Salomon Bochner : L'homme aux six noms en mathématiques

Comptez les objets qui portent son nom et la forme de sa carrière apparaît immédiatement : l'intégrale de Bochner, le théorème de Bochner, les moyennes de Bochner-Riesz, la formule de Bochner, la formule de Bochner-Martinelli. Un sixième — le noyau de Bergman, qui a émergé de sa propre thèse de doctorat — porte le nom de quelqu'un d'autre. Ce dernier détail n'est pas une note de bas de page. C'est la clé pour comprendre un mathématicien qui arrivait toujours à la bonne structure un peu avant que le monde n'ait un nom pour elle.

Podgórze et une famille qui a fui vers l'ouest

Bochner est né le 20 août 1899 à Podgórze, près de Cracovie, alors en Autriche-Hongrie et aujourd'hui en Pologne, dans une famille juive. En 1914, la famille a déménagé en Allemagne, craignant une invasion russe de la Galicie et cherchant une plus grande sécurité. Ce fut la première de deux fuites qui allaient définir sa géographie, et le schéma est sombre rétrospectivement : il a déménagé vers l'ouest pour échapper à une guerre et déménagerait à nouveau vers l'ouest pour échapper aux conséquences de la suivante.

Il était juif orthodoxe et l'est resté, un fait qui mérite d'être mentionné car il s'inscrit étrangement dans le portrait standard du mathématicien moderniste de l'entre-deux-guerres. Bochner a fréquenté un lycée à Berlin puis l'université Frédéric-Guillaume de Berlin, obtenant son doctorat sous la direction d'Erhard Schmidt.

Munich, 1924–1933

Il a enseigné à l'université Louis-et-Maximilien de Munich de 1924 à 1933, et cette décennie fut la plus inventive de sa vie. En 1925, il a simplifié l'approche de Harald Bohr sur les fonctions presque périodiques en utilisant des arguments de compacité — une démarche caractéristique de Bochner, remplaçant une construction complexe par une observation structurelle. En 1932, il a publié Vorlesungen über Fouriersche Integrale, le livre contenant ce qui est aujourd'hui le théorème de Bochner, un résultat sur les transformées de Fourier qui allait devenir l'un des piliers de l'analyse harmonique. En 1933, il a défini l'intégrale de Bochner, étendant l'intégration aux fonctions à valeurs vectorielles.

Puis les nazis sont arrivés au pouvoir et il a quitté l'Allemagne. Il avait trente-trois ans et avait déjà produit assez pour rester dans les mémoires.

Princeton et le long second acte

Il est allé à l'université de Princeton en 1933. De 1945 à 1948, il a été chercheur invité à l'Institute for Advanced Study. En 1959, il a été nommé professeur Henry Burchard Fine à Princeton, la chaire la plus prestigieuse du département.

Les décennies américaines ont produit un type de travail différent — plus large, plus géométrique, plus collaboratif. En 1946 est apparue la formule de Bochner sur la courbure, ouvrant ce qui serait plus tard appelé la technique de Bochner en géométrie différentielle. Il y avait la formule de Bochner-Martinelli en plusieurs variables complexes, sujet de son livre de 1948 avec W. T. Martin. Il y avait les moyennes de Bochner-Riesz, concernant le comportement des séries de Fourier multiples sous rotation. En 1953, avec Kentaro Yano, il a publié Curvature and Betti Numbers, et en 1955, Harmonic Analysis and the Theory of Probability.

Il a pris sa retraite de Princeton en 1968 à soixante-dix ans — et a immédiatement accepté la chaire de mathématiques Edgar Odell Lovett à l'université Rice, où il a dirigé le département de 1969 à 1976 et est resté jusqu'à sa mort.

Pourquoi les noms ont continué à payer

Ce qui est frappant dans les résultats de Bochner, ce n'est pas leur difficulté mais leur postérité. Ses techniques sont devenues fondamentales à mesure que la dualité de Pontryagin et la théorie de la représentation des groupes localement compacts se développaient — des domaines dont la maturité est arrivée après ses contributions. Ses travaux de géométrie différentielle avec Yano ont influencé la théorie de l'annulation de Kodaira et l'étude des variétés de spin, là encore en aval du centre de gravité de sa propre vie.

Ce schéma a une cause. Bochner avait un instinct inhabituel pour le bon niveau d'abstraction. Face à une construction qui fonctionnait dans un cadre spécial, il identifiait la caractéristique structurelle qui faisait réellement le travail — compacité, définie positive, valeurs vectorielles — et reformulait le résultat à ce niveau. Les résultats énoncés au bon niveau de généralité continuent de s'appliquer à des problèmes que leur auteur n'avait jamais imaginés. C'est pourquoi cinq choses portent son nom en analyse, probabilités et géométrie, des disciplines qui, dans la carrière d'un autre mathématicien, n'auraient pas communiqué.

L'historien du savoir

À la fin de sa vie, il s'est tourné vers l'histoire et la philosophie de sa discipline, publiant The Role of Mathematics in the Rise of Science en 1966 et Eclosion and Synthesis: Perspectives on the History of Knowledge en 1969. Ce n'étaient pas des distractions de retraité. C'étaient des arguments sur la raison d'être des mathématiques — écrits par quelqu'un qui avait passé quarante ans à observer des structures abstraites décrire le monde physique, et qui voulait manifestement dire quelque chose sur le pourquoi.

Pourquoi Salomon est qualifié de génie

La qualité en question est spécifique et peu glamour : savoir à quelle altitude énoncer un théorème. La plupart des mathématiciens solides résolvent le problème devant eux. Bochner a remarqué à plusieurs reprises que le problème devant lui était un cas particulier de quelque chose de plus propre, a prouvé la chose la plus propre, et est passé à autre chose. Son traitement de 1925 des fonctions presque périodiques a fait cela à la théorie de Bohr. Son intégrale de 1933 l'a fait pour l'intégration. Sa formule de 1946 l'a fait pour un calcul de courbure. La preuve que cet instinct était correct n'est pas un témoignage mais l'arithmétique : ses méthodes sont devenues une infrastructure essentielle dans des domaines — dualité de Pontryagin, théorie de la représentation des groupes localement compacts, annulation de Kodaira, variétés de spin — qui ont été construits après qu'il ait quitté la pièce.

Le contre-argument mérite d'être énoncé. Personne dans les archives ne qualifie Bochner de génie ; le mot doit être fourni par d'autres. Ses honneurs étaient des chaires dotées — la chaire Fine, la chaire Lovett — qui sont une reconnaissance institutionnelle plutôt que des prix compétitifs, et aucune médaille majeure n'apparaît dans son dossier. Il n'a fondé aucun domaine propre ; il a fourni des outils à des domaines que d'autres ont fondés. Et l'ironie la plus cruelle est la première : le noyau issu de sa propre thèse est universellement appelé le noyau de Bergman. Un mathématicien dont le talent déterminant était d'arriver tôt et d'énoncer les choses de manière générale est aussi un mathématicien qu'il est facile de contourner dans les citations. Un superbe technicien et synthétiseur, pas un prophète.

Héritage

Bochner est décédé le 2 mai 1982 à Houston, au Texas, à quatre-vingt-deux ans, toujours attaché à Rice quatorze ans après que Princeton l'ait mis à la retraite. Il est l'une de ces figures dont le nom est prononcé plusieurs fois par semaine par un mathématicien en activité sans qu'il pense à l'homme — dans un séminaire sur l'analyse de Fourier, dans un cours de probabilités, dans un article de géométrie différentielle. C'est là la forme durable de l'influence : non pas un monument que tout le monde visite, mais un vocabulaire sans lequel personne ne peut travailler.