נועם אלקีס: המתמטיקאי שהפריך השערה בת 200 שנה בגיל 21
בשנת 1988, דוקטורנט בן 21 מצא דוגמה נגדית להשערה שלאונרד אוילר העלה בשנת 1769 וששרדה שני מאות של בחינה מדוקדקת מצד כמה מגדולי המתמטיקאים בהיסטוריה. נועם אלקีס לא הסתפק בהפרכת השערת סכומי החזקות של אוילר עבור חזקות רביעיות; הוא עשה זאת כפרויקט צדדי, בעיצומה של קריירה שעתידה להפוך אותו במהרה לפרופסור המנוי הצעיר ביותר בהרווארד, לפתרון ברמת רב-אמן בשחמט, ולפי עדותו של מנהל המקהלה שלו, למוזיקאי הדומה לבאך.
ילד השולט בשלוש שפות של גאונות
אלקีס נולד בניו יורק ב-25 באוגוסט 1966, לאב מהנדס ואם מורה לפפסנתר, ובילה שמונה שנים מעצבות בחייו בישראל בטרם חזרה המשפחה לניו יורק. הוא החל להלחין מוזיקה בגיל שש ולאחר מכן התאמן בתוכנית קדם-הקולג' של ג'וליארד במהלך שנות נעוריו, כשהוא מתפתח במקביל כפסנתרן וכבריטון-בס, אפילו כאשר כישרונותיו המתמטיים הפכו לבלתי ניתנים להתעלמות. בגיל ארבע עשרה התחרה באולימפיאדה הבינלאומית למתמטיקה בשנת 1981 וזכה במדליית זהב עם ציון מושלם של 42, ובגיל שש עשרה וארבעה חודשים הפך לעמית פוטנאם (Putnam Fellow) – אחד המובילים בציון בתחרות המתמטיקה של פוטנאם הידועה לשמצה בקושי שלה – הישג עליו חזר בהמשך, והפך לעמית פוטנאם שלוש פעמים בסך הכל. הוא סיים את לימודיו בתיכון סטייבסנט ב-1982 בגיל חמש עשרה, וב-1982 הציג גם פרויקט בתחרות הכישרונות המדעיים שכותרתו "חסם תחתון משופר על האיבר הגדול ביותר של קבוצת סכום-נבדל מסדר קבוע", סימן מוקדם לאינסטינקטים התורת-מספריים שיגדירו את הקריירה שלו.
קולומביה, הרווארד והשערה בת מאתים שנה
אלקีס קיבל את תואר הבצ'לור שלו מאוניברסיטת קולומביה ב-1985 כבוגר מצטיין (valedictorian), ואז עבר להרווארד לצורך לימודי הדוקטורט שלו, שהושלמו ב-1987 תחת הנחייתם של בנדיקט גרוס ובארי מזור, שניהם דמויות מובילות בתורת המספרים המודרנית. באותה שנה, הוא הוכיח שעקומים אליפטיים מעל המספרים הרציונליים הם סופר-סינגולריים במספר אינסופי של ראשונים, תוצאה משמעותית בגאומטריה אריתמטית. אולם הגילוי שלו מ-1988 הוא שהגיע לכותרות הרבה מעבר למחלקות למתמטיקה: הוא מצא דוגמה נגדית שהפריכה את השערת סכומי החזקות של אוילר עבור חזקות רביעיות, טענה שעמדה ללא עוררין מאז 1769. הממצא הוכיח שמשוואה מסוימת הכוללת ארבע חזקות רביעיות המתחברות לחזקה רביעית ניתנת לפתרון, דבר שהשערת אוילר רמזה שהוא בלתי אפשרי – וכך הפכה, בדוגמה מפורשת אחת, מאתיים שנה של קונצנזוס מתמטי.
Twenty questions, eight minutes on the clock, and a percentile measured against everyone who has taken it. No sign-up.
Take the IQ test →פרופסור מן המניין הצעיר ביותר בהיסטוריה של הרווארד
אלקีס הצטרף לחברת העמיתים של הרווארד כעמית זוטר בשנים 1987 עד 1990, וב-1993, בגיל עשרים ושש, הוענק לו תקן קבוע (tenure), מה שהפך אותו לפרופסור המלא הצעיר ביותר בהיסטוריה של אוניברסיטת הרווארד. הוא נותר בסגל המתמטיקה של הרווארד מאז, כשהוא ממשיך לייצר תוצאות בתורת המספרים ובגאומטריה אריתמטית, כולל פיתוח משותף של אלגוריתם סחוף-אלקีס-אטקין (Schoof–Elkies–Atkin) עם א. ו. ל. אטקין, שיטה הנמצאת בשימוש נרחב לספירת נקודות על עקומים אליפטיים המהווה בסיס לחלקים מהקריפטוגרפיה המודרנית. הוא המשיך לקבוע שיאים בתחום העקומים האליפטיים במשך עשורים: הוא גילה עקומים בעלי דרגה גבוהה במיוחד, כולל אחד בדרגה לפחות 28, ובאוגוסט 2024, בעבודה משותפת עם זאב קלגסברון, עקומה בדרגה לפחות 29 – ובכך הרחיב חוט מחקרי שפתח כמתמטיקאי צעיר לאורך קרוב לארבעה עשורים. ב-1994 היה דובר מוזמן בקונגרס הבינלאומי של המתמטיקאים בציריך, אחד הכבודים הסלקטיביים ביותר בתחום, והוא נבחר לאקדמיה הלאומית למדעים ב-2017.
קריירה שנייה על לוח השחמט
כשרונו המתמטי של אלקีס מצא מוצא שני יוצא דופן בשחמט, אם כי לא בעיקר כשחקן טורנירים. הוא מחזיק בתואר אמן לאומי מטעם פדרציית השחמט של ארצות הברית, אך פרסומו העמוק יותר בעולם השחמט מגיע מבעיות קומפוזיציה ופתרון: הוא זכה באליפות העולם בפתרון שחמט ב-1996, תחרות הבוחנת לא חוזק בטורנירים אלא את המיומנות הספציפית והמתמטית במיוחד של מציאת פתרונות כפויים למצבי שחמט מורכבים. אחת מבעיות השחמט שהלחין בעצמו הייתה משמעותית דיה כדי להיכלל במדריך סוף המשחק המוערך של מארק דבורצקי, ספר עזר תקני בקרב תלמידי שחמט רציניים.
המוזיקאי לצד המתמטיקאי
חייו המוזיקליים של אלקีס התנהלו במקביל למתמטיקה שלו ולא דלקו אחריה. הוא ליווה בעבר את מקהלת הרווארד (Harvard Glee Club) כפסנתרן, ומנהלה הציע השוואה שניתנת לע ندرת לבני אדם חיים כלשהם, כשהוא מתאר את אלקีס כמי שדומה "לבּאך או למוצרט" ומשבח את "מוזיקליות מחוננת, מיומנות מוזיקלית מעולה ויכולת קריאה ממבט ראשון". הוא גם מצלצל בפעמונים בבית לוואל (Lowell House) של הרווארד, מסורת קמפונולוגיה ישנה, והלחין מוזיקה לאורך כל חייו הבוגרים לצד תפוקתו המתמטית.
מדוע נועם מכונה גאון
המקרה של אלקีס עבור מילה זו נשען על חפיפה מרוכזת באופן יוצא דופן של הישגים שהם נדירים בנפרד וכמעט לעולם אינם נמצאים יחד: מדליית זהב באולימפיאדה למתמטיקה עם ציון מושלם בגיל ארבע עשרה, שלוש זכיות בעמיתות פוטנאם, דוגמה נגדית שהפריכה השערה בת 200 שנה בגיל עשרים ואחת, ותקן קבוע בהרווארד בגיל עשרים ושש, לצד רקורד תחרותי אמיתי בשחמט ויכולת מוזיקלית שמנהל המקהלה שלו השווה ללא בקשה לבאך ולמוצרט. שילוב זה אינו מיומנות טכנית צרה אחת המחופשת לגאונות רחבה – הוא משתרע על פני תובנה מתמטית טהורה, פתרון בעיות תחרותי תחת לחץ, ומלאכה מוזיקלית מאומנת, שכל אחד מהם מאומת באופן עצמאי על ידי אנשים בעלי המעמד לשפוט אותו: ועדת הקביעות של הרווארד, שופטי אליפות העולם בפתרון שחמט, ומנהל מקהלה מקצועי. המורכבות הכנה היא ש"גאונות" במחקר מתמטי אינה בדרך כלל הבזק בודד; התוצאות המרכזיות של אלקีס, כולל הדוגמה הנגדית לאוילר, צמחו מתוך אימונים מעמיקים תחת מנחים כמו גרוס ומזור ומתוך מסורת מחקר שנבנתה על ידי דורות של תורת המספרים לפניו, והישגי השחמט והמוזיקה שלו, הגם שהם עילית אמיתיים, נותרים קרובים לחובבנות בהשוואה למקצוענים במשרה מלאה בכל אחד מהתחומים. מה שאינו שנוי במחלוקת הוא הצפיפות הנדירה של מצוינות מאומתת באופן עצמאי across domains that typically demand a lifetime's specialization each.
מורשת
אלקีס נותר פרופסור פעיל בהרווארד עשורים לאחר שנקבעו שיאיו המוקדמים, ממשיך לייצר תוצאות חדשות בתורת העקומים האליפטיים אל תוך שנות ה-2020 וממשיך לאמן את הדור הבא של תורת המספרים. הדוגמה הנגדית שלו לאוילר נותרת קבועה בקורסים בתורת המספרים כלקח כיצד הישרדות ארוכה של השערה אינה ערובה לאמיתותה, ואלגוריתם סחוף-אלקีס-אטקין שלו ממשיך לעשות עבודה שקטה ולא זוהרת בתוך מערכות קריפטוגרפיות התלויות בעקומים אליפטיים – תובנה של מתמטיקאי מסמינר של דוקטורנטים המוטמעת כעת בתשתית שרוב המשתמשים בה לעולם לא ידעו על קיומה.