मैक्सिम कोंत्सेविच: वह गणितज्ञ जिसने भौतिकी को कठोर बनाया

1990 में, 25 वर्षीय सोवियत शोधकर्ता, जिसके पास कोई विश्वविद्यालय डिग्री नहीं थी, बॉन के एक व्याख्यान हॉल में बैठा और माइकल अत्तिया (Michael Atiyah) को सुना - "एक प्रख्यात ब्रिटिश गणितज्ञ जिसने अद्भुत बातें कहीं," जैसा कि उन्होंने बाद में कहा - जो वक्रों की ज्यामिति के बारे में एडवर्ड विटेन (Edward Witten) की एक अद्भुत परिकल्पना का वर्णन कर रहे थे। कुछ ही दिनों के भीतर, राइन नदी पर एक नाव यात्रा के दौरान, कोंत्सेविच अपने सहयोगियों को समझा रहे थे कि वह इसे कैसे सिद्ध करने का इरादा रखते हैं। उन्हें पूरे एक साल के लिए बॉन वापस आमंत्रित किया गया। दो साल बाद यह प्रमाण उनकी डॉक्टरेट थीसिस बन गया।

खिम्की, कोरियाई भाषा, और एक ओलंपियाड

उनका जन्म 25 अगस्त 1964 को मास्को के बाहर खिम्की (Khimki) में, विद्वानों के एक परिवार में हुआ था। उनके पिता, लेव राफैलोविच कोंत्सेविच (Lev Rafailovich Kontsevich), रूसी विज्ञान अकादमी के ओरिएंटल स्टडीज संस्थान में अग्रणी कोरियाई विशेषज्ञ थे और कोंत्सेविच प्रणाली के लेखक थे, जो आज भी कोरियाई को सिरिलिक में लिप्यंतरित करने की मानक विधि है। उनकी माँ एक इंजीनियर थीं; उनके बड़े भाई लियोनिद (Leonid) सैन फ्रांसिस्को में कंप्यूटर इमेजिंग अनुसंधान में चले गए। कोंत्सेविच अपनी गणित और भौतिकी की रुचि के लिए अपने भाई और "कुछ बहुत अच्छी किताबों" को श्रेय देते हैं।

किताबों ने अपना काम जल्दी कर दिया। सोलह वर्ष की आयु में उन्होंने राष्ट्रीय गणितीय ओलंपियाड में दूसरा स्थान प्राप्त किया, जिसने उन्हें प्रवेश परीक्षाओं के बिना मास्को स्टेट यूनिवर्सिटी में प्रवेश दिलाया। उन्होंने 1980 से 1985 तक वहां एक प्रभावशाली संकाय के तहत अध्ययन किया, सबसे बढ़कर इज़राइल गेलफ़ैंड (Israil Gelfand)। वह उन्नीस साल की उम्र में प्रकाशन कर रहे थे: 1983 में ए. ए. किरीलोव (A. A. Kirillov) के साथ "दो सामान्य वेक्टर क्षेत्रों द्वारा उत्पन्न ली बीजगणित की वृद्धि", जिसके बाद किरीलोव और ए. आई. मोलेव (A. I. Molev) के साथ "मध्यवर्ती वृद्धि के बीजगणित" का प्रकाशन हुआ।

वह छात्र जिसने पढ़ाई छोड़ दी

1985 में उन्होंने मास्को स्टेट यूनिवर्सिटी से बिना डिग्री लिए पढ़ाई छोड़ दी और विज्ञान अकादमी में सूचना संचरण समस्याओं के संस्थान में शामिल हो गए, और 1988 तक विरासोरो बीजगणित (Virasoro algebra) और संबंधित संरचनाओं पर प्रकाशित किया। इस पर रुकना उचित है: जिस व्यक्ति ने फील्ड्स मेडल जीता, उसने अपनी शुरुआती बीसवीं सदी एक सोवियत सूचना-सिद्धांत संस्थान में बिना डिग्री वाले शोधकर्ता के रूप में बिताई। उन्होंने पहली बार 1988 में इंस्टीट्यूट डेस ऑट्स एट्यूड्स साइंटिफिक (IHES) का दौरा किया और वे इसे कभी नहीं भूले।

चार समस्याएं

बॉन थीसिस, जिसे 1992 में डॉन ज़ागियर (Don Zagier) की देखरेख में प्रस्तुत किया गया था, का शीर्षक था "वक्रों के मापांक स्थान और एरी मैट्रिक्स फ़ंक्शन पर प्रतिच्छेदन सिद्धांत"। इसने विटेन की परिकल्पना को सिद्ध किया: कि बीजगणितीय वक्रों के संकुचित मापांक स्थानों पर स्थिर वर्गों की प्रतिच्छेदन संख्याएँ कोर्टवे-डी व्रीस (Korteweg–de Vries) एकीकृत पदानुक्रम का पालन करती हैं - एक कथन जो रीमन सतहों की ज्यामिति को उथले-पानी की तरंगों के गणित से जोड़ता है, जिसका सच होना तर्कसंगत नहीं था। समीक्षक क्लिफोर्ड हेनरी टाउब्स (Clifford Henry Taubes) ने नोट किया कि "इस प्रमाण के कई चरण संयोजन गणनाओं के लिए कोंत्सेविच की अनूठी प्रतिभा को प्रदर्शित करते हैं।"

इसके बाद उन्होंने पांच वर्षों में तीन बार और ऐसा किया। वासिलिव (Vassiliev) के गाँठ अपरिवर्तनीय (knot invariants) पर उनके 1993 के पेपर ने वह पेश किया जिसे अब कोंत्सेविच इंटीग्रल कहा जाता है, जो गांठों और लिंक का एक सार्वभौमिक अपरिवर्तनीय है; समीक्षक जोन बिरमन (Joan Birman) ने लिखा कि उन्होंने विषय पर "बहुत ताज़ा और मूल दृष्टिकोण" अपनाया है और एक जटिल सिद्धांत को "प्राकृतिक और स्पष्ट" बना दिया है। उन्होंने सिद्ध किया कि प्रत्येक पॉइसन मैनिफोल्ड (Poisson manifold) एक औपचारिक विरूपण परिमाणीकरण (deformation quantization) को स्वीकार करता है, जो फ्लैट मामले में स्पष्ट सूत्र प्रदान करता है और गणितीय भौतिकी में एक मूलभूत प्रश्न को सुलझाता है। 1994 में यूरी मैनिन (Yuri Manin) के साथ उन्होंने "ग्रोमोव-विटेन क्लासेस, क्वांटम कोहोमोलॉजी, और एन्यूमरेटिव ज्योमेट्री" लिखी, और स्थिर मानचित्रों का मापांक स्थान पेश किया जिसने वक्रों की कठोर गणना संभव बनाई - जो कि कैलाबी-याऊ तीन गुना में तर्कसंगत वक्रों पर प्रमेयों के पीछे की मशीनरी थी जो दर्पण समरूपता के लिए निर्णायक साबित हुई। उन्होंने "औपचारिक (गैर) विनिमेय सिम्पलेक्टिक ज्यामिति" भी लिखी, और बाद में, एलेक्सी बेलोव-कानेल (Alexei Belov-Kanel) के साथ, डिक्समियर (Dixmier) और जैकोबी परिकल्पनाओं की समानता सिद्ध की।

श्रेणी सिद्धांत के रूप में दर्पण समरूपता

ज्यूरिख में 1994 के गणितज्ञों के अंतर्राष्ट्रीय कांग्रेस में उन्होंने वह विचार प्रस्तावित किया जो अब किसी भी अन्य चीज़ से अधिक उनकी पहचान है: समजात दर्पण समरूपता (homological mirror symmetry)। स्ट्रिंग सिद्धांतकारों ने देखा था कि कैलाबी-याऊ मैनिफोल्ड दर्पण जोड़े में आते हैं जिनकी जटिल और सिम्पलेक्टिक संरचनाएं बदलती हुई प्रतीत होती हैं। कोंत्सेविच की परिकल्पना यह है कि यह श्रेणियों की समानता है - कि X पर सुसंगत शीव्स (coherent sheaves) की व्युत्पन्न श्रेणी, जो शुद्ध बीजगणितीय ज्यामिति की एक वस्तु है, उसके दर्पण Y की व्युत्पन्न फुकया श्रेणी (Fukaya category) के बराबर है, जो शुद्ध सिम्पलेक्टिक ज्यामिति की एक वस्तु है। इसने भौतिक विज्ञानी के देखे गए संयोग को एक सटीक संरचनात्मक दावे में बदल दिया, और इसने तब से ज्यामिति के बड़े हिस्सों को व्यवस्थित किया है।

बुरेस-सुर-यवेट

उन्होंने 1990 के दशक के मध्य में हार्वर्ड, प्रिंसटन में इंस्टीट्यूट फॉर एडवांस्ड स्टडी, रटगर्स और बर्कले में प्रोफेसरशिप का दौरा किया, फिर अपने भाई के वहां होने के बावजूद अमेरिका में बसने से इनकार कर दिया। उन्होंने बुरेस-सुर-यवेट में IHES में एक स्थायी प्रोफेसरशिप ली, जिस संस्थान की वे 1988 से प्रशंसा करते थे, और वहीं रुक गए। वह मियामी विश्वविद्यालय में एक विशिष्ट प्रोफेसरशिप भी रखते हैं, 1999 में फ्रांसीसी नागरिकता ली, और रूसी और फ्रांसीसी दोनों पासपोर्ट रखते हैं।

पुरस्कारों का संग्रह: 1997 में हेनरी पोइंकेरे पुरस्कार; 1998 बर्लिन कांग्रेस में फील्ड्स मेडल, बीजगणितीय ज्यामिति और बीजगणितीय टोपोलॉजी में काम के लिए उद्धृत; डैनियल इगोलनिट्ज़र पुरस्कार; 2008 में क्रैफोर्ड पुरस्कार, एडवर्ड विटेन के साथ साझा, "आधुनिक सैद्धांतिक भौतिकी से प्रेरित गणित में उनके महत्वपूर्ण योगदान के लिए"; 2012 में शॉ पुरस्कार; उसी वर्ष मौलिक भौतिकी में ब्रेकथ्रू पुरस्कार; 2015 में गणित में ब्रेकथ्रू पुरस्कार; पेरिस विज्ञान अकादमी की सदस्यता और अमेरिकी राष्ट्रीय विज्ञान अकादमी की विदेशी सहयोगी सदस्यता।

मैक्सिम को जीनियस क्यों कहा जाता है

दो अलग-अलग क्षमताएं काम कर रही हैं, और वे शायद ही कभी एक साथ पाई जाती हैं। पहली एक बहुत ही विशेष प्रकार की कच्ची गणना शक्ति है - टाउब्स का वाक्यांश, "संयोजन गणनाओं के लिए अनूठी प्रतिभा," एक तकनीकी मूल्यांकन है, प्रशंसा नहीं, और यह उस मशीनरी का वर्णन करता है जिसने विटेन परिकल्पना को सिद्ध किया जब कोई और नहीं कर सका। दूसरी उन चीजों के लिए एक संरचनात्मक प्रवृत्ति है जो भौतिक विज्ञानी वास्तव में कह रहे हैं। स्ट्रिंग सिद्धांतकारों ने 1980 और 1990 के दशक में चकाचौंध भरे, गैर-कठोर दावे किए; कोंत्सेविच की आदत उस गणितीय वस्तु को खोजने की थी जिसके बारे में वे दावे गुप्त रूप से थे, फिर उसे उस रूप में बताना जिसके साथ गणितज्ञ काम कर सकें। समजात दर्पण समरूपता सबसे शुद्ध उदाहरण है: एक भौतिक संयोग एक श्रेणीगत समानता में बदल गया। बिरमन का अवलोकन कि वह जटिल सिद्धांत को "प्राकृतिक और स्पष्ट" बनाते हैं, दूसरे कोण से उसी संकाय की ओर इशारा करता है।

ईमानदार प्रति-मामले के तीन भाग हैं। अधिकांश कच्चा माल उनका नहीं था - विटेन ने परिकल्पना की, वासिलिव ने अपरिवर्तनीय को परिभाषित किया, भौतिकविदों ने दर्पण समरूपता पाई; कोंत्सेविच की भूमिका चीजों को कठोर बनाना था, जो अपरिहार्य है लेकिन निर्माण द्वारा व्युत्पन्न है। दूसरा, उनका सबसे प्रसिद्ध एकल विचार अभी भी एक परिकल्पना है: समजात दर्पण समरूपता तीस से अधिक वर्षों के बाद भी सामान्य रूप से अप्रमाणित है, और प्रमेयों के बगल में परिकल्पनाएं सस्ती हैं। तीसरा, "जीनियस" गणित में स्वतंत्र रूप से प्रसारित होने वाली मुद्रा है, और कोंत्सेविच के लिए विशिष्ट सार्वजनिक प्रशंसापत्र शब्द तक पहुंचने के बजाय तकनीक और मौलिकता की प्रशंसा करते हैं। रक्षात्मक दावा संकरा और अभी भी असाधारण है: लगभग एक दशक तक वह सैद्धांतिक भौतिकी और कठोर गणित के बीच सबसे विश्वसनीय अनुवादक थे जो दोनों क्षेत्रों में थे।

विरासत

पूरे शोध कार्यक्रम अब उनकी परिभाषाओं पर चलते हैं - स्थिर मानचित्र, कोंत्सेविच इंटीग्रल, विरूपण परिमाणीकरण, दर्पण समरूपता का फुकया-श्रेणी फ्रेमिंग। वह IHES में बने हुए हैं, अभी भी काम कर रहे हैं, और 1994 में ज्यूरिख के मंच पर उन्होंने जो परिकल्पना पेश की थी, वह अधिकांश पूर्ण प्रमेयों की तुलना में अधिक गणित उत्पन्न करना जारी रखती है।