Arieh Iserles: Fare in modo che i computer rispettino la geometria

Un pianeta in orbita attorno a una stella conserva la sua energia esattamente, per sempre. Simulate quell'orbita su un computer usando un metodo numerico standard e l'energia si Disperderà — il pianeta spiraleggerà lentamente verso il sole o verso il buio, non perché la fisica lo dica, ma perché l'aritmetica perde precisione. Arieh Iserles appartiene al gruppo di matematici che hanno deciso che tutto ciò fosse inaccettabile e si sono messi a costruire algoritmi che obbediscono alle leggi codificate dalle loro equazioni.

Da Gerusalemme al Cam

Iserles è nato il 2 settembre 1947 e ha studiato all'Università Ebraica di Gerusalemme e all'Università Ben-Gurion del Negev. Il suo lavoro di dottorato ha riguardato i metodi numerici per le equazioni differenziali ordinarie stiff (rigide) — un argomento che sembra ristretto e che è tutto tranne che questo.

La rigidità è la patologia che compare ogni volta che un sistema contiene processi che procedono su scale temporali radicalmente diverse: una reazione chimica in cui un passaggio richiede microsecondi e un altro richiede ore. I metodi numerici ingenui sono costretti a procedere al ritmo del processo più rapido anche quando non sta accadendo nulla di interessante in esso, e il calcolo diventa inaffrontabile. Risolvere adeguatamente la rigidità è stato uno dei problemi pratici centrali del calcolo scientifico del ventesimo secolo, ed è un ottimo banco di prova per chi trascorrerà la propria carriera sul divario tra matematica continua e macchine discrete.

Cambridge, con una deviazione

È arrivato a Cambridge come Junior Research Fellow al King's College nel 1978, vi è diventato Senior Research Fellow nel 1982 e ha trascorso il biennio 1986-1987 come professore associato all'Università dell'Arizona. Poi è tornato e vi è rimasto.

È stato University Lecturer a Cambridge dal 1987 al 1995, Reader in Analisi Numerica dal 1995 al 1999 e dal 1999 è Professore di Analisi Numerica delle Equazioni Differenziali presso il Department of Applied Mathematics and Theoretical Physics — DAMTP, il dipartimento in cui hanno lavorato Dirac e Hawking. Dal 2010 al 2015 ha diretto il Cambridge Centre for Analysis.

Integrazione geometrica

L'idea centrale della vita di ricerca di Iserles è che un'equazione differenziale possiede una struttura e un buon metodo numerico dovrebbe preservarla.

Alcuni sistemi conservano l'energia. Alcuni conservano il volume nello spazio delle fasi. Alcuni evolvono su una varietà curva — un corpo rigido in rotazione, ad esempio, il cui stato vive sul gruppo delle rotazioni e non può mai lasciarlo, non importa quanto tempo si aspetti. I metodi numerici convenzionali non sanno nulla di tutto ciò. Approssimano il passo successivo e accettano un piccolo errore, e nel corso di una lunga simulazione quei piccoli errori si accumulano in un nonsenso qualitativo: la matrice di rotazione smette di essere una rotazione, l'energia si sposta, l'orbita è sbagliata in un modo che nessuna quantità di precisione extra potrà correggere.

L'integrazione numerica geometrica affronta questo problema progettando metodi che rispettano esattamente gli invarianti — integratori simplettici per sistemi hamiltoniani, metodi che preservano il volume e schemi costruiti in modo che un sistema che vive su un gruppo di Lie vi rimanga. I contributi personali di Iserles si concentrano attorno ai meccanismi per fare ciò: approssimazioni dell'esponenziale di matrice, in particolare metodi che mappano correttamente un'algebra di Lie sul suo gruppo di Lie, e l'analisi dei flussi isoetraspettrali e delle strutture di Lie-Poisson.

L'oscillazione, l'altro caso difficile

Il suo secondo grande territorio è costituito dai fenomeni altamente oscillatorii — problemi in cui la soluzione oscilla molto rapidamente.

Questo è un vero incubo per la normale analisi numerica, e per una ragione controintuitiva. La quadratura ordinaria funziona campionando; se la funzione oscilla più rapidamente di quanto si campioni, non si impara nulla, e la risposta classica consiste nel campionare più velocemente, il che costa di più quanto peggiora il problema. Iserles ha lavorato su metodi di discretizzazione efficaci per integrali altamente oscillatorii — una famiglia di tecniche in cui, in modo straordinario, l'alta oscillazione può essere trasformata da ostacolo in vantaggio, con una precisione che migliora all'aumentare della frequenza anziché collassare. Ha esteso l'approccio alle equazioni differenziali e agli spettri degli operatori, e ha sviluppato integratori esponenziali per equazioni con diverse scale interagenti di oscillazione.

Il suo vasto campo di ricerca comprende equazioni differenziali ordinarie e parziali, teoria dell'approssimazione, polinomi ortogonali, equazioni funzionali e dinamica computazionale.

Il guardiano

Iserles è stato insolitamente centrale nelle istituzioni del suo campo. È direttore esecutivo di Acta Numerica, il volume di rassegna annuale che è essenzialmente la dichiarazione dello stato dell'arte del settore, e caporedattore dell'IMA Journal of Numerical Analysis, oltre a ricoprire incarichi in consigli direttivi altrove. Dal 1997 al 2000 ha presieduto la Society for Foundations of Computational Mathematics.

Ha inoltre scritto A First Course in the Numerical Analysis of Differential Equations, pubblicato da Cambridge University Press e ora alla sua seconda edizione — per moltissimi studenti laureati in tutto il mondo, il libro che ha insegnato loro la materia.

Perché Arieh viene definito un genio

La qualità intellettuale in mostra è un tipo specifico di inversione: prendere ripetutamente la proprietà che rende un problema difficile e trasformarla nella proprietà che fa funzionare la soluzione. Il caso più chiaro è l'integrazione altamente oscillatoria, in cui l'impostazione standard tratta la rapida oscillazione come il nemico da sovracampionare, e i metodi a cui Iserles ha lavorato migliorano man mano che l'oscillazione aumenta. L'integrazione geometrica comporta la stessa mossa a un livello superiore: smettere di trattare un'equazione differenziale come una formula da approssimare e iniziare a trattarla come un oggetto geometrico la cui struttura deve essere preservata. Riformulazioni di questo tipo sono più rare e difficili del virtuosismo tecnico, e cambiano ciò che un'intera comunità pensa di stare facendo.

Il riconoscimento, valutato onestamente, è notevole ma orientato ai servizi resi. La medaglia Onsager è arrivata nel 1999. È seguita la medaglia David Crighton nel 2012, assegnata esplicitamente "per i servizi alla matematica e alla comunità matematica". Il premio SIAM per il servizio distinto alla professione è arrivato nel 2014. Due di questi tre riconoscimenti riguardano, secondo le rispettive motivazioni, il servizio piuttosto che la scoperta.

Quindi il controargomento è reale. Nessun teorema porta il nome di Iserles nel modo in cui lo porta un metodo di Runge-Kutta o di Newton. L'integrazione geometrica è stata costruita da una comunità — Hairer, Lubich, Wanner, Marsden, McLachlan e altri insieme a lui — ed egli ne è un importante contributore, non il suo autore solitario. La sua influenza misurabile più rilevante potrebbe essere editoriale e pedagogica: dirigere Acta Numerica, dirigere l'IMA Journal, scrivere il corso introduttivo di riferimento. Nessuna fonte accessibile registra qualcuno che lo definisca un genio. È un matematico applicato straordinario e un eccezionale costruttore di istituzioni, e la seconda metà di questa frase sta facendo molto più lavoro di quanto gli ammiratori solitamente ammettano.

Eredità

Iserles rimane al DAMTP, nel dipartimento in cui lavora dal 1987.

Il programma che ha contribuito a promuovere ha vinto silenziosamente. Gli integratori simplettici e conservatori della struttura sono ora lo standard nella dinamica molecolare, nella meccanica celeste, nella fisica dei plasmi e nella progettazione di acceleratori — ovunque una simulazione debba durare molto a lungo ed essere ancora credibile alla fine. L'intuizione sottostante è tanto filosofica quanto tecnica: un metodo numerico non è uno strumento neutrale per approssimare un'equazione. È un piccolo sistema dinamico a pieno titolo e, se lo costruite con noncuranza, vi racconterà una storia su un universo che non esiste.