Kiyoshi Itō : Le mathématicien qui a donné un calcul au hasard

Pendant plus d'une décennie après que Kiyoshi Itō eut publié l'article fondateur du calcul stochastique moderne, presque personne ne l'a lu. « Je ne connais personne qui ait lu cet article en profondeur lorsqu'il est paru, à part mon ami G. Maruyama », a-t-il admis plus tard. Soixante ans plus tard, la formule contenue dans cet article — une façon de faire du calcul sur des processus trop irréguliers pour que le calcul ordinaire puisse les toucher — tournait discrètement au sein de chaque desk de valorisation d'options de toutes les banques du monde, et en 2006, à l'âge de 91 ans, Itō est devenu la première personne à recevoir le prix Gauss, la plus récente distinction en mathématiques décernée spécifiquement pour des travaux dont les conséquences dans le monde réel ont éclipsé les attentes de leur auteur.

Le projet secondaire d'un statisticien en temps de guerre

Itō est né le 7 septembre 1915 à Hokusei-cho, dans la préfecture de Mie, au Japon. Il a étudié les mathématiques à l'Université impériale de Tokyo, obtenant son diplôme en 1938, et s'est trouvé insatisfait, en tant qu'étudiant, de la littérature de l'époque sur la théorie des probabilités, qui selon lui manquait d'une définition rigoureuse d'une variable aléatoire. Cette insatisfaction est devenue un programme de recherche. À partir de 1938, il a travaillé au Bureau de la statistique du Cabinet du Japon, un poste de fonctionnaire en temps de guerre qui, de manière inhabituelle, lui a fourni la couverture institutionnelle nécessaire pour mener des recherches théoriques pures en parallèle ; c'est là, en 1942, qu'il a rédigé l'article « On Stochastic Processes » (Sur les processus stochastiques), qui a reconstitué à partir des principes premiers la théorie de l'intégration stochastique — l'intégration par rapport à un processus fluctuant de manière aléatoire plutôt que par rapport à une courbe lisse.

Construire un calcul pour le mouvement brownien

L'objet mathématique qu'Itō devait apprivoiser était le mouvement brownien, cet enchevêtrement erratique utilisé pour la première fois pour modéliser l'agitation de grains de pollen dans l'eau : une trajectoire si rugueuse qu'elle possède une variation non bornée et ne peut être différenciée au sens ordinaire. La solution d'Itō comportait trois éléments liés. Il a défini un nouveau type d'intégrale, aujourd'hui appelée intégrale d'Itō, qui donnait un sens à l'intégration par rapport au mouvement brownien. Il l'a ensuite utilisée pour formuler des équations différentielles stochastiques — des expressions de la forme dX(t) = σ(X(t))dB(t) + b(X(t))dt — permettant aux mathématiciens de décrire et de manipuler directement des trajectoires d'échantillonnage aléatoires individuelles, plutôt que seulement les distributions de probabilité que ces trajectoires pouvaient produire. Et il a dérivé ce que le domaine appelle aujourd'hui le lemme d'Itō, une formule, df(X(t)) = f′(X(t))dX(t) + ½f″(X(t))σ²(X(t))dt, décrivant la manière dont une fonction d'un processus aléatoire elle-même évolue au cours du temps — la règle de chaîne du calcul ordinaire, reconstruite pour tenir compte du terme supplémentaire lié au hasard. Entre ces deux éléments, ces résultats ont synthétisé deux traditions auparavant séparées : la pensée probabiliste intuitive et axée sur les trajectoires d'échantillons du mathématicien français Paul Lévy et les fondements rigoureux de la théorie de la mesure posés par Andreï Kolmogorov.

Une carrière à travers les continents

Itō a obtenu son doctorat en 1945 et, après la guerre, a enseigné en tant que professeur assistant à l'Université impériale de Nagoya de 1943 à 1952. Il a rejoint l'Université de Kyoto en 1952, où il a occupé un poste de professeur jusqu'en 1979, entrecoupé de nominations internationales : deux ans à l'Institute for Advanced Study de Princeton à partir de 1954, un poste de professeur à l'Université d'Aarhus au Danemark de 1966 à 1969, et un autre à l'Université Cornell de 1969 à 1975. Après 1979, il a enseigné à l'Université Gakushuin. Grâce à ces affectations, son article de 1942, autrefois négligé, s'est lentement forgé une réputation internationale, et les propres étudiants d'Itō au Japon — parmi lesquels Shinzo Watanabe, Masatoshi Fukushima et Hiroshi Kunita — ont étendu ses méthodes à des espaces de dimension infinie et à des processus markoviens symétriques généraux, faisant du Japon l'un des principaux centres mondiaux de la théorie des probabilités.

Reconnaissance et le prix Gauss

Les distinctions se sont accumulées régulièrement tout au long de la fin de la carrière d'Itō : le prix Asahi du Japon en 1978, le prix impérial et le prix de l'Académie du Japon la même année, le prix Fujiwara en 1985, le prix Wolf en mathématiques en 1987 et le prix de Kyoto en sciences fondamentales en 1998. Il a été élu à l'Académie nationale des sciences des États-Unis ainsi qu'à l'Académie des sciences en France et a reçu des doctorats honoris causa de l'Université de Warwick et de l'ETH Zurich. L'apogée a eu lieu en 2006, lorsque l'Union mathématique internationale a créé le prix Carl Friedrich Gauss spécifiquement pour honorer des travaux mathématiques d'une importance pratique exceptionnelle, et a nommé Itō — alors âgé de 91 ans — son tout premier récipiendaire lors du Congrès international des mathématiciens à Madrid. Itō lui-même a semblé surpris par le cadre de la distinction : « le fait que mon travail ait été choisi pour le prix Gauss pour des applications des mathématiques est vraiment inattendu et profondément gratifiant », a-t-il déclaré, ajoutant qu'il avait toujours considéré que ses recherches appartenaient aux mathématiques pures.

Du tableau noir à la salle des marchés

Cette modestie sous-estimait la portée de ce qu'il avait bâti. Le calcul d'Itō est devenu l'infrastructure mathématique sous-jacente à la finance quantitative moderne : le modèle d'évaluation d'options Black-Scholes et le domaine plus large de la finance stochastique reposent directement sur la résolution d'équations différentielles stochastiques de type Itō pour les prix des actifs. Au-delà de la finance, son cadre est devenu un outil standard dans la théorie du filtrage et le traitement du signal, en génétique des populations pour modéliser la dérive génétique, et en physique statistique pour décrire des systèmes soumis à un bruit aléatoire. Rares sont les résultats mathématiques du vingtième siècle issus d'un bureau de statistiques gouvernemental, dans un article que presque personne n'avait lu au départ, qui peuvent prétendre se trouver aujourd'hui dans le logiciel de chaque grande banque.

Pourquoi Kiyoshi est qualifié de génie

Les arguments en faveur du génie d'Itō sont précis mais solides : il n'a pas simplement résolu un problème ouvert, il a bâti le langage — l'intégrale, l'équation, la règle de différenciation — dont tout un domaine ultérieur avait besoin avant même de pouvoir formuler ses questions. Les mathématiciens qui ont travaillé dans sa tradition décrivent sa construction de 1942 comme le moment où l'analyse stochastique est devenue rigoureuse plutôt qu'heuristique, unissant l'intuition de Lévy au formalisme de Kolmogorov pour en faire des outils assez précis pour supporter le poids qui leur serait conféré plus tard par les économistes et les physiciens. La complication honnête est qu'il ne s'agit pas d'un éclair de génie reconnu instantanément — il a fallu plus d'une décennie, selon les propres dires d'Itō, pour que plus d'un ou deux mathématiciens s'intéressent sérieusement à ce travail, et son importance pratique explosive en finance n'est apparue que des décennies plus tard, portée en grande partie par des économistes (Fischer Black, Myron Scholes, Robert Merton) appliquant des outils qu'Itō avait conçus à d'autres fins. Son génie, en d'autres termes, réside dans la construction patiente et solitaire d'une machinerie exacte dont il n'avait même pas anticipé la pleine valeur — se rapprochant davantage de l'infrastructure fondamentale d'un ingénieur que d'une unique démonstration éblouissante.

Héritage

Itō est décédé le 10 novembre 2008 à Kyoto, à l'âge de 93 ans. Le vocabulaire qu'il a introduit — intégrale d'Itō, processus d'Itō, lemme d'Itō — est aujourd'hui si ancré dans la théorie des probabilités, la physique et la finance qu'il est enseigné aux étudiants diplômés à peine en mentionnant son origine au sein d'un bureau de statistiques japonais en temps de guerre. Le prix Gauss qui a couronné sa carrière est désormais attribué chaque année à des mathématiciens dont les travaux théoriques ont remodelé un domaine extérieur ; la vie d'Itō elle-même a fourni le modèle que le prix a été inventé pour honorer.