מקסים קונצביץ': המתמטיקאי שהפך את הפיזיקה למקצוע ריגורוזי
בשנת 1990 ישב חוקר סובייטי בן 25 ללא תואר אקדמי באולם הרצאות בבון והקשיב למייקל עטיה (Michael Atiyah) – "מתמטיקאי בריטי דגול שדיבר על דברים נפלאים", כפי שתיאר זאת לימים – מתאר השערה שערורייתית של אדוארד ויטן (Edward Witten) על הגיאומטריה של עקומות. בתוך ימים, במהלך שיט על נהר הריין, קונצביץ' כבר הסביר לעמיתיו כיצד הוא מתכוון להוכיח זאת. הוא הוזמן בחזרה לבון לשנה שלמה. שנתיים לאחר מכן, ההוכחה הייתה לתזה לדוקטורט שלו.
חימקי, קוריאנית ואולימפיאדה
הוא נולד ב-25 באוגוסט 1964 בחימקי, סמוך למוסקבה, למשפחה של חוקרים דקדקנים. אביו, לב רפאיולוביץ' קונצביץ', היה מומחה מוביל לקוריאנית במכון למדעי המזרח של האקדמיה הרוסית למדעים ומחבר שיטת קונצביץ', המהווה עד היום את התקן לתעתיק קוריאנית לכתב קירילי. אמו הוכשרה כמהנדסת; אחיו הבכור ליאוניד עסק במחקר הדמיה ממוחשבת בסן פרנסיסקו. קונצביץ' מייחס לאחיו, ול"כמה ספרים טובים מאוד", את הכיוון שלו לעבר המתמטיקה והפיזיקה.
הספרים עשו את שלהם בשלב מוקדם. בגיל שש-עשרה הוא הגיע למקום השני באולימפיאדה למתמטיקה הלאומית, מה שהקנה לו קבלה לאוניברסיטת מוסקבה ללא בחינות כניסה. הוא למד שם בין 1980 ל-1985 תחת סגל מרשים, ובראשם ישראל גלפנד (Israil Gelfand). הוא פרסם מאמרים כבר בגיל תשע-עשרה: "הצמיחה של אלגברת לי הנוצרת על ידי שני שדות וקטוריים גנריים" עם א' א' קירילוב ב-1983, ולאחר מכן "אלגברות בעלות צמיחה ביניים" עם קירילוב וא' א' מולב.
הסטודנט שעזב
בשנת 1985 הוא עזב את אוניברסיטת מוסקבה ללא תואר והצטרף למכון לבעיות העברת מידע באקדמיה למדעים, כשהוא מפרסם מחקרים על אלגברת ויראסורו (Virasoro algebra) ומבנים קשורים עד שנת 1988. ראוי להתעכב על כך: האיש שיזכה במדליית פילדס בילה את תחילת שנות העשרים לחייו כחוקר ללא תואר במכון סובייטי לתורת המידע. הוא ביקר לראשונה במכון ללימודים מתקדמים (IHES) ב-1988 ומעולם לא שכח זאת.
ארבע בעיות
התזה מבון, שהוגשה ב-1992 תחת הנחייתו של דון צאגייר (Don Zagier), נקראה "תורת החיתוך על מרחב המודולי של עקומות ופונקציית איירי המטריציונית". היא הוכיחה את השערת ויטן: שמספרי חיתוך של מחלקות יציבות על מרחבי מודולי קומפקטיים של עקומות אלגבריות מצייתים להיררכיה האינטגרבילית של קורטווג-דה פריז – טענה המקשרת בין הגיאומטריה של משטחי רימן למתמטיקה של גלי מים רדודים, טענה שלא היה לה שום היגיון שתהיה נכונה. המבקר קליפורד הנרי טאובס (Clifford Henry Taubes) ציין כי "רבים מהשלבים בהוכחה זו מדגימים את הכישרון הייחודי של קונצביץ' לחישובים קומבינטוריים".
Twenty questions, eight minutes on the clock, and a percentile measured against everyone who has taken it. No sign-up.
Take the IQ test →לאחר מכן הוא עשה זאת שלוש פעמים נוספות בתוך חמש שנים. מאמרו מ-1993 על אינווריאנטי הקשרים של וסילייב (Vassiliev's knot invariants) הציג את מה שכיום מכונה אינטגרל קונצביץ', אינווריאנט אוניברסלי של קשרים; המבקרת ג'ואן בירמן (Joan Birman) כתבה כי הוא "נקט מבט רענן ומקורי מאוד" על הנושא והפך תיאוריה מסובכת ל"נראית טבעית וברורה". הוא הוכיח שכל יריעת פואסון מאפשרת דפורמציה קוונטית פורמלית, סיפק נוסחאות מפורשות במקרה השטוח ופתר שאלה יסודית בפיזיקה מתמטית. עם יורי מאנין (Yuri Manin) הוא כתב את "מחלקות גרומוב-ויטן, קוהומולוגיה קוונטית וגיאומטריה אנומראטיבית" בשנת 1994, והציג את מרחב המודולי של מיפויים יציבים שאפשר ספירה ריגורוזית של עקומות – המנגנון שמאחורי משפטים על עקומות רציונליות בסיבוכים של קאלאבי-יאו שהתגלו כקריטיים לסימטריות מראה. הוא גם כתב את "גיאומטריה סימפלקטית פורמלית (לא) קומוטטיבית", ומאוחר יותר, עם אלכסיי בלוב-קאנל, הוכיח את השקילות של השערות דיקסמייר ויקוביאן.
סימטריית מראה כתיאוריה של קטגוריות
בקונגרס הבינלאומי של מתמטיקאים בציריך ב-1994 הוא הציע את הרעיון שנושא כיום את חותמו יותר מכל אחר: סימטריית מראה הומולוגית. תיאורטיקנים של תורת המיתרים הבחינו שיריעות קאלאבי-יאו מגיעות בזוגות מראה שהמבנים המרוכבים והסימפלקטיים שלהם נראים כמתחלפים. השערתו של קונצביץ' היא שמדובר בשקילות של קטגוריות – שהקטגוריה הנגזרת של אלומות קוהרנטיות על X, אובייקט של גיאומטריה אלגברית טהורה, שקולה לקטגוריית פוקאיה (Fukaya category) הנגזרת של מראה ה-Y שלה, אובייקט של גיאומטריה סימפלקטית טהורה. זה הפך מקריות שנצפתה על ידי פיזיקאים לטענה מבנית מדויקת, ומאז היא מארגנת חלקים נרחבים מהגיאומטריה.
בור-סור-איבט
הוא עבר דרך הרווארד, המכון ללימודים מתקדמים בפרינסטון, ראטגרס, ופרופסורה בברקלי באמצע שנות ה-90, ולאחר מכן סירב להתיישב באמריקה למרות שאחיו היה שם. הוא קיבל פרופסורה קבועה במכון ללימודים מתקדמים (IHES) בבור-סור-איבט, המוסד שהעריץ מאז 1988, ונשאר שם. הוא גם מחזיק בפרופסורה מכובדת באוניברסיטת מיאמי, קיבל אזרחות צרפתית ב-1999, ומחזיק בדרכונים רוסיים וצרפתיים כאחד.
הפרסים הצטברו: פרס אנרי פואנקרה ב-1997; מדליית פילדס בקונגרס ברלין ב-1998, שניתנה על עבודה בגיאומטריה אלגברית וטופולוגיה אלגברית; פרס דניאל יגולניצר; פרס קראפורד ב-2008, יחד עם אדוארד ויטן, "על תרומותיהם החשובות למתמטיקה בהשראת פיזיקה תיאורטית מודרנית"; פרס שו ב-2012; פרס פריצת הדרך בפיזיקה יסודית באותה שנה; פרס פריצת הדרך במתמטיקה ב-2015; חברות באקדמיה הצרפתית למדעים וחברות חוץ באקדמיה הלאומית למדעים של ארה"ב.
מדוע מקסים מכונה גאון
שתי יכולות מובחנות פועלות אצלו, והן נמצאות יחד לעיתים נדירות. הראשונה היא כוח חישוב גולמי מסוג מסוים מאוד – הביטוי של טאובס, "כישרון ייחודי לחישובים קומבינטוריים", הוא הערכה טכנית ולא מחמאה, והוא מתאר את המנגנון שאפשר להוכיח את השערת ויטן כאשר איש לא הצליח. השנייה היא אינסטינקט מבני למה שהפיזיקאים באמת אומרים. תיאורטיקני מיתרים הפיקו טענות מסנוורות ולא ריגורוזיות לאורך שנות ה-80 וה-90; ההרגל של קונצביץ' היה למצוא את האובייקט המתמטי שאותן טענות עוסקות בו בסתר, ואז לנסח אותו בצורה שמתמטיקאים יוכלו לעבוד איתה. סימטריית מראה הומולוגית היא הדוגמה הטהורה ביותר: מקריות פיזיקלית שהפכה לשקילות קטגורית. האבחנה של בירמן שהוא גורם לתיאוריה מסובכת "להיראות טבעית וברורה" מצביעה על אותה מיומנות מזווית אחרת.
לטיעון הנגדי ההגון יש שלושה חלקים. רוב חומר הגלם לא היה שלו – ויטן שיער, וסילייב הגדיר את האינווריאנטים, הפיזיקאים מצאו את סימטריית המראה; תפקידו של קונצביץ' היה להפוך את הדברים לריגורוזיים, דבר שאין לו תחליף אך הוא נגזר בבנייתו. שנית, הרעיון הבודד המפורסם ביותר שלו נותר השערה: סימטריית מראה הומולוגית לא הוכחה באופן כללי גם לאחר יותר משלושים שנה, והשערות הן דבר זול בהשוואה למשפטים. שלישית, "גאונות" הוא מטבע שמסתובב בחופשיות במתמטיקה, והעדויות הציבוריות הספציפיות לקונצביץ' נוטות לשבח טכניקה ומקוריות מאשר להזדקק למילה זו. הטענה שניתן להגן עליה היא מצומצמת יותר ועדיין יוצאת דופן: במשך כעשור הוא היה המתרגם האמין ביותר בין הפיזיקה התיאורטית למתמטיקה הריגורוזית ששני התחומים ידעו.
מורשת
תוכניות מחקר שלמות פועלות כיום על בסיס הגדרותיו – מיפויים יציבים, אינטגרל קונצביץ', דפורמציה קוונטית, ומסגור סימטריית המראה באמצעות קטגוריית פוקאיה. הוא נשאר במכון ללימודים מתקדמים (IHES), עדיין עובד, וההשערה שהעלה על בימת ציריך ב-1994 ממשיכה לייצר יותר מתמטיקה מרוב ההוכחות שהושלמו.