मरीना वियाज़ोव्स्का: वह जादुई फलन जिसने आठ आयामों को पैक किया

मार्च 2016 में मरीना वियाज़ोव्स्का (Maryna Viazovska) के एक छोटा शोध पत्र ऑनलाइन पोस्ट करने के कुछ ही घंटों के भीतर, गणितज्ञ अक्षय वेंकटेश (Akshay Venkatesh) ने एक सहकर्मी को एक शब्द की विषय पंक्ति के साथ ईमेल किया: "वाह!" इस शोध पत्र ने, कुछ पन्नों के प्रमाण में, आठ-आयामी अंतरिक्ष में गोलों को ढेर करने (stacking spheres) की एक ऐसी समस्या को हल कर दिया, जो दशकों से इस क्षेत्र के लिए चुनौती बनी हुई थी। प्रिंसटन के पीटर सार्नाक (Peter Sarnak) के अनुसार, यह कार्य इतना सुंदर था कि "यह उन शोध पत्रों में से एक है जिसे आप उठाते हैं और पूरा पढ़े बिना नीचे नहीं रखते।" छह साल बाद, वियाज़ोव्स्का इतिहास में फील्ड्स मेडल जीतने वाली केवल दूसरी महिला बनीं।

सोवियत-बाद के कीव में एक रसायनज्ञ की बेटी

मरीना सेर्गीइवना वियाज़ोव्स्का (Maryna Sergiivna Viazovska) का जन्म 2 दिसंबर 1984 को कीव में हुआ था। वह तीन बहनों में सबसे बड़ी थीं। उनके पिता एंटोनोव विमान कारखाने में रसायनज्ञ थे और उनकी माँ एक इंजीनियर थीं। वह सोवियत-बाद के यूक्रेन की आर्थिक उथल-पुथल के बीच बड़ी हुईं और उन्होंने कीव नेचुरल साइंस लीसियम नंबर 145 में पढ़ाई की, जो वैज्ञानिक रूप से प्रतिभाशाली छात्रों के लिए एक विशेष स्कूल था। वहाँ, एक शोध गणितज्ञ से शिक्षक बने आंद्री कन्याज़्युक (Andrii Knyazyuk) ने उनके प्रारंभिक गणितीय विकास को आकार दिया। उन्होंने ओलंपियाड में गंभीरता से प्रतिस्पर्धा की—अंतर्राष्ट्रीय गणितीय ओलंपियाड प्रशिक्षण के लिए बारह छात्रों के चयन में राष्ट्रीय स्तर पर 13वें स्थान पर रहीं, जिससे वह बहुत कम अंतर से चूक गईं—और कीव के तारास शेवचेंको नेशनल यूनिवर्सिटी में स्नातक के रूप में, उन्होंने 2002 और 2005 दोनों में विश्वविद्यालय के छात्रों के लिए अंतर्राष्ट्रीय गणित प्रतियोगिता जीती, और उसी वर्ष अपना पहला शोध पत्र सह-लेखक के रूप में प्रकाशित किया।

कीव से बॉन तक

उनके औपचारिक प्रशिक्षण ने कई देशों को पार किया: जर्मनी में कैसरस्लॉटर्न विश्वविद्यालय से मास्टर डिग्री (2007), यूक्रेन के नेशनल एकेडमी ऑफ साइंसेज के गणित संस्थान से पीएचडी (2010), और 2013 में बॉन विश्वविद्यालय से डॉक्टरेट (Dr. rer. nat.)। वहाँ उन्होंने डॉन ज़ैगियर (Don Zagier) और वर्नर मुलर (Werner Müller) के अधीन विश्लेषणात्मक संख्या सिद्धांत में मॉड्यूलर कार्यों और विशेष चक्रों का अध्ययन किया। अपनी पहचान बनाने वाली सफलता से पहले, उन्होंने एक शोध प्रतिष्ठा स्थापित कर ली थी: 2011 में आंद्री बोंडारेन्को (Andriy Bondarenko) और डैनिलो राडचेंको (Danylo Radchenko) के साथ एक शोध पत्र, जिसमें मनमाने आयामों में छोटे गोलाकार डिज़ाइनों के बारे में कोरेवार-मेयर्स के अनुमान को सिद्ध किया गया था, को एनाल्स ऑफ मैथमेटिक्स (Annals of Mathematics) में प्रकाशित किया गया था—जो इस क्षेत्र की सबसे चुनिंदा पत्रिकाओं में से एक है—यह तब हुआ जब वह संख्या सिद्धांत के दायरे से बाहर व्यापक रूप से जानी नहीं जाती थीं।

गोला-पैकिंग समस्या

वियाज़ोव्स्का जिस सवाल का जवाब देना चाहती थीं, उसका एक पुराना और प्रसिद्ध इतिहास है: समान गोलों को अंतरिक्ष में कैसे पैक किया जाए ताकि वे आयतन के सबसे बड़े संभव अंश को भर सकें? तीन आयामों में, यह केप्लर अनुमान (Kepler conjecture) है, जिसे अंततः 1990 के दशक के अंत और 2000 के दशक में कंप्यूटर-सहायता प्राप्त तर्क के माध्यम से सिद्ध किया गया था। कुछ उच्च आयामों में, यह समस्या विशेष, अत्यधिक सममित जाली (lattices) के कारण अप्रत्याशित संरचना ले लेती है—विशेष रूप से आठ आयामों में E₈ जाली और चौबीस आयामों में लीच जाली (Leech lattice)। गणितज्ञों को लंबे समय से संदेह था कि ये जाली अपने संबंधित आयामों में सबसे घनी संभव गोला-पैकिंग देती हैं, लेकिन किसी के पास इसे सिद्ध करने का तरीका नहीं था।

"जादुई फलन"

2016 में, बर्लिन गणितीय स्कूल, हम्बोल्ट विश्वविद्यालय में पोस्टडॉक्टरल पदों और प्रिंसटन में मिनर्वा फैलोशिप के बाद, ज्यादातर अकेले काम करते हुए, वियाज़ोव्स्का ने आयाम 8 के लिए वह बनाया जिसे "जादुई फलन" के रूप में जाना जाने लगा। यह उन मॉड्यूलर रूपों से नहीं बनाया गया था जिनकी अधिकांश संख्या सिद्धांतकारों ने उम्मीद की थी, बल्कि जानबूझकर अपूर्ण समरूपता वाले एक अर्ध-मॉड्यूलर रूप (quasimodular form) से बनाया गया था। इस फलन ने उन्हें इस क्षेत्र के मानकों के अनुसार उल्लेखनीय रूप से संक्षिप्त और स्पष्ट तर्क में यह साबित करने की अनुमति दी कि E₈ जाली वास्तव में आठ आयामों में सबसे घनी संभव गोला-पैकिंग प्रदान करती है। एक सप्ताह के भीतर, हेनरी कोहन (Henry Cohn), अभिनव कुमार (Abhinav Kumar), स्टीफन डी. मिलर (Stephen D. Miller), और डैनिलो राडचेंको के साथ काम करते हुए, उन्होंने लीच जाली का उपयोग करके 24-आयामी मामले को हल करने के लिए उसी तकनीक का विस्तार किया—सहयोगात्मक कार्य का एक विस्फोट जिसे राडचेंको ने बाद में "शायद मेरे जीवन का सबसे पागलपन भरा सप्ताह" कहा। दोनों परिणाम, जो एक-दूसरे के कुछ दिनों के भीतर जारी किए गए, ने तीन आयामों के अलावा केवल उन दो आयामों में गोला-पैकिंग को हल कर दिया, जहाँ उस समय एक सटीक उत्तर ज्ञात था।

पैकिंग से परे: सार्वभौमिक अनुकूलता

वियाज़ोव्स्का और उनके सहयोगियों ने बाद के वर्षों में और अधिक काम किया, 2019 में यह साबित किया कि E₈ और लीच जाली "सार्वभौमिक रूप से इष्टतम" (universally optimal) हैं—जिसका अर्थ है कि वे न केवल एक भौतिक मॉडल के लिए बल्कि ऊर्जा कार्यों के पूरे व्यापक वर्ग के लिए संभावित ऊर्जा को कम करती हैं, जिसके निहितार्थ इलेक्ट्रॉन प्रतिकर्षण से लेकर पॉलिमर कॉन्फ़िगरेशन तक फैले हुए हैं। गणितज्ञ सिल्विया सर्फ़ाटी (Sylvia Serfaty) ने इस परिणाम की तुलना "19वीं सदी की महान सफलताओं" से की और इसे "विज्ञान की एक महान प्रगति" कहा। इस काम ने आंशिक वर्णक्रमीय जानकारी से कार्यों के पुनर्निर्माण के लिए वियाज़ोव्स्का के दृष्टिकोण के माध्यम से फूरियर विश्लेषण को भी व्यापक रूप से आगे बढ़ाया—एक तकनीक जिसमें उस पैकिंग समस्या से कहीं अधिक अनुप्रयोग हैं जिसने इसे प्रेरित किया था।

फील्ड्स मेडल और मान्यता

जुलाई 2022 में वियाज़ोव्स्का को फील्ड्स मेडल मिला, जिससे वह मरियम मिर्जाखानी (Maryam Mirzakhani) के बाद इसे जीतने वाली दूसरी महिला, व्लादिमीर ड्रिनफेल्ड (Vladimir Drinfeld) के बाद यूक्रेनी एसएसआर में पैदा होने वाली दूसरी गणितज्ञ, और यूक्रेनी विश्वविद्यालय से डिग्री रखने वाली पहली फील्ड्स मेडलिस्ट बनीं। यह सम्मान कई बड़े पुरस्कारों के बाद मिला: सलेम पुरस्कार (2016), क्ले रिसर्च अवार्ड (2017), शास्त्र रामानुजन पुरस्कार (2017), कॉम्बिनेटरिक्स में यूरोपीय पुरस्कार (2017), न्यू होराइजन्स पुरस्कार (2018), रूथ लिटल सटर पुरस्कार (2019), फॉर्मेट पुरस्कार (2019), ईएमएस पुरस्कार (2020), और राष्ट्रीय लैट्सिस पुरस्कार (2020)। 2022 में उन्हें बीबीसी की 100 महिलाओं की सूची में शामिल किया गया। जनवरी 2018 से वह लॉज़ेन, स्विट्जरलैंड में ईपीएफएल (EPFL) में संख्या सिद्धांत की अध्यक्ष हैं, जहाँ वह अपने पति, भौतिक विज्ञानी डैनियल इव्तुशिंस्की (Daniil Evtushinsky)—जिनसे वह एक किशोरी के रूप में स्कूल के बाद के भौतिकी समूह के माध्यम से मिली थीं—और अपने दो बच्चों के साथ रहती हैं।

मरीना वियाज़ोव्स्का को जीनियस क्यों कहा जाता है

"जीनियस" लेबल के पीछे का विशिष्ट गणितीय गुण वियाज़ोव्स्का द्वारा एक सटीक, बंद-रूप प्रमाण का निर्माण है, जहाँ क्षेत्र को उम्मीद थी—और तीन-आयामी केप्लर मामले में पहले आवश्यकता थी—सैकड़ों पन्नों में फैले थकाऊ कंप्यूटर-सहायता प्राप्त तर्क की। आठ-आयामी प्रमाण को सफल बनाने वाले सटीक अर्ध-मॉड्यूलर रूप को खोजने के लिए मॉड्यूलर रूपों की गहरी तकनीकी कमान और एक लगभग सौंदर्यपरक वृत्ति का एक असामान्य और कठिन-से-सिखाया जाने वाला संयोजन आवश्यक था कि कौन सा फलन आवश्यक प्रक्षेप स्थितियों को पूरा करेगा; वह वृत्ति बिल्कुल वही है जिस पर सार्नाक से लेकर वेंकटेश तक, शोध पत्र की समीक्षा करने वाले गणितज्ञों ने नियमित पेशेवर अनुमोदन के बजाय खुले आश्चर्य के साथ प्रतिक्रिया व्यक्त की। फ्रेमिंग पर ईमानदार सीमा यह है कि आठ और चौबीस आयामों में गोला-पैकिंग समस्या इसलिए सुलभ थी क्योंकि उन दो आयामों में असाधारण जाली संरचनाएं (E₈ और लीच जाली) हैं जो सामान्य आयामों में उपलब्ध नहीं हैं—यह उपलब्धि मनमाने आयामों के लिए सामान्यीकृत नहीं होती है, और क्षेत्र की व्यापक गोला-पैकिंग समस्या बाकी हर जगह लगभग खुली रहती है। इसके अलावा, 24-आयामी विस्तार स्पष्ट रूप से हेनरी कोहन, अभिनव कुमार, स्टीफन डी. मिलर और डैनिलो राडचेंको के साथ एक त्वरित समूह सहयोग था, न कि एकल कार्य, और प्रसिद्ध 8-आयामी प्रमाण ने भी गोला-पैकिंग सीमाओं के लिए एक मौजूदा रैखिक-प्रोग्रामिंग दृष्टिकोण का सहारा लिया जिसे अन्य शोधकर्ताओं ने—कोहन उनमें से एक थे—वियाज़ोव्स्का द्वारा इसे पूरा करने के लिए आवश्यक विशिष्ट फलन खोजने से पहले ही विकसित कर लिया था।

विरासत

वियाज़ोव्स्का की विधियाँ पहले से ही पैकिंग, ऊर्जा न्यूनीकरण, और फूरियर प्रक्षेप समस्याओं के अध्ययन में एक मानक संदर्भ बिंदु बन गई हैं, और उनका फील्ड्स मेडल—जो यूक्रेन पर रूस के पूर्ण पैमाने पर आक्रमण के पहले महीनों के दौरान प्रदान किया गया था—यूक्रेनी विज्ञान के लिए विशेष प्रतीकात्मक महत्व रखता है, एक ऐसा देश जिसके गणितीय संस्थानों की उन्होंने तब से सार्वजनिक रूप से वकालत की है। ईपीएफएल में वह उन संख्या सिद्धांतकारों की अगली पीढ़ी को प्रशिक्षित करना जारी रखती हैं जो जाली ज्यामिति और विश्लेषणात्मक संख्या सिद्धांत की उस सीमा पर काम कर रहे हैं जिसे उनके अपने करियर ने परिभाषित करने में मदद की है।