גאורג קנטור: האיש שהפך את האינסוף לבן-מנייה
בינואר 1874 הציג קנטור שאלה לחברו ריכרד דדקינד (Richard Dedekind): "האם ניתן להתאים באופן חד-ערכי משטח (נניח ריבוע הכולל את גבולו) לקו... כך שלכל נקודה במשטח תהיה נקודה מתאימה בקו, ולהפך?" הוא הניח שהתשובה היא בבירור לא. שלוש שנים לאחר מכן הוא הוכיח שהתשובה היא כן — שריבוע שלם, ואכן מרחב בכל מספר של ממדים, מכיל בדיוק את אותו מספר נקודות כמו קטע קו בודד. הוא כתב לדדקינד מיד: "אני רואה זאת, אך איני מאמין לזה!"
בנו של סוחר מסנקט פטרבורג
גאורג פרדיננד לודוויג פיליפ קנטור נולד ב-3 במרץ 1845 בסנקט פטרבורג. אביו, גאורג ולדמר קנטור, היה סוחר מצליח; אמו, מריה אנה בהם (Maria Anna Böhm), הייתה רוסייה ומוזיקלית מאוד. בשנת 1856, כשהיה גאורג בן אחת-עשרה, אילץ מצבו הבריאותי של אביו את המשפחה לעבור לגרמניה, שם התיישבו תחילה בויסבאדן.
הוא למד בגימנסיה בפרנקפורט ובבית הספר הריאלי (Realschule) בדרמשטאדט, וסיים את לימודיו בשנת 1860 בציונים יוצאי דופן במתמטיקה ובטריגונומטריה. אביו ייעד אותו להנדסה; קנטור השיג רשות ללמוד מתמטיקה במקום זאת. הוא נכנס לפוליטכניון של ציריך בשנת 1862, ולאחר מות אביו ביוני 1863 עבר לאוניברסיטת ברלין, שם למד אצל ויירשטראס, קומר ולאופולד קרונקר, והתיידד עם הרמן שוורץ. עבודת הדוקטורט שלו, על משוואות לא מוגדרות, הושלמה בשנת 1867.
האלה, והבעיה של היינה
לאחר תקופת הוראה בבית ספר לבנות בברלין, הצטרף קנטור לאוניברסיטת האלה בשנת 1869 — המוסד הפרובינציאלי שבו יבלה את כל הקריירה שלו. עמיתו היינה הציג בפניו בעיה ארוכת שנים בנוגע ליחידות של הצגות טורים טריגונומטריים. קנטור פתר אותה עד אפריל 1870.
בעיה זו היא הזרע להכל. המעקב אחר הנקודות החריגות שבהן טור כזה עלול להתנהג בצורה לא תקינה אילץ אותו לחשוב לעומק על קבוצות אינסופיות של נקודות, ועד שנת 1872 הוא הגדיר את המספרים האי-רציונליים באמצעות סדרות מתכנסות של מספרים רציונליים והחל את ההתכתבות עם דדקינד שתלווה אותו במשך עשור.
יותר מאינסוף אחד
בשנת 1874 פרסם קנטור את התוצאה שפרצה את הדרך לעולם. הוא הוכיח שניתן להעמיד את המספרים הרציונליים בהתאמה חד-ערכית עם המספרים הטבעיים — הם בני-מנייה — בעוד שהמספרים הממשיים אינם כאלה. אין אינסוף אחד; יש לפחות שניים, והם בגדלים שונים.
השיטה הייתה הקריטריון שהמציא: שני אוספים הם באותו גודל אם ניתן לשדך את איבריהם בדיוק, לא משנה כמה גדול כל אחד מהם. זה נראה כמו טריק, והשלכותיו היו מיידיות ושערורייתיות. קנטור ציין כי נובע מכך ש"כמעט כל" המספרים הם טרנסצנדנטיים ולא אלגבריים — הוכחת קיום למחלקה שלמה של מספרים, שהושגה מבלי להציג אפילו אחד מהם.
Twenty questions, eight minutes on the clock, and a percentile measured against everyone who has taken it. No sign-up.
Take the IQ test →הטרנספיניטי
מאמרו משנת 1878 בכתב העת של קרל (Crelle's Journal) הציג את המונח "קבוצות בנות-מנייה". עוינותו של קרונקר כמעט חסמה את פרסומו ודדקינד נאלץ להתערב; קנטור מעולם לא הגיש מאמר לכתב העת של קרל שוב.
בין 1879 ל-1884 פרסם שישה מאמרים ב-Mathematische Annalen שייסדו את תורת הקבוצות. החיבור משנת 1883 Grundlagen einer allgemeinen Mannigfaltigkeitslehre (יסודות לתורה כללית של יריעות) הציג את המספרים הטרנספיניטיים כ"הרחבה אוטונומית ושיטתית של המספרים הטבעיים" — לא תירוצים או גבולות, אלא מספרים שניתן לסדר ולבצע איתם פעולות חשבון. הוא ידע מה הוא עושה: "אני מבין שבמיזם זה אני מציב את עצמי בניגוד מסוים להשקפות רווחות בנוגע לאינסוף המתמטי."
הוא סימן את העוצמות הטרנספיניטיות באות העברית אלף, כאשר ℵ₀ הוא הקטן ביותר, וביטא את גודל המספרים הממשיים כ-2^ℵ₀. זה העלה את השאלה שהעסיקה את שארית חייו. האם הרצף הוא האינסוף הבא אחרי בן-המנייה — האם 2^ℵ₀ = ℵ₁? כנגד הקונסטרוקטיביזם של קרונקר הוא פרסם את המניפסט שלו: "מהות המתמטיקה טמונה בדיוק בחופש שלה."
התמוטטות, בייקון והאפיפיור
קנטור סבל מהדיכאון המתועד הראשון שלו במאי 1884. הסיפור הישן הוא שהרדיפה של קרונקר שיגעה אותו; הקריאה המודרנית הופכת את הסיבתיות, וטוענת שהדיכאון העצים את דאגותיו המתמטיות במקום להיווצר על ידן. במשך שנים הוא התנדנד בין האמונה שהוכיח את השערת הרצף כנכונה לבין האמונה שהוכיח שהיא שגויה, ובכל פעם מצא את הטעות.
בשנת 1885 שכנע אותו מיטג-לפלר (Mittag-Leffler) למשוך מאמר מ-Acta Mathematica בטענה שהוא מקדים את זמנו בכמאה שנה. הבדיחה של קנטור הייתה מרה: "אילו היה מיטג-לפלר מקבל את מבוקשו, הייתי צריך לחכות עד שנת 1984, מה שנראה לי כדרישה מוגזמת מדי!" התכתבותם הסתיימה למעשה, ואיתה גל היצירה בן שתים-עשרה השנים שבנה את תורת הקבוצות.
בתקופות הדיכאון שלו פנה לפילוסופיה וספרות, והתקבע על התיאוריה שפרנסיס בייקון כתב את מחזותיו של שייקספיר, ואף פרסם על כך חוברות בשנים 1896–1897. הוא היה גם דתי מאוד, והאמין שהמספרים הטרנספיניטיים הועברו אליו על ידי אלוהים. הוא התכתב עם תיאולוגים קתולים על טבע האינסוף וכתב ישירות לאפיפיור ליאו ה-13, בתקווה שהמתמטיקה שלו עשויה להשפיע על דוקטרינת הכנסייה.
העשורים האחרונים
הוא ייסד את אגודת המתמטיקאים הגרמנית (Deutsche Mathematiker-Vereinigung) בסביבות 1890 וכיהן כנשיאה הראשון. מאמריו החשובים האחרונים, ב-1895 וב-1897, סקרו את האריתמטיקה הטרנספיניטית וקבוצות סדורות היטב. בקונגרס הבינלאומי בציריך ב-1897 הוא זכה לשבחים פומביים מהורוביץ והדמר והתפייס עם דדקינד.
עד אז הוא כבר מצא את הסדקים בעצמו, ועדכן את הילברט ב-1896 על פרדוקסים האורבים בתורת הקבוצות; בוראלי-פורטי פרסם אחד באופן עצמאי ב-1897. אבדות אישיות הגיעו במהירות — אמו באוקטובר 1896, אחיו בינואר 1899, ובנו הצעיר ב-16 בדצמבר 1899. הדיכאון שלט בשארית חייו, ואחרי 1900 הוא בילה תקופות ארוכות במרפאה העצבית (Nervenklinik) בהאלה, כשהוא לוקח חופשות מהוראה בחורפי 1902–03, 1904–05 ו-1907–08. הוא קיבל את מדליית קופלי של החברה המלכותית ותואר כבוד מאוניברסיטת סנט אנדרוז, לשם נסע ב-1911 לרגל יובל ה-500 של האוניברסיטה. הוא מת מהתקף לב בהאלה ב-6 בינואר 1918.
מדוע גאורג נחשב לגאון
הילברט סיפק את המילה בעצמו, וכינה את עבודתו של קנטור "התוצר המשובח ביותר של גאונות מתמטית ואחד ההישגים העליונים של פעילות אנושית אינטלקטואלית טהורה." האיכות הספציפית הייתה הנכונות לסמוך על הגדרה יותר מאשר על אינטואיציה. כל מי שקדם לו התייחס לאינסוף כאל כיוון, לא כאל כמות. קנטור הציע קריטריון לשוויון בגודל — שידוך מדויק — החיל אותו ללא היסוס על אוספים אינסופיים, והלך בעקבותיו לכל מקום שאליו הוביל, כולל למסקנות שהוא עצמו לא יכול היה להאמין בהן. "אני רואה זאת, אך איני מאמין לזה" הוא משפט של אדם הנגרר על ידי הלוגיקה של עצמו, וממשיך בכל זאת.
ראוי לציין את טיעוני הנגד. הוא מעולם לא הכריע את השערת הרצף, ושכנע את עצמו שוב ושוב שהוא עשה זאת — בשני הכיוונים — לפני שמצא את טעויותיו, מה שמעיד על שיקול דעתו כמו גם על עומק הבעיה. גדל וכהן הראו בסופו של דבר שההשערה אינה תלויה באקסיומות הסטנדרטיות, כך שהדבר שרדף אחריו במשך שלושים שנה לא היה קיים כדי להיתפס. מה שבנה היה גם לא גמור ולא עקבי: הוא גילה פרדוקסים במערכת שלו, ונדרשה האקסיומטיזציה של צרמלו, ומאוחר יותר של פרנקל ופון נוימן, כדי להפוך את תורת הקבוצות לבטוחה. אמונתו שהמספרים הטרנספיניטיים הגיעו מאלוהים, הלובינג שלו בוותיקן והחוברות הבייקוניאניות שלו מעידים על ודאות שלא תמיד הייתה מכוילת היטב. והוא מעולם לא השיג את הקתדרה היוקרתית שרצה, ובילה ארבעים שנה בהאלה.
מורשת
תורת הקבוצות הפכה ליסוד שעליו נחה המתמטיקה המודרנית, מ-Principia Mathematica ועד אקסיומות צרמלו-פרנקל שמתמטיקאים עדיין משתמשים בהן. המחווה של הילברט היא זו שנשארה: איש לא יגרש אותנו מגן העדן שקנטור יצר.