Dudley E. Littlewood: La regola che non riuscì a dimostrare

Nel 1934, due matematici di un piccolo college universitario gallese pubblicarono una legge combinatoria che governa il modo in cui certi oggetti algebrici si moltiplicano. La enunciarono come un teorema. La dimostrarono solo per una manciata di casi speciali semplici, e l'esempio pratico che offrirono per illustrarla conteneva errori. La regola era comunque corretta. La professione impiegò quarant'anni per dimostrarlo, momento in cui era diventata uno dei risultati più utilizzati nell'algebra moderna. Come disse il teorico delle rappresentazioni Gordon James, la regola di Littlewood-Richardson "ha aiutato a portare gli uomini sulla Luna, ma non è stata dimostrata fino a dopo il loro arrivo".

Da Tottenham a Trinity

Dudley Ernest Littlewood nacque a Londra il 7 settembre 1903, figlio unico di Ada Piper e Harry Bramley Littlewood, impiegato di un avvocato. Non ci fu eredità matematica né denaro; arrivò dove arrivò grazie agli esami. Dalla Tottenham County School nel Middlesex, vinse sia una borsa di studio statale che una borsa di ingresso al Trinity College di Cambridge.

A Trinity, il suo tutor di laurea fu John Edensor Littlewood — il celebre analista e collaboratore di Hardy, senza alcun legame di parentela, una coincidenza che ha confuso le bibliografie da allora in poi. Si laureò nel 1925 come wrangler nei Mathematical Tripos, nella stessa coorte di Hall e Hodge. Poi, secondo la consuetudine del mercato accademico dell'interguerra, non successe nulla. Insegnò a scuola. Nel 1928 ottenne un incarico temporaneo part-time presso l'University College di Swansea, seguito da un breve incarico presso il Queen's College, Dundee. Sposò Muriel Doris Dyson nel 1930; il loro figlio nacque nel 1935.

Swansea e Richardson

Swansea è dove la sua vita matematica iniziò davvero, e iniziò grazie a un collega. Archibald Read Richardson, professore lì, introdusse Littlewood all'algebra — un campo in cui non aveva precedentemente lavorato. Tornò a Swansea come assistente universitario nel 1930 e divenne docente nel 1934, rimanendo fino al 1947. I suoi primi articoli trattavano di algebre di quaternioni e teoria degli invarianti, lavoro rispettabile che non dava alcun segno particolare di ciò che stava arrivando.

Ciò che arrivò fu l'articolo del 1934 scritto con Richardson, "Group characters and algebras". Introdusse l'immanante di una matrice — una generalizzazione che si colloca tra il determinante e il permanente — e affrontò le funzioni S, ora universalmente chiamate funzioni di Schur, che codificano i caratteri dei gruppi simmetrici e lineari generali. L'articolo poneva l'ovvia domanda successiva: cosa succede quando moltiplichi due funzioni di Schur insieme? La risposta che proposero è che il prodotto si decompone in una somma di funzioni di Schur i cui coefficienti contano certi tableaux — array combinatori di caselle riempite di numeri secondo regole rigorose.

Perché la regola è importante

Quell'unica affermazione si rivelò trovarsi a un incrocio in cui si incontrano diversi campi. I coefficienti di Littlewood-Richardson danno le molteplicità quando i prodotti tensoriali di rappresentazioni a dimensione finita vengono decomposti, e quando vengono indotte le rappresentazioni di gruppi simmetrici. Sono le costanti di struttura dell'anello delle funzioni simmetriche nella base di Schur. E nella geometria algebrica riappaiono come numeri di intersezione sui Grassmanniani, contando come si incontrano le varietà di Schubert — una connessione che nessuno nel 1934 stava cercando. Littlewood stesso perseguì le applicazioni della teoria delle rappresentazioni alla meccanica quantistica.

La dimostrazione, però, mancava. Gilbert de Beauregard Robinson sostenne nel 1938 di averla completata, ma la sua esposizione era abbastanza oscura da far sì che le lacune in essa passassero inosservate per decenni; Ian Macdonald ne stava ancora colmando alcune nel 1995. I primi argomenti che soddisfacevano gli standard moderni provennero da Glânffrwd P. Thomas nel 1974 e Marcel-Paul Schützenberger nel 1977, costruiti sulla macchina combinatoria della corrispondenza di Robinson-Schensted sviluppata da Schensted, Schützenberger e Donald Knuth. Circa quattro decenni separarono l'affermazione dalla dimostrazione.

Libri e Bangor

Littlewood trasformò la sua ricerca nel libro che portò il suo nome più lontano, The Theory of Group Characters and Matrix Representations of Groups, pubblicato nel 1940 con una seconda edizione nel 1950 — per una generazione il testo standard per imparare la materia in inglese. Lo fece seguire da The Skeleton Key of Mathematics nel 1949, un'esposizione generale che ebbe diverse edizioni successive, e A University Algebra nel 1950, revisionato nel 1961.

Trascorse il periodo dal 1947 al 1948 come docente universitario a Cambridge, e poi nel 1948 ottenne la cattedra di matematica presso l'University College of North Wales a Bangor, mantenendola per ventidue anni fino al suo pensionamento nel 1970. I colleghi ricordavano un uomo timido e riservato, sempre con un sorriso amichevole, gentile e solidale, che leggeva fantascienza e che considerava la filosofia e la religione soggetti molto più degni di indagine della matematica — un'ammissione insolita per un professore della materia.

Perché Dudley è chiamato un genio

La parola si applica a una facoltà specifica e ristretta: poteva vedere la forma di un meccanismo algebrico prima che chiunque potesse dimostrare che avesse quella forma. Il suo studente J. A. Green la descrisse esattamente — "La forza matematica di Littlewood risiedeva nella sua straordinaria intuizione sul modo in cui funzionavano certi processi algebrici". I colleghi notarono una forte comprensione intuitiva della matematica formale e una franca preferenza per una formula utilizzabile rispetto a una derivazione rigorosa, e osservarono che prendeva i metodi di Frobenius, Schur e Weyl e li rielaborava nel suo proprio idioma piuttosto che riprodurli. La regola del 1934 ne è l'esempio calzante. Littlewood e Richardson arrivarono a una corretta legge combinatoria su oggetti che nessuno comprendeva appieno, in un dominio in cui l'intuizione è notoriamente inaffidabile, ed ebbero ragione — mentre diversi matematici capaci che tentarono dimostrazioni nei quarant'anni successivi avevano torto.

Il controesempio è reale e non è meramente pedante. Pubblicarono la regola come teorema avendo dimostrato solo casi speciali facili, e l'esempio illustrativo che diedero era calcolato male. Se un arbitro fosse stato più rigoroso, il risultato avrebbe potuto apparire come una congettura, che è ciò che era. Il lavoro di un matematico è la dimostrazione, e secondo questo standard il contributo più famoso di Littlewood fu incompleto per quattro decenni e terminato da altre persone usando strumenti che lui non aveva. Il suo corpo di lavoro più ampio — tre libri e una serie di articoli su invarianti, algebre di quaternioni e caratteri di gruppo — è solido e utile piuttosto che epocale, e ha trascorso la sua carriera a Swansea e Bangor, ben fuori dai centri della disciplina. Il verdetto onesto è che possedeva un istinto matematico genuinamente eccezionale, non equamente supportato dal rigore necessario per concretizzarlo; la professione ha trascorso novant'anni a beneficiare dell'istinto e a riparare il rigore.

Eredità

Andò in pensione nel 1970 e morì a Llandudno il 6 ottobre 1979, poco dopo il suo settantaseiesimo compleanno, in seguito a una caduta in cui si ruppe la gamba. È sepolto a Llanrhos; Muriel gli sopravvisse per dieci anni. Il suo nome è ora pronunciato quotidianamente da persone che non sanno nient'altro di lui, legato a una regola che sostiene lo studio moderno delle funzioni simmetriche, la teoria delle rappresentazioni dei gruppi classici e il calcolo di Schubert. Pochissimi matematici hanno un teorema che porta il loro nome. Ancora meno ne hanno uno la cui fama è arrivata prima della sua dimostrazione.