Josef Teichmann : Le géomètre qui est allé au marché

Sa thèse de doctorat de 1999 était intitulée « La théorie des groupes de Lie de dimension infinie du point de vue de l'analyse fonctionnelle ». Rien dans cette phrase ne suggère un homme qui finirait au programme de chaque conférence sérieuse sur la finance quantitative sur Terre, ou qui recevrait le prix Louis Bachelier de l'Académie française des sciences quinze ans plus tard. Mais une courbe de taux d'intérêt est un objet de dimension infinie, évoluant dans le temps, et une fois que Josef Teichmann a remarqué cela, la distance entre la géométrie abstraite et le marché obligataire s'est avérée être très courte.

De Lienz à Vienne

Teichmann est né le 27 août 1972 à Lienz, dans le Tyrol autrichien. Il a étudié les mathématiques à l'Université de Graz avant de déménager à l'Université de Vienne pour des travaux doctoraux sous la direction de Peter W. Michor, l'une des figures de proue de la géométrie différentielle de dimension infinie. La thèse, achevée en 1999, se situait en plein dans ce monde : groupes de Lie de dimension infinie, abordés par l'analyse fonctionnelle plutôt que par les intuitions de dimension finie qui guident habituellement le sujet.

Il a ensuite occupé un poste postdoctoral à l'Université technique de Vienne et y a obtenu son habilitation en 2002 — la licence formelle du système académique germanophone pour occuper une chaire, et dans son cas, le point où la trajectoire a basculé.

Dimensions infinies, argent réel

Le passage de la géométrie pure à la finance mathématique ressemble à un changement de carrière. C'était plus proche d'un changement d'exemples.

L'évaluation classique des options traite le prix d'un actif unique comme un processus stochastique et demande ce qu'un dérivé sur celui-ci vaut. Les taux d'intérêt sont plus difficiles, car ce qui bouge n'est pas un nombre mais une courbe : toute la structure par terme des rendements pour chaque maturité, de l'overnight à trente ans, oscillant comme une seule forme connectée. Le cadre de Heath–Jarrow–Morton, sur lequel Teichmann a beaucoup travaillé, modélise cette courbe entière comme un processus stochastique dans un espace fonctionnel. La variable d'état vit dans une infinité de dimensions. Ce qui signifie que les questions qu'un géomètre pose — quelle est la forme de l'espace, quelles sous-variétés sont préservées par la dynamique, quand un flux reste-t-il dans une famille de dimension finie — sont exactement les questions que pose le problème financier.

C'est le schéma récurrent de sa carrière : apporter une boîte à outils géométrique inhabituellement solide à un domaine qui avait été traité principalement par les probabilités et le calcul, et trouver une structure que d'autres ne pouvaient pas voir parce qu'ils n'étaient pas équipés pour la chercher.

Chemins rugueux, calcul de Malliavin, cubature

Son travail en analyse stochastique a couvert les mécanismes les plus techniques du domaine. Le calcul de Malliavin — un calcul différentiel sur l'espace des chemins aléatoires — fournit des sensibilités et des résultats de lissage qui sont autrement inaccessibles. La théorie des chemins rugueux et l'étude des équations aux dérivées partielles stochastiques s'attaquent au problème de ce que signifie même résoudre une équation pilotée par un bruit trop irrégulier pour l'intégration classique. Les processus affines fournissent la classe traitable sous-jacente à une grande partie de la modélisation des taux d'intérêt et de la volatilité.

À côté de la théorie se trouve une préoccupation persistante pour le calcul. Les formules de cubature et les schémas numériques pour les équations différentielles stochastiques ne sont pas glamour, mais c'est ainsi qu'un modèle devient un prix. La volonté de Teichmann de travailler aux deux extrémités — la géométrie des espaces de dimension infinie d'un côté, le schéma numérique de l'autre — est inhabituelle, et c'est une grande partie de la raison pour laquelle les praticiens le lisent.

Signatures et randomisation

Le tournant le plus récent concerne l'apprentissage automatique, et ici aussi, le point d'entrée est structurel plutôt que à la mode. La signature d'un chemin est une séquence infinie d'intégrales itérées qui encode la forme du chemin — un ensemble canonique de caractéristiques issues de la théorie des chemins rugueux plutôt que des conjectures d'un ingénieur. Les conférences de Teichmann sur la théorie des signatures et la finance mathématique poursuivent la conséquence : si les signatures donnent une description fondée sur des principes d'une trajectoire, elles donnent une entrée fondée sur des principes à un algorithme d'apprentissage opérant sur des séries temporelles financières.

Une ligne parallèle concerne la randomisation et le calcul par réservoir, une approche dans laquelle de grands systèmes aléatoires sont générés et seule une couche de lecture simple est entraînée. Son attrait pour un mathématicien est que son comportement est analysable d'une manière que les réseaux profonds ne le sont généralement pas. D'autres travaux récents concernent la maximisation robuste ergodique de la croissance asymptotique — la question de savoir comment faire croître le capital sur le long terme lorsque le modèle lui-même est incertain.

Zurich

Il a rejoint l'ETH Zurich en tant que professeur en juin 2009, au sein du Département de mathématiques, travaillant au sein du groupe Finance stochastique — le département qui a fait plus que tout autre en Europe continentale pour définir la finance mathématique moderne. Depuis août 2023, il préside le département. Il donne des conférences et présente ses travaux dans le monde entier, des colloques Bachelier et réunions de mathématiques financières SIAM aux congrès internationaux de mathématiques industrielles et appliquées.

La reconnaissance est arrivée tôt et de plusieurs directions : le prix de la Société mathématique autrichienne en 2005, un START-Preis du Fonds scientifique autrichien en 2006 — la récompense la plus prestigieuse d'Autriche pour les jeunes chercheurs — et le prix Louis Bachelier de l'Académie française des sciences en 2014.

Pourquoi Josef est qualifié de génie

Aucune source devant moi n'applique ce mot à lui, et il serait malhonnête d'en inventer une. Ce que les faits confirment, c'est un profil cognitif spécifique et peu commun : une portée inhabituelle, déployée comme mécanisme de transfert. La plupart des mathématiciens qui passent à la finance apportent des probabilités. Teichmann a apporté la géométrie différentielle de dimension infinie, un sujet sans lien évident avec les marchés jusqu'à ce que vous remarquiez qu'une courbe de rendement est un point dans un espace fonctionnel et que son évolution est un flux. Faire cela une fois est une bonne idée. Le faire à plusieurs reprises — dans les chemins rugueux, les processus affines, les méthodes de signature pour l'apprentissage automatique — suggère un esprit qui demande habituellement quelle est la géométrie d'un problème avant de demander comment le calculer.

La deuxième qualité est le refus de se spécialiser vers le bas. Il est normal pour un mathématicien de devenir progressivement plus abstrait ou progressivement plus appliqué. Teichmann a maintenu les deux, publiant sur la structure des espaces de dimension infinie et sur des schémas de cubature qui sont implémentés, et le prix Bachelier est précisément la reconnaissance décernée pour cette combinaison.

Le contre-argument honnête : c'est un mathématicien chercheur en activité de haute distinction, pas une figure dont le nom est attaché à un théorème qui a réorganisé un domaine. Ses prix sont nationaux et disciplinaires plutôt que la médaille Fields ou le prix Abel. Une grande partie de ses travaux les plus cités est collaborative, comme c'est normal en finance mathématique. Et le travail sur l'apprentissage automatique est assez récent pour que sa durabilité ne soit pas établie — les méthodes de signature peuvent devenir un équipement standard ou une note de bas de page, et il est trop tôt pour dire laquelle. Il appartient aux mathématiciens les plus forts et les plus polyvalents de son domaine, ce qui est une distinction réelle et différente de celle de génie.

Héritage

Ce que Teichmann a construit à Zurich est un pont avec une circulation dans les deux sens : la géométrie et l'analyse stochastique alimentant les problèmes d'évaluation et de couverture auxquels les banques sont réellement confrontées, et l'intractabilité de ces problèmes générant de nouvelles mathématiques pures en retour. Présider le département de mathématiques de l'ETH depuis 2023 le place à la tête de l'une des institutions qui décident à quoi ressemble la prochaine génération de ce travail. La thèse sur les groupes de Lie de dimension infinie s'est avérée moins un point de départ qu'un ensemble d'outils qu'il déballe, dans des endroits de plus en plus improbables, depuis lors.