Kiyoshi Itō: Il matematico che ha dato un calcolo alla casualità

Per oltre un decennio dopo che Kiyoshi Itō ebbe pubblicato l'articolo che fondò il calcolo stocastico moderno, quasi nessuno lo lesse. «Non conosco nessuno che abbia letto questo articolo a fondo quando è apparso, se non il mio amico G. Maruyama», ammise in seguito. Sessant'anni dopo, la formula contenuta in quell'articolo — un modo di fare calcolo su processi troppo irregolari perché il calcolo ordinario possa trattarli — operava silenziosamente all'interno di ogni desk di prezzamento delle opzioni di ogni banca sulla Terra e, nel 2006, all'età di 91 anni, Itō divenne la prima persona in assoluto a ricevere il Premio Gauss, il più recente riconoscimento della matematica dedicato specificamente a lavori le cui conseguenze nel mondo reale hanno sminuito le aspettative del loro autore.

Il progetto parallelo di uno statistico in tempo di guerra

Itō nacque il 7 settembre 1915 a Hokusei-cho, nella prefettura giapponese di Mie. Studiò matematica all'Università Imperiale di Tokyo, laureandosi nel 1938, e da studente si trovò insoddisfatto della letteratura sulla teoria della probabilità dell'epoca, che a suo giudizio mancava di una definizione rigorosa di variabile casuale. Questa insoddisfazione divenne un programma di ricerca. Dal 1938 lavorò presso l'Ufficio di Statistica del Gabinetto del Giappone, un incarico di pubblico impiego in tempo di guerra che, in modo insolito, gli fornì la copertura istituzionale per perseguire ricerche teoriche pure come attività collaterale; fu lì, nel 1942, che scrisse l'articolo «On Stochastic Processes» (Sui processi stocastici), che ricostruì a partire dai principi primi la teoria dell'integrazione stocastica — integrando rispetto a un processo fluttuante casualmente anziché rispetto a una curva regolare.

La costruzione di un calcolo per il moto browniano

L'oggetto matematico che Itō aveva bisogno di domare era il moto browniano, l'erratico zigzag utilizzato per la prima volta per modellare il tremolio dei granelli di poline nell'acqua: un percorso così irregolare da avere una variazione illimitata e non poter essere differenziato nel senso ordinario. La soluzione di Itō constava di tre parti collegate. Definì un nuovo tipo di integrale, oggi chiamato integrale di Itō, che dava un senso all'integrazione rispetto al moto browniano. Lo utilizzò poi per formulare equazioni differenziali stocastiche — espressioni della forma dX(t) = σ(X(t))dB(t) + b(X(t))dt — che consentono ai matematici di descrivere e manipolare direttamente i singoli percorsi di campionamento casuali, anziché solo le distribuzioni di probabilità che tali percorsi potrebbero produrre. E derivò quello che il settore chiama oggi il lemma di Itō, una formula, df(X(t)) = f′(X(t))dX(t) + ½f″(X(t))σ²(X(t))dt, su come una funzione di un processo casuale cambi a sua volta nel tempo — la regola della catena del calcolo ordinario, ricostruita per tenere conto del termine extra della casualità. Insieme, questi risultati sintetizzarono due tradizioni precedentemente separate: il pensiero probabilistico intuitivo e orientato ai percorsi di campionamento del matematico francese Paul Lévy e i rigorosi fondamenti teorici della misura stabiliti da Andrej Kolmogorov.

Una carriera attraverso i continenti

Itō ottenne il dottorato nel 1945 e, dopo la guerra, insegnò come professore assistente all'Università Imperiale di Nagoya dal 1943 al 1952. Si trasferì all'Università di Kyoto nel 1952, dove mantenne una cattedra fino al 1979, intervallata da incarichi internazionali: due anni all'Institute for Advanced Study di Princeton a partire dal 1954, una cattedra all'Università di Aarhus in Danimarca dal 1966 al 1969 e una alla Cornell University dal 1969 al 1975. Dopo il 1979 insegnò all'Università Gakushuin. Attraverso questi incarichi il suo articolo del 1942, un tempo trascurato, si costruì lentamente un seguito internazionale, e gli stessi studenti di Itō in Giappone — tra cui Shinzo Watanabe, Masatoshi Fukushima e Hiroshi Kunita — estesero i suoi metodi a spazi a infinite dimensioni e a processi di Markov simmetrici generali, trasformando il Giappone in uno dei principali centri mondiali per la teoria della probabilità.

Riconoscimento e il Premio Gauss

I riconoscimenti si accumularono costantemente nella seconda parte della carriera di Itō: il Premio Asahi del Giappone nel 1978, il Premio Imperiale e il Premio dell'Accademia del Giappone nello stesso anno, il Premio Fujiwara nel 1985, il Premio Wolf per la matematica nel 1987 e il Premio Kyoto per le scienze di base nel 1998. Fu eletto membro della National Academy of Sciences degli Stati Uniti e dell'Académie des Sciences francese e ricevette lauree ad honorem dall'Università di Warwick e dall'ETH di Zurigo. Il culmine arrivò nel 2006, quando l'Unione Matematica Internazionale istituì il Premio Carl Friedrich Gauss specificamente per premiare opere matematiche di straordinaria rilevanza pratica, e nominò Itō — allora novantunenne — suo primo destinatario al Congresso Internazionale dei Matematici di Madrid. Itō stesso sembrò sorpreso dall'inquadramento del riconoscimento: «il fatto che il mio lavoro sia stato scelto per il Premio Gauss per le applicazioni della matematica è davvero inatteso e profondamente gratificante», disse, aggiungendo di aver sempre considerato la sua ricerca appartenente alla matematica pura.

Dalla lavagna alla sala contrattazioni

Quella modestia sminuiva la portata di ciò che aveva costruito. Il calcolo di Itō divenne l'infrastruttura matematica alla base della moderna finanza quantitativa: il modello di prezzamento delle opzioni di Black-Scholes e il campo più ampio della finanza stocastica si fondano direttamente sulla risoluzione di equazioni differenziali stocastiche di tipo Itō per i prezzi degli asset. Oltre alla finanza, il suo quadro teorico divenne uno strumento standard nella teoria del filtraggio e nell'elaborazione dei segnali, nella genetica delle popolazioni per modellare la deriva genetica e nella fisica statistica per descrivere sistemi soggetti a rumore casuale. Pochi risultati matematici del ventesimo secolo generati in un ufficio statistico governativo, in un articolo che quasi nessuno inizialmente aveva letto, possono vantare di trovarsi oggi all'interno del software di ogni grande banca.

Perché Kiyoshi è definito un genio

Le ragioni a favore del genio di Itō sono limitate ma forti: non si limitò a risolvere un problema aperto, ma costruì il linguaggio — l'integrale, l'equazione, la regola di differenziazione — di cui un intero campo successivo aveva bisogno prima ancora di poter porre le proprie domande. I matematici che hanno lavorato nella sua tradizione descrivono la sua costruzione del 1942 come il momento in cui l'analisi stocastica è diventata rigorosa anziché euristica, unendo l'intuizione di Lévy con il formalismo di Kolmogorov in strumenti abbastanza precisi da sostenere il peso successivamente riposto su di essi da economisti e fisici. La complicazione onesta è che non si trattò di un'intuizione fulminea riconosciuta all'istante: ci volle più di un decennio, secondo il racconto dello stesso Itō, prima che più di uno o due matematici si dedicassero seriamente al lavoro, e la sua esplosiva importanza pratica nella finanza divenne visibile solo decenni dopo, guidata in modo sostanziale da economisti (Fischer Black, Myron Scholes, Robert Merton) che applicavano strumenti che Itō aveva costruito per altri scopi. Il suo genio, in altre parole, fu la costruzione paziente e solitaria di un macchinario esatto di cui neppure lui aveva anticipato il pieno valore — più simile all'infrastruttura fondamentale di un ingegnere che a una singola dimostrazione sfolgorante.

Eredità

Itō morì il 10 novembre 2008 a Kyoto, all'età di 93 anni. Il vocabolario che ha introdotto — integrale di Itō, processo di Itō, lemma di Itō — è oggi così radicato nella teoria della probabilità, nella fisica e nella finanza da venire insegnato agli studenti post-laurea quasi senza menzionare la sua origine in un ufficio statistico giapponese in tempo di guerra. Il Premio Gauss che ha coronato la sua carriera viene ora assegnato ogni anno a matematici il cui lavoro teorico ha ridefinito un campo esterno; la vita stessa di Itō ha fornito il modello che il premio fu inventato per onorare.