Marston Conder : L'homme qui a compté les symétries

Tout mathématicien en exercice, partout dans le monde, qui a besoin de connaître tous les graphes symétriques trivalents jusqu'à dix mille sommets ne les déduit pas lui-même. Il télécharge la liste de Marston Conder. Il en va de même pour les cartes régulières et chirales sur des surfaces d'une large gamme de genres, pour les groupes d'automorphismes des surfaces de Riemann compactes et pour les polytopes réguliers et chiraux. En quatre décennies à Auckland, Conder a transformé la question abstraite « quels sont les objets les plus symétriques de ce genre ? » en quelque chose que l'on peut consulter ; et ce faisant, il est devenu discrètement l'un des mathématiciens les plus sollicités de sa génération.

De Matamata à Oxford

Il est né en septembre 1955 à Hamilton, en Nouvelle-Zélande, et a fait ses études au Matamata College — un début dans une petite ville aussi éloignée des centres des mathématiques pures qu'il est possible de l'être. Son premier diplôme supérieur n'était pas en mathématiques : il a obtenu une maîtrise en sciences sociales à l'université de Waikato en 1977. Trois ans plus tard, il était titulaire d'un doctorat d'Oxford.

Son directeur de thèse à Oxford était Graham Higman, l'une des figures majeures de la théorie des groupes du XXe siècle et un fondateur de l'approche combinatoire moderne du sujet. La thèse de 1980 de Conder, "Minimal generating pairs for permutation groups" (Paires génératrices minimales pour les groupes de permutation), annonçait dans son titre sa préoccupation de toujours. La question est trompeusement simple : étant donné un groupe, peut-on le produire entièrement à partir de deux éléments seulement et, si oui, lesquels, choisis de la manière la plus économique possible ? La génération par deux éléments est la charnière sur laquelle repose une énorme quantité de théorie de la symétrie, car les objets les plus symétriques en géométrie et en combinatoire sont précisément ceux dont les groupes de symétrie sont engendrés par un très petit nombre de mouvements très simples.

Objets de symétrie maximale

Le programme de Conder, maintenu pendant quarante ans, peut être énoncé en une ligne : étudier les structures discrètes qui présentent la symétrie maximale possible sous réserve de contraintes données. Fixez une contrainte (un graphe doit être trivalent, une carte doit résider sur une surface de genre cinq, un polytope doit avoir un rang donné) et demandez quels objets la satisfaisant sont aussi symétriques que possible. Les réponses sont rarement évidentes et presque jamais nombreuses, ce qui les rend dignes d'être cataloguées.

Les outils proviennent de la théorie combinatoire et informatique des groupes, y compris des techniques pour manipuler les groupes finiment présentés et leurs images. Il s'agit de la branche de l'algèbre dans laquelle un groupe n'est pas spécifié par l'énumération de ses éléments, mais par une poignée de générateurs et de relations ; la difficulté centrale est qu'une telle présentation peut dissimuler presque tout, y compris un groupe infini ou trivial, sans moyen facile de le distinguer. La spécialité de Conder était d'extraire des réponses difficiles, exhaustives et prouvables à partir de présentations de ce type, à une échelle qui n'est devenue réalisable que lorsque le calcul a été correctement associé à la théorie.

Cartes, chiralité et polytopes

Le filon le plus riche était celui des cartes : les plongements de graphes dans des surfaces, où les cas intéressants sont les réguliers, dont le groupe de symétrie agit de manière aussi transitive que la structure le permet. À leurs côtés se trouvent les objets chiraux, qui admettent toute symétrie rotationnelle mais aucune réflexion — l'analogue mathématique d'une main gauche, superposable à aucune image miroir d'elle-même. La médaille Jones 2018 de la Royal Society of New Zealand citait exactement ceci : ses travaux sur la « symétrie et la chiralité dans les structures discrètes ».

Il a étendu la même approche vers l'extérieur. L'Institute of Combinatorics and its Applications, en lui décernant sa médaille Euler, a énuméré les symétries et plongements de graphes, les cartes régulières et chirales, les polytopes réguliers et chiraux, les partitions d'arêtes de graphes, les graphes expanseurs de dimension supérieure et les codes de Gray binaires — une gamme qui va de la topologie des surfaces classique aux objets ayant une application directe dans la théorie du codage et des réseaux. Plus de 170 articles en ont résulté, ainsi que quinze doctorants.

Le recenseur

Ce qui distingue Conder des autres algébristes renommés, c'est ce qu'il a fait des résultats. Plutôt que de publier un théorème et de passer à autre chose, il a construit et publié des répertoires — des recensements complets de classes d'objets, calculés une fois, correctement, et mis à disposition. Le catalogue des graphes symétriques trivalents va jusqu'à 10 000 sommets. Les recensements des cartes et des polytopes couvrent des plages que personne n'avait atteintes auparavant. Ceux-ci sont consultés internationalement, y compris par des chercheurs sans intérêt pour la théorie des groupes qui ont simplement besoin de savoir si un objet possédant certaines propriétés existe, ou de tester une conjecture contre chaque cas connu avant de perdre une année dessus.

Cette habitude — de traiter la connaissance comme une infrastructure plutôt que comme une propriété personnelle — fait explicitement partie de son dossier de citations ; l'ICA a distingué sa réputation pour le partage libre des connaissances et pour les répertoires de recherche que tout le monde peut utiliser.

Le mathématicien public

Conder est devenu professeur titulaire à Auckland en 1993 et professeur émérite (Distinguished Professor) en 2012. Il a été président de la New Zealand Mathematical Society de 1993 à 1995, codirecteur du New Zealand Institute of Mathematics and its Applications, et président de l'Academy of the Royal Society of New Zealand de 2006 à 2008 — la plus haute fonction scientifique du pays, occupée par un mathématicien pur, ce qui n'est pas l'arrangement habituel en aucun lieu.

Les honneurs ont suivi les travaux : la James Cook Research Fellowship en 2011, l'adhésion à l'American Mathematical Society en 2012, la médaille Hector en 2014, la médaille Jones en 2018, et en 2020 à la fois la médaille Euler de l'Institute of Combinatorics and its Applications — pour ses contributions distinguées tout au long de sa carrière à la recherche combinatoire — et sa nomination en tant qu'officier du New Zealand Order of Merit.

Pourquoi Marston est qualifié de génie

La qualité spécifique est un hybride rare : profondeur algébrique mariée à la discipline computationnelle. Beaucoup de mathématiciens peuvent prouver un théorème sur les structures symétriques ; beaucoup d'autres peuvent écrire du code qui énumère des exemples. La réalisation caractéristique de Conder est la classification exhaustive — une preuve qu'une liste calculée n'est pas seulement longue mais complète, que rien n'a été manqué. Cela exige de la théorie pour borner l'espace de recherche, du calcul pour le balayer, et une tolérance à la vérification des erreurs que la plupart des théoriciens trouvent en dessous d'eux et que la plupart des programmeurs trouvent au-dessus d'eux. Ses recensements ont résisté ; c'est là le test ultime.

La citation de la médaille Euler mentionne quarante années de contribution distinguée dans les symétries de graphes, les cartes et polytopes chiraux, les expanseurs et les codes de Gray, et la médaille Jones mentionne spécifiquement la symétrie et la chiralité. Ce sont des instances professionnelles utilisant leurs distinctions les plus prestigieuses, ce qui est le plus proche de l'utilisation du mot par la combinatoire.

Le contre-argument vaut la peine d'être exposé clairement. Conder n'a résolu aucun problème célèbre et n'a introduit aucune théorie qui porte son nom. Il n'y a pas de conjecture de Conder, pas d'invariant de Conder. Son génie est de nature cartographique — le recensement exhaustif et fiable d'un territoire dont les frontières avaient été tracées par d'autres — plutôt que celui qui ouvre de nouvelles contrées. Un évaluateur sévère dirait qu'il est le meilleur recenseur que les mathématiques aient produit dans son domaine, et qu'être indispensable n'est pas la même chose qu'être révolutionnaire. La réponse est que dans une discipline noyée sous des affirmations non vérifiées, les réponses complètes et correctes sont plus rares que les réponses intelligentes, et durent plus longtemps.

Héritage

L'héritage le plus durable de Conder est singulier pour un mathématicien pur : il s'agit d'un ensemble de tables. Ses répertoires seront consultés par des personnes qui ne liront jamais ses preuves et qui pourraient ne pas connaître son nom, de la même manière que les ingénieurs consultent des tables de constantes physiques. Derrière eux se trouve l'héritage plus difficile — la démonstration qu'un petit pays sans masse critique dans son domaine pouvait produire des travaux de classe mondiale, et qu'un mathématicien pouvait diriger une académie nationale sans cesser d'être un chercheur actif. Quinze doctorants et 170 articles plus tard, la combinatoire néo-zélandaise est un nœud international reconnu plutôt qu'un avant-poste, et une grande partie de cela remonte à un homme à Auckland qui a continué à compter.