לב פונטריאגין: הטופולוג העיוור שעיצב את תורת הבקרה המודרנית
בגיל ארבע עשרה, תנור שהתפוצץ הותיר את לב פונטריאגין (Lev Pontryagin) ללא מאור עיניו. הוא המשיך לכתוב כמה מספרי הלימוד החשובים ביותר של המאה ה-20 בתחומי הטופולוגיה והאלגברה מבלי לראות עוד משוואה מודפסת, כשהוא מכתיב נוסחאות לאמו, שלא הוכשרה במתמטיקה בעצמה, אך למדה להקריא לו מאמרים מדעיים בגרמנית ולסמן את כתבי היד שלו באמצעות קוד מישושי פרטי. עשורים לאחר מכן, בשנות השישים לחייו, הוא נטש את התחומים היוקרתיים ביותר של המתמטיקה הטהורה כדי להמציא כלי – עקרון המקסימום – שינווט טילים, ידריך מודלים של תכנון כלכלי ויעניק לענף שלם של מתמטיקה שימושית את צורתו המודרנית.
פיצוץ תנור וההמצאה של אם
פונטריאגין נולד ב-3 בספטמבר 1908 במוסקבה לסמן אקימוביץ' פונטריאגין, פקיד מדינה, ולטיאנה אנדרייבנה פונטריאגינה, שתפרה בגדים כדי לעזור לפרנס את המשפחה על משכורתו הלא מספקת של בעלה. בגיל ארבע עשרה, פיצוץ הותיר אותו עיוור לצמיתות. במקום לסיים את השכלתו, אמו, טטיאנה, "נטלה על עצמה אחריות מלאה לטיפול בצרכי בנה בכל היבטי חייו", כדברי הביוגרפים שלו בארכיון ההיסטוריה של המתמטיקה של MacTutor. לא הייתה לה הכשרה במתמטיקה, אך היא הקריאה לו יצירות טכניות – כשהיא לומדת בעצמה שפות זרות, כולל גרמנית, כדי שתוכל לתרגם מאמרים שהיה זקוק להם – והיא כתבה נוסחאות בכתבי היד שלו תוך שימוש במערכת שהמציאה, כשהיא מתארת את סימן החיתוך כ"זנבות למטה" וסימן האיחוד כ"זנבות למעלה" כדי שיוכל לעקוב אחר סימון שלא יכול היה לראות. השותפות הזו נמשכה למעשה לאורך כל חייו המקצועיים ומתייחסים אליה היסטוריונים של המתמטיקה כאל בלתי נפרדת מהתוצר המדעי שלו.
אוניברסיטת מוסקבה והפנייה לטופולוגיה
פונטריאגין נכנס לאוניברסיטת מוסקבה בשנת 1925. מוריו זיהו את יכולתו במהירות, והוא נמשך לקורסי הטופולוגיה של פאבל אלכסנדרוב (Pavel Aleksandrov), ש"הקסם האישי שלו, תשומת הלב והעזרה שלו", כפי שמתועד ב-MacTutor, עיצבו את כיוון המחקר של פונטריאגין. הוא סיים את לימודיו ב-1929 והצטרף לפקולטה למכניקה ומתמטיקה של האוניברסיטה; עד 1932 הוא כבר הניב תוצאות מרכזיות במשפטי דואליות עבור חבורות הומולוגיה, תוך הרחבת עבודה מוקדמת של ג'יימס אלכסנדר (James Alexander) באמצעות המושג של מספרי שזירה בין קבוצות במרחב אוקלידי. ב-1934 הצטרף למכון סטקלוב למתמטיקה (Steklov Mathematical Institute), וב-1935 הפך לראש המחלקה לטופולוגיה ואנליזה פונקציונלית – תפקיד ממנו עיצב את המתמטיקה הסובייטית במשך עשורים.
Twenty questions, eight minutes on the clock, and a percentile measured against everyone who has taken it. No sign-up.
Take the IQ test →חבורות טופולוגיות והבעיה החמישית של הילברט
ספרו של פונטריאגין מ-1938, חבורות טופולוגיות (Topological Groups), הפך, בביטוי של MacTutor, ל"יצירה קלאסית ששמרה על חשיבותה במשך עשורים", והניח יסודות לאלגברה טופולוגית ובניית תורת דמויות לחבורות טופולוגיות קומוטטיביות. תיאוריה זו אפשרה לו להרחיב פתרון לחלק מהבעיה החמישית של הילברט – השאלה מתי חבורה טופולוגית היא למעשה חבורת לי (Lie group) – מהמקרה הקומפקטי, שנפתר על ידי ג'ון פון נוימן (John von Neumann) ב-1929, לחבורות אבליות, שפונטריאגין הכריע ב-1934. עבודתו המאוחרת על מחלקות אופייניות, פעולות קוהומולוגיה ויריעות ממוסגרות הזינה ישירות את תורת הקובורדיזם, והאינווריאנטים שנושאים כעת את שמו, מחלקות פונטריאגין (Pontryagin classes), הפכו לכלים סטנדרטיים בטופולוגיה דיפרנציאלית – אם כי נפל בחלקו של מתמטיקאי מאוחר יותר, סרגיי נוביקוב (Sergei Novikov), להוכיח את האינווריאנטיות הטופולוגית שלהם. פונטריאגין נבחר לחבר בהתכתבות של האקדמיה למדעים של ברית המועצות ב-1939 ולחבר מלא ב-1959, וב-1941 היה בין מקבלי פרס סטלין הראשונים.
הפנייה לתורת הבקרה
בסביבות 1952, כשהוא באמצע שנות הארבעים לחייו וכבר אחד הטופולוגים המובילים בעולם, הפנה פונטריאגין את מחקרו כמעט לחלוטין לכיוון תחום חדש: התורה המתמטית של בקרה אופטימלית. השינוי, מציינים מקורות אנציקלופדיים, נבע מחברותו רבת השנים עם הפיזיקאי א. א. אנדרונוב (A. A. Andronov), שעבודתו על תנודות ובקרה אוטומטית משכה את תשומת לבו של פונטריאגין לבעיות של ניווט מערכת – מסלול טיל, תהליך תעשייתי – לתוצאה רצויה תוך שימוש במינימום זמן, דלק או עלות. בעבודה עם קבוצת משתפי פעולה, ו. ג. בולטיאנסקי (V. G. Boltyanskii), ר. ו. גמקרלידזה (R. V. Gamkrelidze) ו-א. פ. מישצ'נקו (E. F. Mishchenko), הוא ניסח את מה שהפך לידוע כעקרון המקסימום של פונטריאגין: תנאי הכרחי, המתבטא באמצעות פונקציית עזר הנקראת המילטוניאן, שכל אסטרטגיית בקרה אופטימלית חייבת לקיים. העקרון, שפורסם בספר משנת 1961 התורה המתמטית של תהליכים אופטימליים (The Mathematical Theory of Optimal Processes), זכה בפרס לנין בשנת 1962 והפך – לצד התכנות הדינמי של ריצ'רד בלמן (Richard Bellman), שפותח באופן עצמאי בארצות הברית – לאחת משתי המסגרות המתמטיות המרכזיות של תורת הבקרה המודרנית, הנלמדת עדיין למהנדסים המתכננים הכל, החל מהנחיית חלליות ועד לתכנון תנועה רובוטית.
חיים מוסדיים ושנים מאוחרות
השפעתו של פונטריאגין התרחבה הרבה מעבר למאמרים שלו. הוא שימש כסגן נשיא האיגוד המתמטי הבינלאומי (International Mathematical Union) בין 1970 ל-1974, נאם בקונגרס הבינלאומי של המתמטיקאים כדובר מוזמן ב-1958 וב-1970, ערך את כתב העת Matematicheskii Sbornik בין 1975 ל-1987, ועמד בראש הוועדה הסובייטית לחינוך מתמטי מ-1982 ועד מותו. הוא מונה לחבר כבוד של החברה המתמטית של לונדון ב-1952. בשנות ה-80 הוא השאיל את יוקרתו לקמפיין ציבורי מוצלח נגד תוכנית ממשלתית סובייטית להטות נהרות צפוניים לעבר מרכז אסיה, בטענה שהתוכנית מאיימת בנזק אקולוגי ותרבותי. הוא גם כתב אוטוביוגרפיה, שלפי Encyclopedia.com, הוא עיצב במכוון על פי ספר הזיכרונות של פסל הרנסנס בנבנוטו צ'ליני (Benvenuto Cellini) – כשהוא מציג את חייו שלו, באופן שאינו משתמע לשני פנים, כסיפור של אמן השולט במלאכה נגד כל הסיכויים.
מדוע לב נקרא גאון
המקרה של פונטריאגין לגאונות נשען על הישג כפול ונדיר: הוא היה מתמטיקאי טהור מדרגה ראשונה ש, באמצע הקריירה שלו, הגדיר מחדש את עצמו כמייסד של תחום יישומי מרכזי, והצליח בשניהם ללא הכלי הרגיל של עבודה מתמטית – היכולת לראות ולתפעל סמלים על דף. משפטי הדואליות שלו, תורת החבורות הטופולוגיות שלו, ומחלקות פונטריאגין הם תוצאות יסודיות, המצוטטות במשך דורות בזכות עצמן; עקרון המקסימום, אליו הגיע באופן עצמאי ובערך במקביל לעבודתו האמריקאית של בלמן, נשפט על ידי תאורטיקני בקרה כאחד משני העמודים שעליהם נשען כל הדיסציפלינה. מה שאפשר זאת לא היה זיכרון גולמי בלבד אלא הסתגלות ספציפית: עם אמו כמתווכת המתרגמת סימון חזותי לקוד פרטי וניתן לתיאור, נראה שפונטריאגין בנה ותפעל מבנים מתמטיים כמעט לחלוטין בראשו, שיטת עבודה שהיסטוריונים של המתמטיקה מציינים כיוצאת דופן אפילו בקרב מדענים עיוורים. הסתייגות הכנה היא שהישג זה היה שיתופי עמוק ולא בודד – עשרות שנות העבודה ללא שכר וללא רישיון של אמו היו, לפי דברי הביוגרפים שלו עצמם, בלתי נפרדות מהמדע, חוב שפונטריאגין עצמו הודה בו בגלוי ושוב ושוב במקום לטשטשו.
מורשת
שמו של פונטריאגין מתייג כעת אובייקטים בשני תחומים שלעיתים רחוקות חופפים – דואליות פונטריאגין ומחלקות פונטריאגין בטופולוגיה ואלגברה, עקרון המקסימום של פונטריאגין בהנדסה וכלכלה – פריסה המשקפת קריירה ששינתה כיוון פעם אחת, באופן נחרץ, והצליחה פעמיים. הוא נפטר ב-3 במאי 1988 במוסקבה, לאחר שבילה יותר משישים שנה בייצור מתמטיקה ללא מאור עיניים, כשהוא נתמך על ידי שותפות שהחלה ביום של תאונה שנועדה לסיים את סיכוייו במקום להגדיר אותם.