एंड्रे ज़ेमेरेदी: हर अराजकता में एक व्यवस्था होती है

मेडिकल स्कूल में छह महीने बिताने के बाद, एंड्रे ज़ेमेरेदी (Endre Szemerédi) ने फैसला किया कि वह स्कैलपेल (सर्जरी के चाकू) को संभालने के लिए खुद पर भरोसा नहीं कर सकते - उन्होंने बाद में कहा कि उन्हें संदेह था कि वह "इतनी जिम्मेदारी वाला काम कर पाएंगे" - और उन्होंने पढ़ाई छोड़ दी। वह कुछ समय तक भटकते रहे, फिर गणित पढ़ने के लिए नामांकन कराया, और एक लिपिकीय गलती के कारण उन्हें एक ऐसे डॉक्टरेट सलाहकार के पास भेजा गया जिसे उन्होंने कभी नहीं मांगा था। उस गलत फाइलिंग ने उन्हें इस्त्राइल गेलफैंड (Israel Gelfand) के अधीन मास्को पहुँचा दिया, जो 20वीं सदी के महान गणितज्ञों में से एक थे, बजाय अलेक्जेंडर गेलफोंड (Alexander Gelfond) के, जिन्हें ज़ेमेरेदी वास्तव में चाहते थे। यह इस क्षेत्र की बेहतर दुर्घटनाओं में से एक है।

गलती से बुडापेस्ट से मास्को तक

ज़ेमेरेदी का जन्म 21 अगस्त, 1940 को बुडापेस्ट में हुआ था। चिकित्सा के अपने संक्षिप्त और छोड़े गए प्रयास के बाद, उन्होंने बुडापेस्ट के ईट्वोस लोरैंड विश्वविद्यालय (Eötvös Loránd University) से स्नातक की डिग्री प्राप्त की और फिर मास्को स्टेट यूनिवर्सिटी से मास्टर और डॉक्टरेट की पढ़ाई पूरी की। वहाँ, गेलफैंड के अधीन - वह लिपिकीय त्रुटि जिसने उन्हें गलत पर्यवेक्षक के पास भेजा - उन्होंने असतत गणित में उस करियर की शुरुआत की जिसने अंततः उन्हें संयोजन विज्ञान के लिए दुर्लभ मान्यता दिलाई, जो फील्ड्स मेडल के बराबर है: एबेल पुरस्कार (Abel Prize)।

वह प्रमेय जो उनका नाम रखती है

ज़ेमेरेदी की निर्णायक उपलब्धि, जिसकी घोषणा 1975 में हुई थी, ने उस अनुमान को हल किया जिसे पॉल एर्डोस (Paul Erdős) और पाल तुरान (Pál Turán) ने दशकों पहले रखा था और जिसने हर हमले का विरोध किया था: यह कि सकारात्मक ऊपरी घनत्व वाले प्राकृतिक संख्याओं के किसी भी सेट में - मोटे तौर पर, कोई भी सेट जो पूरी संख्या रेखा के सापेक्ष समाप्त नहीं होता है - को हर लंबाई की अंकगणितीय प्रगति शामिल करनी चाहिए, चाहे वह कितनी भी लंबी क्यों न हो। यह छिपी हुई व्यवस्था के बारे में एक बयान है: पूर्णांकों का एक पर्याप्त पर्याप्त सेट चाहे कितना भी अनियमित या विरल क्यों न दिखे, उसमें पैटर्न वाली अनुक्रम अनिवार्य रूप से दबे हुए हैं। एबेल पुरस्कार समिति ने बाद में उनके काम की भावना को एक वाक्यांश में संक्षेप में प्रस्तुत किया: "हर अराजकता में एक व्यवस्था होती है।"

नियमितता लेम्मा

उस प्रमेय के प्रमाण ने प्रमेय से भी अधिक परिणामी कुछ पैदा किया। इस प्रक्रिया में, ज़ेमेरेदी ने वह पेश किया जिसे अब ज़ेमेरेदी नियमितता लेम्मा (Szemerédi regularity lemma) कहा जाता है, जो एक संरचनात्मक परिणाम है जो दिखाता है कि प्रत्येक पर्याप्त रूप से बड़े ग्राफ को सीमित संख्या में टुकड़ों में विभाजित किया जा सकता है जो एक सटीक सांख्यिकीय अर्थ में, एक-दूसरे के संबंध में लगभग यादृच्छिक रूप से व्यवहार करते हैं। यह एक तकनीकी लेम्मा जैसा लगता है; यह आधुनिक संयोजन विज्ञान के केंद्रीय उपकरणों में से एक बन गया, जो संपत्ति परीक्षण, ग्राफ सीमा सिद्धांत, और दशकों में विकसित चरम ग्राफ सिद्धांत के एक बड़े हिस्से को आधार प्रदान करता है। टिमोथी गोवर्स (Timothy Gowers) और लास्ज़लो लोवाज़ (László Lovász) सहित फील्ड्स मेडल विजेताओं ने इसके परिणामों का पता लगाने के लिए पूरे व्याख्यान समर्पित किए हैं - एक प्रमाण का उपोत्पाद अपने मूल प्रमेय की तुलना में प्रभाव में बढ़ गया है।

नामित परिणामों का एक निकाय

ज़ेमेरेदी के करियर ने परिणामों का एक असामान्य रूप से बड़ा समूह तैयार किया जो अब सहयोगियों के साथ उनका नाम लेकर चलते हैं: घटना ज्यामिति में ज़ेमेरेदी-ट्रोटर प्रमेय (Szemerédi–Trotter theorem), जो सीमा निर्धारित करता है कि विमान में बिंदु और रेखाएं एक-दूसरे से कितनी बार मिल सकते हैं; ग्राफ कलरिंग में हजमल-ज़ेमेरेदी प्रमेय (Hajnal–Szemerédi theorem); परिमित सेटों में योग और उत्पादों पर एर्डोस-ज़ेमेरेदी प्रमेय (Erdős–Szemerédi theorem), जो अंकगणितीय संयोजन विज्ञान के क्षेत्र में एक आधारभूत परिणाम है; और मिक्लोस अज्ताई (Miklós Ajtai) के साथ, कॉर्नर प्रमेय (corners theorem)। अज्ताई और जानोस कोमलोस (János Komlós) के साथ उन्होंने रामसे संख्याओं (Ramsey numbers) पर प्रभावशाली सीमाएं स्थापित कीं और इष्टतम-गहराई वाले सॉर्टिंग नेटवर्क बनाए - शुद्ध गणित से सैद्धांतिक कंप्यूटर विज्ञान में एक दुर्लभ भ्रमण जिसने कंप्यूटर विज्ञान विभाग में उनके अंतिम शैक्षणिक घर को सही ठहराने में मदद की। अज्ताई, वक्लाव च्वताल (Václav Chvátal), और मुनरो न्यूबॉर्न (Monroe Newborn) के साथ उन्होंने क्रॉसिंग नंबर असमानता (crossing number inequality) को भी साबित किया, जो ग्राफ ड्राइंग में एक आधारभूत सीमा है। दो सौ से अधिक प्रकाशित पत्रों में, मुख्य विचार सुसंगत है: सतह पर अव्यवस्थित दिखने वाली वस्तुओं - पूर्णांकों के सेट, ग्राफ, बिंदु विन्यास - के अंदर कठोर, अपरिहार्य संरचना को ढूंढना।

हंगेरियन नींव पर निर्मित एक अमेरिकी करियर

ज़ेमेरेदी 1986 में कंप्यूटर विज्ञान के न्यू जर्सी स्टेट प्रोफेसर के रूप में रटगर्स विश्वविद्यालय (Rutgers University) में शामिल हुए, एक ऐसा पद जो वह अभी भी एमेरिटस के रूप में रखते हैं, जबकि बुडापेस्ट में अल्फ्रेड रेनी इंस्टीट्यूट ऑफ मैथमेटिक्स (Alfréd Rényi Institute of Mathematics) के साथ स्थायी रूप से संबद्ध हैं, जो 20वीं सदी के मध्य से हंगेरियन गणित का संस्थागत घर है। बीच में उन्होंने स्टैनफोर्ड, मैकगिल, साउथ कैरोलिना विश्वविद्यालय और शिकागो विश्वविद्यालय में अतिथि पद संभाले, साथ ही प्रिंसटन में इंस्टीट्यूट फॉर एडवांस्ड स्टडी (Institute for Advanced Study) की सदस्यता भी संभाली - एक ऐसा करियर जो शीत युद्ध के दौरान हंगरी और सोवियत क्षेत्र से अमेरिकी शोध विश्वविद्यालयों में गणितीय प्रवासन तक फैला हुआ है।

मान्यता

पांच दशकों में सम्मान जमा हुए: 1973 में अल्फ्रेड रेनी पुरस्कार और 1975 में जॉर्ज पोल्या पुरस्कार (George Pólya Prize), उनके प्रमेय के आने के ठीक बाद के वर्षों में; 2008 में लेरॉय पी. स्टील पुरस्कार (Leroy P. Steele Prize) और गणित में रॉल्फ शॉक पुरस्कार (Rolf Schock Prize); 2010 में संयुक्त राज्य अमेरिका की नेशनल एकेडमी ऑफ साइंसेज के लिए चुनाव; और, 2012 में, एबेल पुरस्कार, "असतत गणित और सैद्धांतिक कंप्यूटर विज्ञान में उनके मौलिक योगदान के लिए, और योगात्मक संख्या सिद्धांत और एर्गोडिक सिद्धांत पर इन योगदानों के गहरे और स्थायी प्रभाव को मान्यता देने के लिए" सम्मानित किया गया - एक प्रशस्ति पत्र जो स्पष्ट रूप से उनके काम को संकीर्ण रूप से परिभाषित संयोजन विज्ञान से परे क्षेत्रों को नया रूप देने का श्रेय देता है। हंगरी ने उन्हें 2020 में ऑर्डर ऑफ सेंट स्टीफन (Order of Saint Stephen) का प्राप्तकर्ता बनाया।

एंड्रे को जीनियस क्यों कहा जाता है

ज़ेमेरेदी की प्रतिभा का मामला उतना ही साफ है जितना गणित प्रदान करता है: एक एकल प्रमेय का एक एकल प्रमाण, जिसने एक उपकरण - नियमितता लेम्मा - तैयार किया, जिसका एक पूरे अनुशासन पर प्रभाव उस प्रमेय से अधिक है जिसे इसे साबित करने के लिए बनाया गया था। उस तरह का द्वितीय-क्रम का प्रभाव, जहां विधि अपने मूल उद्देश्य से बाहर निकलती है और उससे आगे बढ़ती है, क्षेत्र के सबसे स्पष्ट संकेतों में से एक है कि एक दिमाग सबसे गहरे संरचनात्मक स्तर पर काम कर रहा है, न कि केवल अपने सामने की समस्या को हल कर रहा है। एबेल पुरस्कार समिति की अपनी भाषा - अराजकता के अंदर व्यवस्था का पता लगाना - अतिशयोक्ति नहीं है; यह एक उचित पैराफ्रेज है कि नियमितता लेम्मा वास्तव में क्या करता है, और यह तथ्य कि गोवर्स और लोवाज़, जो खुद अनुशासन के सबसे सजावटी आंकड़ों में से हैं, ने अन्य गणितज्ञों को इसके परिणामों को समझाने के लिए प्रमुख व्याख्यान बनाए, साथी प्रशंसा का एक रूप है जिसे बनाना या फुलाना मुश्किल है।

यदि कोई चेतावनी है, तो वह अतिशयोक्ति के बजाय संकीर्णता की है: ज़ेमेरेदी की प्रसिद्धि भारी रूप से असतत गणित और संयोजन विज्ञान के परिणामों पर टिकी है, ऐसे क्षेत्र जिन्हें 20वीं सदी के अधिकांश समय के लिए गणितीय प्रतिष्ठान के कुछ हिस्सों द्वारा विश्लेषण, ज्यामिति या संख्या सिद्धांत के शास्त्रीय रूपों की तुलना में कम प्रतिष्ठित माना जाता था - एक संयोजनवादी को एबेल पुरस्कार को उस समय एक निहित तर्क के रूप में पढ़ा गया था कि यह क्षेत्र उस मान्यता का हकदार था जो इसे प्राप्त करने में धीमी थी। यह काम को कम नहीं करता है; इसका मतलब है कि यहाँ "जीनियस" लेबल भौतिकविदों या गणितज्ञों से जुड़ी सार्वभौमिक प्रसिद्धि के बजाय संरचनात्मक अंतर्दृष्टि के एक विशिष्ट, तकनीकी रूप को ट्रैक करता है, जिनके परिणाम उनके क्षेत्र के बाहर भी प्रसिद्ध हैं।

विरासत

नियमितता लेम्मा को अब दुनिया भर में स्नातक संयोजन विज्ञान पाठ्यक्रमों में मानक सामग्री के रूप में पढ़ाया जाता है और यह नए शोध का एक सक्रिय इंजन बना हुआ है, जिसमें ऐसे क्षेत्र शामिल हैं - सैद्धांतिक कंप्यूटर विज्ञान, योगात्मक संयोजन विज्ञान, ग्राफ सीमा सिद्धांत - जो 1975 में ज़ेमेरेदी द्वारा पहली बार लिखे जाने पर शायद ही मौजूद थे। अपने अस्सी के दशक के मध्य में एक एमेरिटस विद्वान के रूप में अभी भी सक्रिय, वह आधुनिक गणित में एकल प्रमाण की विधि के उस प्रमेय की तुलना में अधिक परिणामी बनने के सबसे स्पष्ट मामलों में से एक है जिसे स्थापित करने के लिए इसे डिज़ाइन किया गया था।