अर्नेस्ट माइकल: बुरा चुनाव किए बिना कैसे चुनें

1956 में, वाशिंगटन विश्वविद्यालय के एक युवा टोपोलॉजिस्ट ने निर्णय लेने के बारे में एक प्रमेय प्रकाशित किया। एक नियम दिया गया है जो प्रत्येक बिंदु को एक एकल मान नहीं, बल्कि स्वीकार्य मानों का एक पूरा सेट सौंपता है, तो आप प्रत्येक से एक कब चुन सकते हैं — लगातार, ताकि पास के बिंदुओं को पास के विकल्प मिलें? उन्होंने जो उत्तर दिया, उसका उपयोग अब हर बार किया जाता है जब कोई अर्थशास्त्री संतुलन के अस्तित्व को साबित करता है या कोई नियंत्रण सिद्धांतकार यह साबित करता है कि किसी प्रणाली को संचालित किया जा सकता है। पचास साल बाद, एक पत्रिका ने इससे विकसित हुई चीजों के लिए एक पूरा विशेष अंक समर्पित किया, और 1956 को "इस सिद्धांत के जन्म का वर्ष" कहा।

ज्यूरिख, बर्लिन, द हेग, न्यूयॉर्क

माइकल का जन्म 26 अगस्त 1925 को ज्यूरिख में हुआ था, जो जैकब और एर्ना माइकल के बेटे थे, जो एक अश्केनाज़ी यहूदी परिवार था।

अगले चौदह साल एक ऐसे महाद्वीप के नक्शे की तरह हैं जो गलत दिशा में जा रहा है। परिवार 1932 में बर्लिन से चला गया — हिटलर के सत्ता में आने से एक साल पहले, जिसका अर्थ है कि उन्होंने स्थिति को जल्दी और सही ढंग से पढ़ लिया था। वे द हेग गए। 1939 में, नीदरलैंड्स पर आक्रमण के कुछ महीने पहले, वे फिर से न्यूयॉर्क चले गए। माइकल को बाद में स्विस और जर्मन मूल के अमेरिकी के रूप में वर्णित किया गया; उन शब्दों में से प्रत्येक को प्रस्थान के साथ खरीदा गया था।

उन्होंने पंद्रह साल की उम्र में होरेस मान स्कूल से स्नातक किया। वह कॉर्नेल गए, लेकिन युद्ध ने उन्हें बाधित कर दिया: उन्होंने 1944 से 1946 तक यूएसएस क्वाजालीन पर सेवा की, और 1947 में अपनी बीए डिग्री लेने के लिए वापस आए। 1948 में हार्वर्ड से मास्टर डिग्री और 1951 में इरविंग सेगल के तहत शिकागो विश्वविद्यालय से पीएचडी की, जिसमें स्थानीय रूप से गुणात्मक-उत्तल टोपोलॉजिकल बीजगणित पर शोध प्रबंध था।

सिएटल में इकतालीस साल

1952 में माइकल वाशिंगटन विश्वविद्यालय के गणित विभाग में शामिल हो गए। वह 1952 से 1956 तक सहायक प्रोफेसर, 1956 से 1960 तक एसोसिएट प्रोफेसर और 1960 से 1993 में अपनी सेवानिवृत्ति तक प्रोफेसर रहे — एक विभाग में इकतालीस साल, एक ऐसे जीवन में जिसके पहले चौदह वर्षों में तीन देश शामिल थे।

उन्होंने फिर से स्थानांतरित होने के बजाय उस आधार से यात्रा की: इंस्टीट्यूट फॉर एडवांस्ड स्टडी में आगंतुक के रूप में चार अलग-अलग अवधि, 1973-74 में ईटीएच ज्यूरिख में एक साल — अपने जन्म के शहर में वापस — और 1978-79 में स्टटगार्ट विश्वविद्यालय में एक साल।

चयन प्रमेय

1956 का परिणाम सेट-वैल्यूड मैप्स से संबंधित है, जिन्हें कभी-कभी पत्राचार या मल्टीफंक्शन कहा जाता है।

एक सामान्य फ़ंक्शन आपको प्रति इनपुट एक आउटपुट देता है। एक सेट-वैल्यूड मैप आपको उनका एक पूरा सेट देता है: प्रत्येक कीमत के लिए, उन मात्राओं का सेट जो एक फर्म इष्टतम रूप से उत्पादित कर सकती है; मशीन की प्रत्येक स्थिति के लिए, उन नियंत्रणों का सेट जो अनुमेय हैं। एक चयन एक सामान्य फ़ंक्शन है जो उन सेटों में से प्रत्येक से एक तत्व चुनता है। यदि आप चयन के स्वयंसिद्ध को स्वीकार करते हैं तो चयन हमेशा मौजूद होते हैं — लेकिन वे आम तौर पर अत्यधिक असंतत होंगे, और एक असंतत विकल्प उन उद्देश्यों के लिए बेकार है जो लोगों के पास वास्तव में हैं।

माइकल का चयन प्रमेय उन स्थितियों को देता है जिनके तहत एक निरंतर चयन मौजूद होता है: मोटे तौर पर, कि डोमेन पैराकॉम्पैक्ट है और मैप बंद उत्तल मानों के साथ निचले अर्ध-निरंतर है। प्रमेय ही कारण है कि आधुनिक विश्लेषण का एक बड़ा हिस्सा काम करता है। गणितीय अर्थशास्त्र में फिक्स्ड-पॉइंट तर्क, अंतर समावेशन का सिद्धांत, अनुकूलन और नियंत्रण सभी किसी बिंदु पर एक चलती सेट से लगातार चुनने में सक्षम होने पर निर्भर करते हैं।

वह प्रमेय पर नहीं रुके। उन्होंने इसके चारों ओर निरंतर चयन का पूरा सिद्धांत स्थापित किया, और 1956 के पेपर को उचित रूप से उस क्षेत्र की उत्पत्ति माना जाता है।

माइकल लाइन

उनकी दूसरी प्रसिद्ध रचना एक प्रति-उदाहरण है, और यह सामान्य टोपोलॉजी में सबसे अधिक उद्धृत उदाहरणों में से एक है।

टोपोलॉजिस्ट लंबे समय से चाहते थे कि गुण उत्पादों के तहत अच्छी तरह से व्यवहार करें — यदि दो स्थान अच्छे हैं, तो उनका उत्पाद अच्छा होना चाहिए। माइकल लाइन एक विशिष्ट और महत्वपूर्ण युग्मन के लिए उस आशा को खत्म कर देती है। यह एक पैराकॉम्पैक्ट स्थान है जिसका अपरिमेय संख्याओं के स्थान के साथ उत्पाद सामान्य भी नहीं है।

इस गुणवत्ता के प्रति-उदाहरण गणित में एक विशेष कार्य करते हैं। वे संभव की सीमा को चिह्नित करते हैं, और बाद में आने वाले सभी लोगों को कुछ गलत साबित करने के प्रयास में वर्षों बर्बाद करने से बचाते हैं। माइकल का नाम माइकल के उत्पाद टोपोलॉजी और बंद उप-स्थानों पर परिणामों से भी जुड़ा है, और उन्होंने सामान्य टोपोलॉजी में सौ से अधिक पेपर प्रकाशित किए, Transactions, Annals और Duke में, उप-समुच्चयों के हाइपरस्पेस, पैराकॉम्पैक्टनेस, निरंतर चयन और सामान्य स्थानों के व्यवहार पर।

अर्नेस्ट को जीनियस क्यों कहा जाता है

सबसे मजबूत सबूत एक विशिष्ट और असामान्य प्रकार की स्थायित्व है। 1956 में प्रकाशित एक एकल पेपर पचास साल बाद भी पर्याप्त नया गणित उत्पन्न कर रहा था कि Topology and Its Applications ने वर्षगांठ के लिए एक विशेष अंक समर्पित किया। बहुत कम परिणाम ऐसा कमाते हैं।

शामिल संज्ञानात्मक गुणवत्ता को सटीक रूप से नामित करने योग्य है, क्योंकि यह कच्ची कम्प्यूटेशनल शक्ति नहीं है। माइकल का उपहार सटीक परिकल्पनाओं को खोजने के लिए था — न्यूनतम स्थितियां जिनके तहत एक वांछनीय चीज सच है, उन तेज उदाहरणों के साथ जो दिखाते हैं कि जब आप उन्हें आराम देते हैं तो क्या होता है। चयन प्रमेय और माइकल लाइन विपरीत दिशाओं का सामना करने वाली समान प्रतिभा हैं: एक मैप करता है कि जमीन कहां ठोस है, दूसरा ठीक से चिह्नित करता है कि यह कहां रास्ता देती है। इस प्रकार के गणितज्ञ समस्या-समाधानकर्ताओं की तुलना में दुर्लभ हैं और किसी क्षेत्र के दीर्घकालिक स्वास्थ्य के लिए अधिक उपयोगी हैं, क्योंकि वे इसके भूगोल को परिभाषित करते हैं।

ईमानदार प्रति-मामला यह है कि माइकल का प्रसिद्ध काम सतह क्षेत्र में संकीर्ण है। बीसवीं सदी के उत्तरार्ध में सामान्य टोपोलॉजी वह जगह नहीं थी जहां अनुशासन का गुरुत्वाकर्षण केंद्र स्थित था; उनका प्रमुख सम्मान 2012 में अमेरिकन मैथमेटिकल सोसाइटी फेलो की उद्घाटन कक्षा में शामिल होना था, एक बड़ा और सामूहिक भेद जो प्रमेय के छप्पन साल बाद आया। उन्होंने कोई वोल्फ पुरस्कार, कोई स्टील पुरस्कार नहीं जीता, और न ही सुलभ स्रोतों में दर्ज कोई राष्ट्रीय अकादमी सदस्यता प्राप्त की। कोई भी सहकर्मी उन्हें जीनियस कहने के लिए रिकॉर्ड पर नहीं है। उनके चयन प्रमेय की अधिकांश प्रसिद्धि डाउनस्ट्रीम उपयोगकर्ताओं से उधार ली गई है — अर्थशास्त्री और नियंत्रण सिद्धांतकार जो इसे बिना किसी टोपोलॉजी के संलग्न किए एक लेम्मा के रूप में उद्धृत करते हैं। एक निष्पक्ष फैसला यह है कि माइकल असाधारण सटीकता के गणितज्ञ थे जिन्होंने एक प्रमेय को इतना सटीक रूप से सही पाया कि यह उनके अपने क्षेत्र के फैशन से बाहर निकल गया।

विरासत

माइकल 1993 में सेवानिवृत्त हुए और 29 अप्रैल 2013 को सिएटल में सत्तासी वर्ष की आयु में उनका निधन हो गया।

प्रमेय सेट-वैल्यूड विश्लेषण पर हर स्नातक पाठ में है। माइकल लाइन हर टोपोलॉजी पाठ्यक्रम में है जो उत्पादों पर चर्चा करता है। दोनों को अधिकांश समय पढ़ाया जाता है, बिना किसी के यह उल्लेख किए कि उनके लेखक एक यहूदी लड़के थे जिन्होंने 1932 में बर्लिन छोड़ दिया, आक्रमण से पहले एक महासागर को पार किया, प्रशांत क्षेत्र में सेवा की, और फिर सिएटल में एक कमरे में इकतालीस साल तक बैठे रहे और ठीक से काम किया कि कब अच्छी तरह से चुनना संभव है।