Saharon Shelah : Le logicien qui a publié plus que tout le monde

La plupart des mathématiciens en activité considèrent que cent articles au cours d'une carrière marquent une productivité sérieuse. Saharon Shelah a publié plus de 1 100 articles évalués par des pairs depuis 1969 — bien plus d'un millier de contributions mathématiques distinctes issues d'un seul esprit, à un rythme qui fait de lui, selon la plupart des comptes, le mathématicien vivant le plus prolifique. Ce seul volume serait une curiosité si le contenu était routinier. Il ne l'est pas : les travaux de Shelah ont résolu des problèmes ouverts vieux de plusieurs décennies, créé des sous-domaines entiers de la théorie des ensembles et découvert à maintes reprises des structures inattendues dans des territoires que la plupart des logiciens avaient conclus comme étant indécidables de manière permanente.

Fils d'un poète, attiré par la géométrie

Shelah est né le 3 juillet 1945 à Jérusalem, alors sous mandat britannique. Son père, connu publiquement sous le nom de poète hébreu et militant politique cananéen Yonatan Ratosh (né Uriel Shelach), lui a offert un cadre intellectuel inhabituel pour grandir. Shelah a d'abord été attiré par la physique et la biologie, mais un cours de géométrie en neuvième année a changé sa direction, et la lecture de An Introduction to Mathematics d'Abraham Fraenkel à quinze ans a scellé son destin : selon ses propres dires, il savait déjà à ce moment-là qu'il voulait être mathématicien. Il a obtenu sa licence à l'université de Tel Aviv en 1964 tout en servant simultanément dans les Forces de défense israéliennes jusqu'en 1967, puis a complété une maîtrise et, en 1969, un doctorat à l'université hébraïque sous la direction de Michael Oser Rabin, avec une thèse sur les théories stables — la graine du domaine qu'il allait transformer.

La résolution du problème de Morley

Après de brefs séjours postdoctoraux à Princeton (1969-70) et à UCLA (1970-71), Shelah est retourné définitivement à l'université hébraïque, devenant professeur en 1974 et occupant la chaire de logique mathématique de l'université à partir de 1978, un poste qu'il occupe toujours en parallèle d'un poste de professeur invité distingué à l'université Rutgers depuis 1986. Sa première réalisation majeure fut la résolution du problème de Morley en théorie des modèles — une question sur le nombre de modèles non isomorphes d'une taille donnée qu'une théorie du premier ordre peut avoir — en construisant ce qui est devenu connu sous le nom de théorie de la classification (stabilité), un cadre complet pour trier les théories mathématiques selon leur complexité interne. Le livre de 1978 issu de ce travail, Classification Theory and the Number of Non-Isomorphic Models, est devenu un texte fondateur de la théorie des modèles moderne.

Forcing propre et les limites du continu

En théorie des ensembles, Shelah a développé le forcing propre, une technique pour itérer la méthode de forcing — l'outil que Paul Cohen avait utilisé pour prouver l'indépendance de l'hypothèse du continu — de manières qui évitent les effondrements techniques ayant limité les constructions itérées antérieures. Le forcing propre est devenu un outil standard dans tout le domaine, utilisé par les théoriciens des ensembles pour construire des modèles aux propriétés délicatement contrôlées que des méthodes de forcing plus simples ne pouvaient atteindre. En s'appuyant sur cela, Shelah a créé la théorie PCF (cofinalités possibles), démontrant que même si des questions fondamentales de l'arithmétique cardinale comme la valeur du continu sont formellement indécidables dans les axiomes standard (ZFC), d'autres théorèmes profonds et démontrables sur l'exponentiation cardinale existent néanmoins — trouvant essentiellement une structure mathématique solide dans une région de la théorie des ensembles que beaucoup avaient supposée être pure liberté, sans contrainte par aucune loi démontrable.

Une longue liste de problèmes résolus spécifiques

Au-delà de ces deux grands cadres, Shelah possède un palmarès frappant de résolution de problèmes ouverts nommés individuellement à travers la logique mathématique et au-delà : il a prouvé que le problème de Whitehead — à savoir si tout groupe abélien possédant une certaine propriété d'extension est libre — est indépendant de ZFC, ce qui signifie qu'il ne peut être ni prouvé ni réfuté à partir des axiomes standard de la théorie des ensembles ; il a construit un groupe de Jónsson, un groupe indénombrable dans lequel tout sous-groupe propre est dénombrable, réglant une question d'existence de longue date ; il a donné des bornes supérieures récursives primitives pour les nombres de van der Waerden en combinatoire ; il a étendu le théorème d'impossibilité d'Arrow en théorie du choix social ; et, en travaillant avec Maryanthe Malliaris à partir des années 2010, il a résolu un problème ouvert vieux de cinquante ans concernant l'ordre de Keisler sur la complexité des théories du premier ordre, travail qui a valu au duo la médaille Hausdorff 2017.

Reconnaissance

Les honneurs reçus par Shelah correspondent étroitement à sa production : il fut le premier lauréat du prix Erdős en 1977, puis a reçu le prix Rothschild (1982), le prix Karp (1983), le prix George Pólya (1992), le prix Israël (1998), le prix Bolyai (2000), le prix Wolf en mathématiques — l'une des plus hautes distinctions du domaine après la médaille Fields ou le prix Abel — en 2001, le prix EMET (2011), le prix Leroy P. Steele de l'AMS (2013), la médaille Hausdorff conjointement avec Malliaris (2017) et le prix Rolf Schock en logique et philosophie (2018). Il est intervenu au Congrès international des mathématiciens à trois reprises, en 1974, 1983 et 1986.

Perte personnelle

La famille de Shelah a subi le coût direct de la violence au Moyen-Orient : son frère, Hamman Shelah, juge magistrat, a été assassiné avec sa femme et sa fille lors du massacre de Ras Burqa en 1985, lorsqu'un soldat égyptien a ouvert le feu sur des touristes israéliens dans le Sinaï. Shelah est marié à Yael et a trois enfants.

Pourquoi Saharon Shelah est qualifié de génie

L'argument pour qualifier Shelah de génie mathématique repose moins sur une preuve spectaculaire unique que sur une combinaison inégalée de productivité brute et d'envergure conceptuelle : la théorie de la classification a à elle seule réorganisé la façon dont les théoriciens des modèles pensent la structure des théories, le forcing propre est désormais un outil routinier enseigné à chaque étudiant diplômé en théorie des ensembles, et la théorie PCF a trouvé une structure démontrable dans une région de l'arithmétique cardinale que la plupart des logiciens, suivant les résultats d'indépendance de Cohen et Gödel, avaient supposée être essentiellement sans loi — trois contributions distinctes dont chacune définirait une carrière solide. Son volume de publication pur, plus de 1 100 articles, est en soi suffisamment inhabituel parmi les mathématiciens en activité pour susciter un débat légitime : certains collègues y voient la preuve d'un taux extraordinaire et soutenu d'intuition authentique, car ses résultats les plus cités et les plus influents couvrent cinq décennies plutôt que de se regrouper en une seule poussée productive. Le contre-argument honnête est que les travaux de Shelah sont notoirement difficiles à vérifier, même pour les spécialistes — ses articles sont denses, chargés de notation et souvent écrits dans un style compressé que même des théoriciens des modèles et des ensembles expérimentés décrivent comme difficile à vérifier ligne par ligne, ce qui a parfois ralenti la confiance de la communauté dans certaines de ses preuves les plus complexes jusqu'à ce que la vérification indépendante rattrape son retard. Sa production a également, inévitablement, varié en profondeur : chaque article parmi les 1 100 n'a pas le poids du travail sur la théorie de la classification ou la théorie PCF, et une partie de son corpus consiste en des raffinements techniques et des applications de cadres qu'il avait déjà construits plutôt qu'en des sauts conceptuels totalement nouveaux. Il n'a jamais remporté de médaille Fields (une fonction en partie liée à la limite d'âge de 40 ans de la médaille, qu'il avait déjà dépassée lorsque ses résultats majeurs sont apparus) ou de prix Abel, laissant les plus hautes distinctions purement mathématiques de la profession juste hors de sa portée malgré la reconnaissance du prix Wolf.

Héritage

Shelah reste, à quatre-vingts ans, un mathématicien en activité à l'université hébraïque et à Rutgers, publiant toujours à un rythme que peu dans l'histoire du domaine ont égalé. La théorie de la classification et la théorie PCF sont désormais des éléments permanents des programmes de théorie des modèles et de théorie des ensembles, et des générations de logiciens ont construit leur carrière en étendant les cadres qu'il a initiés — un corpus de travaux dont l'ampleur pourrait prendre au domaine des décennies de plus pour être pleinement absorbé et évalué.