Leopold Kronecker : Dieu a créé les nombres entiers

« Die ganzen Zahlen hat der liebe Gott gemacht, alles andere ist Menschenwerk » — Dieu a créé les nombres entiers, tout le reste est l'œuvre de l'homme. Heinrich Weber a rapporté cette phrase, et elle a survécu à presque tout ce que son auteur a dit, car il ne s'agit pas d'une remarque pieuse mais d'une déclaration de guerre. L'homme qui l'a prononcée a passé ses dernières décennies à essayer de débarrasser les mathématiques modernes des objets infinis que ses collègues s'occupaient à inventer, et il s'est fait assez d'ennemis pour qu'un des plus grands analystes d'Europe manque de quitter Berlin pour s'éloigner de lui.

Liegnitz et un professeur nommé Kummer

Leopold Kronecker est né le 7 décembre 1823 à Liegnitz, en Prusse — aujourd'hui Legnica, en Pologne — dans une riche famille juive. Ses parents, Isidor et Johanna née Prausnitzer, engagèrent des précepteurs à domicile avant de l'envoyer au Gymnasium de Liegnitz, où il étudia les sciences, l'histoire et la philosophie, et pratiqua la natation et la gymnastique avec le même appétit. Son frère cadet, Hugo, devint un physiologiste distingué. Au Gymnasium, son professeur de mathématiques était Ernst Kummer, qui repéra son talent et l'encouragea — une relation qui allait façonner le reste de la vie de Kronecker, car les carrières des deux hommes n'ont cessé de converger.

Il s'est inscrit à l'Université de Berlin en 1841, hésitant entre l'astronomie, la philosophie et les mathématiques. Il a passé l'été 1843 à étudier l'astronomie à Bonn, puis a suivi Kummer à Breslau pour 1843-1844 avant de retourner à Berlin, où il a soutenu en 1845 une thèse en théorie algébrique des nombres sous la direction de Peter Gustav Lejeune Dirichlet.

L'homme d'affaires qui faisait des mathématiques

Ce qu'il a fait ensuite était inhabituel pour un homme de ses talents : rien d'académique du tout. Il est rentré chez lui pour gérer un grand domaine agricole et s'occuper des affaires familiales. Il a épousé sa cousine Fanny Prausnitzer en 1848 et a eu six enfants. Il fut, pendant environ une décennie, un homme d'affaires provincial prospère qui publiait à l'occasion des mathématiques originales — notamment un mémoire de 1853 sur la résolubilité algébrique des équations qui prolongeait les travaux de Galois, et un traitement de 1850 de l'équation du cinquième degré utilisant la théorie des groupes (et non par radicaux, ce qu'Abel et Ruffini avaient déjà démontré comme étant impossible).

L'entreprise a suffisamment bien réussi pour qu'en 1855, il puisse retourner à Berlin et y vivre simplement comme un érudit privé sans poste et sans besoin d'en avoir un. Son élection à l'Académie de Berlin en 1861 lui a donné le droit d'enseigner à l'université, ce qu'il a commencé à faire en 1862 ; il a enseigné pendant deux décennies sans chaire. En 1866, il a refusé la chaire de mathématiques de Göttingen — le siège de Gauss et Dirichlet, sans doute le poste le plus prestigieux des mathématiques européennes — préférant Berlin. Ce n'est qu'en 1883, lorsque Kummer a pris sa retraite, qu'il a accepté un poste de professeur ordinaire, succédant au maître d'école qui l'avait découvert.

Le plus cher rêve de la théorie des nombres

Les mathématiques de Kronecker sont de celles qui ensemencent une discipline plutôt qu'elles ne la ferment. Il a formulé en 1853 ce qui est devenu le théorème de Kronecker-Weber, dont la preuve complète a été fournie plus tard par David Hilbert. Il a introduit le théorème de structure des groupes abéliens de type fini, l'un des résultats porteurs de l'algèbre moderne. Il a travaillé sur les fonctions elliptiques et a conjecturé ce qu'il appelait son « liebster Jugendtraum » — le plus cher rêve de jeunesse — une vision de la théorie explicite des corps de classes que Hilbert a intégrée plus tard à son douzième problème, où elle demeure un programme de recherche actif.

En théorie algébrique des nombres, il a construit une théorie des diviseurs comme alternative à la théorie des idéaux de Dedekind, et il l'a fait pour des raisons philosophiques plutôt que techniques : les diviseurs pouvaient être manipulés par une construction explicite, tandis que les idéaux nécessitaient des ensembles infinis. L'approche de Dedekind a dominé le siècle, et celle de Kronecker a été largement traitée comme une curiosité — jusqu'à ce que le vingtième siècle la remette à l'honneur. Son nom est désormais attaché à une quantité invraisemblable de mobilier mathématique : le delta de Kronecker, le produit de Kronecker, le symbole de Kronecker, la formule limite de Kronecker, le théorème de Kronecker, le lemme de Kronecker, le théorème de Kronecker-Capelli, la substitution de Kronecker.

La guerre contre l'infini

La position philosophique qui a généré la théorie des diviseurs a généré tout le reste, y compris l'animosité. Kronecker soutenait que les mathématiques devaient être construites à partir des nombres entiers par une construction finie et explicite — une doctrine appelée aujourd'hui finitisme, qui a fait de lui un précurseur de l'intuitionnisme. Il a contribué au concept de continuité et à la reconstruction des nombres irrationnels dans l'analyse réelle, mais il a rejeté la fonction continue nulle part dérivable de Weierstrass pour des raisons philosophiques, et a attaqué la théorie des ensembles de Georg Cantor, avec sa hiérarchie d'infinis actuels, comme illégitime.

Il n'a pas limité ces opinions aux séminaires. Sa campagne a tellement tendu sa relation avec Karl Weierstrass qu'en 1888, Weierstrass a failli quitter l'université. Au cours de la dernière année de sa vie, Kronecker s'est converti au christianisme. Il est mort à Berlin le 29 décembre 1891 et a été enterré au cimetière Alter St. Matthäus Kirchhof à Schöneberg.

Pourquoi Leopold est qualifié de génie

Le cas repose sur une combinaison spécifique et rare : l'instinct de structure d'un algébriste couplé à une exigence presque obsessionnelle de contenu constructif. Kronecker semble avoir été incapable d'accepter un objet mathématique qu'il ne pouvait pas, en principe, construire — et cette contrainte, qui ressemble à une limitation, a fonctionné comme un générateur. Elle a produit la théorie des diviseurs, le théorème de structure des groupes abéliens de type fini, le théorème de Kronecker-Weber et le Jugendtraum, dont plusieurs ont réorganisé leurs domaines. Ses conjectures étaient également remarquablement bien ciblées : il est révélateur que Hilbert ait consacré des efforts importants à prouver l'une d'entre elles et à en consacrer une autre comme problème nommé.

Le contre-argument honnête est que son jugement sur les mathématiques dans leur ensemble était médiocre, et à un prix élevé. Il avait tort au sujet de la fonction pathologique de Weierstrass, qui est aujourd'hui du matériel d'enseignement de premier cycle. Il avait tort au sujet de Cantor, dont l'arithmétique transfinie est devenue fondamentale. Sa théorie des diviseurs préférée a été éclipsée par les idéaux de Dedekind pendant la majeure partie d'un siècle, ce qui suggère que ses scrupules constructifs ont coûté une réelle puissance expressive à l'époque. Et il a défendu ces convictions avec une férocité personnelle qui a failli pousser un collègue de la stature de Weierstrass hors de Berlin — une conduite que les historiens n'ont pas pu excuser comme simple rigueur. Le résumé équitable est que Kronecker était un mathématicien de premier ordre et un prophète de second ordre : ses théorèmes ont bien mieux vieilli que ses opinions, et ses objections philosophiques se sont révélées plus utiles en tant que position minoritaire permanente au sein des mathématiques qu'en tant que programme qu'il envisageait.

Héritage

Il fut élu à l'Académie prussienne des sciences en 1861, à l'Académie française des sciences en 1868 et à la Royal Society en 1884, et l'astéroïde 25624 Kronecker porte son nom. Il a dirigé les travaux de Kurt Hensel, Adolf Kneser, Mathias Lerch et Franz Mertens — les nombres p-adiques de Hensel étant un descendant direct de l'impulsion constructive. La renaissance au vingtième siècle de sa théorie des diviseurs, et la survie de l'intuitionnisme comme alternative fondamentale sérieuse, signifient que l'homme qui a perdu le débat de son vivant ne l'a jamais totalement perdu.