यदि हम एक समीकरण पर पहुँचते हैं जिसमें प्रत्येक पक्ष पर समान पद हो किंतु विभिन्न गुणांक हों, तो हमें बराबर को बराबर से घटाना चाहिए जब तक कि हम एक पद को दूसरे पद के बराबर न पा लें। लेकिन, यदि एक या दोनों पक्षों पर नकारात्मक पद हों, तो कमियों को दोनों पक्षों पर जोड़ा जाना चाहिए जब तक कि दोनों पक्षों के सभी पद सकारात्मक न हो जाएं। तब हमें बराबर को बराबर से घटाना चाहिए जब तक कि प्रत्येक पक्ष पर एक ही पद रह जाए।
Alexandria के Diophantus एक Alexandrian गणितज्ञ थे, जो Arithmetica नामक पुस्तकों की एक श्रृंखला के लेखक थे, जिनमें से कई अब खो गई हैं। उनके ग्रंथ बीजगणितीय समीकरणों को हल करने से संबंधित हैं। Claude Gaspard Bachet de Méziriac के Diophantus के Arithmetica संस्करण को पढ़ते समय, Pierre de Fermat ने निष्कर्ष निकाला कि Diophantus द्वारा विचार किए गए एक निश्चित समीकरण का कोई समाधान नहीं था, और बिना विस्तार के मार्जिन में नोट किया कि उन्हें इस प्रस्ताव का "एक सच में अद्भुत प्रमाण" मिला है, जिसे अब Fermat's Last Theorem कहा जाता है। इससे संख्या सिद्धांत में अपार प्रगति हुई, और Diophantine समीकरणों का अध्ययन "Diophantine ज्यामिति" और Diophantine सन्निकटन गणितीय अनुसंधान के महत्वपूर्ण क्षेत्र बने रहते हैं। Diophantus ने παρισότης parisotes शब्द का प्रयोग अनुमानित समानता को संदर्भित करने के लिए किया। इस शब्द को लैटिन में adaequalitas के रूप में प्रदान किया गया, और Pierre de Fermat द्वारा विकसित adequality की तकनीक बन गई ताकि कार्यों के लिए अधिकतम और वक्रों के स्पर्शरेखाएं खोजी जा सकें। Diophantus पहले ग्रीक गणितज्ञ थे जिन्होंने भिन्नों को संख्याओं के रूप में मान्यता दी; इस प्रकार उन्होंने गुणांक और समाधान के लिए सकारात्मक परिमेय संख्याओं की अनुमति दी। आधुनिक उपयोग में, Diophantine समीकरण आमतौर पर पूर्णांक गुणांक वाले बीजगणितीय समीकरण हैं, जिनके लिए पूर्णांक समाधान की तलाश की जाती है।
जीवनी
Diophantus के जीवन के बारे में बहुत कम जानकारी है। वह Alexandria, Egypt में रहते थे, रोमन युग के दौरान, संभवतः AD 200 और 214 से लेकर 284 या 298 तक। Diophantus को इतिहासकारों द्वारा विभिन्न रूप से ग्रीक, या संभवतः Hellenized Egyptian, या Hellenized Babylonian के रूप में वर्णित किया गया है। इनमें से कई पहचान 4th-century वक्ता Diophantus the Arab के साथ भ्रम से उत्पन्न हो सकती हैं। Diophantus के जीवन के बारे में हमारा अधिकांश ज्ञान Metrodorus द्वारा बनाई गई 5th-century ग्रीक संख्या खेल और पहेलियों की एक संकलन से प्राप्त है। कभी-कभी उसके epitaph कहे जाने वाली समस्याओं में से एक कहती है:
'यहाँ Diophantus लेटा है,' आश्चर्य को देखो।
कला बीजगणित के माध्यम से, पत्थर कहता है कि वह कितना पुराना था:
'भगवान ने उसे अपना बचपन उसके जीवन का एक-छठा हिस्सा दिया,
एक-बारहवाँ और अधिक जवानी के रूप में जबकि सफेद दाढ़ी बढ़ी;
और फिर विवाह की शुरुआत से पहले एक-सातवाँ;
पाँच साल में एक उछलता हुआ नया बेटा आया।
अरे, मास्टर और ऋषि के प्रिय बच्चे
अपने पिता के जीवन के आधे को प्राप्त करने के बाद भाग्य ने उसे ले लिया। संख्याओं की विज्ञान द्वारा अपने भाग्य को सांत्वना देने के लिए चार साल के बाद, वह अपना जीवन समाप्त कर गया।'
यह पहेली दर्शाती है कि Diophantus की उम्र x को इस प्रकार व्यक्त किया जा सकता है
x = x/6 + x/12 + x/7 + 5 + x/2 + 4
जो x को 84 वर्ष का मान देता है। हालांकि, सूचना की सटीकता को स्वतंत्र रूप से सत्यापित नहीं किया जा सकता।
लोकप्रिय संस्कृति में, यह पहेली Professor Layton and Pandora's Box में पहेली संख्या 142 थी क्योंकि यह खेल में सबसे कठिन समाधान की गई पहेलियों में से एक थी, जिसे पहले अन्य पहेलियों को हल करके अनलॉक करने की आवश्यकता थी।
Arithmetica
Arithmetica Diophantus का प्रमुख कार्य है और ग्रीक गणित में बीजगणित पर सबसे प्रमुख कार्य है। यह समस्याओं का एक संग्रह है जो निश्चित और अनिश्चित समीकरणों के संख्यात्मक समाधान देता है। मूल तेरह पुस्तकों में से जिनसे Arithmetica बना था, केवल छह जीवित रहे हैं, हालांकि कुछ ऐसे हैं जो मानते हैं कि 1968 में खोजी गई चार अरबी पुस्तकें भी Diophantus द्वारा हैं। Arithmetica की कुछ Diophantine समस्याएं अरबी स्रोतों में पाई गई हैं।
यहां यह उल्लेख किया जाना चाहिए कि Diophantus ने अपने समाधान में कभी सामान्य तरीकों का उपयोग नहीं किया। Hermann Hankel, प्रसिद्ध जर्मन गणितज्ञ ने Diophantus के संबंध में निम्नलिखित टिप्पणी की।
"हमारे लेखक Diophantos में सामान्य, व्यापक तरीके का कोई सूक्ष्म निशान दिखाई नहीं देता; प्रत्येक समस्या कुछ विशेष तरीके की मांग करती है जो सबसे करीबी से संबंधित समस्याओं के लिए भी काम नहीं करता। इसी कारण से आधुनिक विद्वान के लिए 100 Diophantos के समाधानों का अध्ययन करने के बाद भी 101 समस्या को हल करना मुश्किल है"।
इतिहास
कई अन्य ग्रीक गणितीय ग्रंथों की तरह, Diophantus को तथाकथित Dark Ages के दौरान पश्चिमी यूरोप में भुला दिया गया था, क्योंकि प्राचीन ग्रीक का अध्ययन, और सामान्य रूप से साक्षरता में बहुत गिरावट आई थी। ग्रीक Arithmetica का हिस्सा जो जीवित रहा, हालांकि, सभी प्राचीन ग्रीक ग्रंथों की तरह जो प्रारंभिक आधुनिक दुनिया को प्रेषित किए गए थे, मध्ययुगीन Byzantine विद्वानों द्वारा प्रतिलिपि बनाई गई थी और इसलिए उन्हें पता था। Byzantine ग्रीक विद्वान John Chortasmenos 1370–1437 द्वारा Diophantus पर Scholia पहले के ग्रीक विद्वान Maximos Planudes 1260–1305 द्वारा लिखी गई एक व्यापक टिप्पणी के साथ संरक्षित हैं, जिन्होंने Byzantine Constantinople में Chora Monastery के पुस्तकालय के भीतर Diophantus का एक संस्करण तैयार किया। इसके अलावा, Arithmetica का कुछ हिस्सा संभवतः अरब परंपरा में जीवित रहा ऊपर देखें। 1463 में जर्मन गणितज्ञ Regiomontanus ने लिखा:
अभी तक किसी ने Diophantus की तेरह पुस्तकों को ग्रीक से लैटिन में अनुवाद नहीं किया है, जिनमें पूरे अंकगणित का बहुत फूल छिपा हुआ है . . . .
Arithmetica को पहले 1570 में Bombelli द्वारा ग्रीक से लैटिन में अनुवादित किया गया था, लेकिन अनुवाद कभी प्रकाशित नहीं हुआ। हालांकि, Bombelli ने अपनी खुद की पुस्तक Algebra के लिए कई समस्याओं को उधार लिया। Arithmetica की editio princeps 1575 में Xylander द्वारा प्रकाशित की गई थी। Arithmetica का सबसे प्रसिद्ध लैटिन अनुवाद 1621 में Bachet द्वारा किया गया था और पहला लैटिन संस्करण बन गया जो व्यापक रूप से उपलब्ध था। Pierre de Fermat के पास एक प्रति थी, उसने इसका अध्ययन किया, और मार्जिन में नोट्स बनाए।
Fermat और Chortasmenos द्वारा मार्जिन-लेखन
Bachet के 1621 संस्करण के Arithmetica ने Pierre de Fermat ने अपने प्रसिद्ध "Last Theorem" को अपनी प्रति के मार्जिन में लिखने के बाद प्रसिद्धि हासिल की:
यदि एक पूर्णांक n 2 से अधिक है, तो an + bn = cn के पास गैर-शून्य पूर्णांक a, b, और c में कोई समाधान नहीं है। मेरे पास इस प्रस्ताव का एक सच में अद्भुत प्रमाण है जिसे यह मार्जिन धारण करने के लिए बहुत संकीर्ण है।
Fermat का प्रमाण कभी नहीं मिला, और प्रमेय के लिए एक प्रमाण खोजने की समस्या सदियों तक अनसुलझी रही। 1994 में Andrew Wiles द्वारा सात साल तक इस पर काम करने के बाद अंत में एक प्रमाण मिल गया। यह माना जाता है कि Fermat के पास वास्तव में वह प्रमाण नहीं था जिसका वह दावा करते थे। हालांकि Fermat ने जिस मूल प्रति में यह लिखा था वह आज खो गई है, Fermat के बेटे ने Diophantus के अगले संस्करण को संपादित किया, जो 1670 में प्रकाशित हुआ। हालांकि पाठ अन्यथा 1621 संस्करण की तुलना में निम्न है, Fermat की टिप्पणियां—"Last Theorem" सहित—इस संस्करण में मुद्रित की गईं।
Fermat पहले गणितज्ञ नहीं थे जो इतने हिलाए गए कि वह Diophantus के लिए अपनी मार्जिन नोट्स में लिखें; Byzantine विद्वान John Chortasmenos 1370–1437 ने "तुम्हारी आत्मा, Diophantus, Satan के पास जाए तुम्हारी अन्य प्रमेय की कठिनाई के कारण और विशेष रूप से वर्तमान प्रमेय की" समान समस्या के बगल में लिखा था।
अन्य कार्य
Diophantus ने Arithmetica के अलावा कई अन्य पुस्तकें लिखीं, लेकिन उनमें से बहुत कम जीवित रहीं।
The Porisms
Diophantus स्वयं एक कार्य को संदर्भित करता है जिसमें The Porisms या Porismata नामक lemmas का एक संग्रह है, लेकिन यह पुस्तक पूरी तरह खो गई है।
हालांकि The Porisms खो गया है, हम तीन lemmas को जानते हैं जो वहां निहित हैं, क्योंकि Diophantus Arithmetica में उनका संदर्भ देता है। एक lemma कहता है कि दो परिमेय संख्याओं के घनों का अंतर दो अन्य परिमेय संख्याओं के घनों के योग के बराबर है, अर्थात किसी भी a और b को देखते हुए, a > b के साथ, ऐसे c और d मौजूद हैं, सभी सकारात्मक और परिमेय हैं, जैसे कि
a3 − b3 = c3 + d3।
बहुभुज संख्याएं और ज्यामितीय तत्व
Diophantus को बहुभुज संख्याओं पर लिखने के लिए भी जाना जाता है, एक ऐसा विषय जो Pythagoras और Pythagoreans के लिए बहुत हित का था। बहुभुज संख्याओं से संबंधित एक पुस्तक के टुकड़े मौजूद हैं।
Preliminaries to the Geometric Elements नामक एक पुस्तक को परंपरागत रूप से Hero of Alexandria को जिम्मेदार ठहराया गया है। इसका हाल ही में Wilbur Knorr द्वारा अध्ययन किया गया है, जिन्होंने सुझाव दिया कि Hero को जिम्मेदार ठहराना गलत है, और सच्चा लेखक Diophantus है।
प्रभाव
Diophantus के कार्य का इतिहास में बड़ा प्रभाव पड़ा है। Arithmetica के संस्करणों ने देर से सोलहवीं सदी और 17वीं और 18वीं सदियों में यूरोप में बीजगणित के विकास पर गहरा प्रभाव डाला। Diophantus और उनके कार्यों ने अरब गणित को भी प्रभावित किया और अरब गणितज्ञों के बीच बहुत प्रसिद्ध थे। Diophantus के कार्य ने बीजगणित पर काम के लिए एक आधार बनाया और वास्तव में उन्नत गणित का अधिकांश हिस्सा बीजगणित पर आधारित है। उसने भारत को कितना प्रभावित किया यह एक विवाद का विषय है।
Diophantus को अक्सर "बीजगणित के पिता" कहा जाता है क्योंकि उन्होंने संख्या सिद्धांत, गणितीय संकेतन में बहुत योगदान दिया, और क्योंकि Arithmetica में syncopated संकेतन का सबसे पहला ज्ञात उपयोग है।
Diophantine विश्लेषण
आज, Diophantine विश्लेषण अध्ययन का वह क्षेत्र है जहां समीकरणों के लिए पूर्णांक पूर्ण-संख्या समाधान की मांग की जाती है, और Diophantine समीकरण
