizioni — mappe stabili, l'integrale di Kontsevich, quantizzazione di deformazione, la cornice della categoria di Fukaya della simmetria speculare. Rimane all'IHES, lavora ancora, e la congettura che ha lanciato su un palco di Zurigo nel 1994 continua a generare più matematica della maggior parte delle dimostrazioni completate.