Ernest Michael : Comment choisir sans mal choisir

En 1956, un jeune topologue de l'Université de Washington a publié un théorème sur la prise de décision. Étant donné une règle qui attribue à chaque point non pas une valeur unique, mais un ensemble complet de valeurs acceptables, quand peut-on en choisir une dans chaque — de manière continue, afin que les points proches obtiennent des choix proches ? La réponse qu'il a donnée est utilisée aujourd'hui chaque fois qu'un économiste prouve l'existence d'un équilibre ou qu'un théoricien du contrôle prouve qu'un système peut être dirigé. Cinquante ans plus tard, une revue a consacré un numéro spécial entier à ce qui en a découlé, et a qualifié 1956 d'« année de naissance de cette théorie ».

Zurich, Berlin, La Haye, New York

Michael est né à Zurich le 26 août 1925, fils de Jacob et Erna Michael, une famille juive ashkénaze.

Les quatorze années suivantes se lisent comme la carte d'un continent qui sombre. La famille a quitté Berlin en 1932 — l'année précédant l'arrivée au pouvoir d'Hitler, ce qui signifie qu'ils ont lu la situation tôt et correctement. Ils sont allés à La Haye. En 1939, alors que les Pays-Bas étaient à quelques mois de l'invasion, ils ont émigré à nouveau, vers New York. Michael sera décrit plus tard comme américain, d'origine suisse et allemande ; chacun de ces mots a été acheté au prix d'un départ.

Il a obtenu son diplôme de la Horace Mann School à quinze ans. Il est allé à Cornell, mais la guerre l'a interrompu : il a servi à bord de l'USS Kwajalein de 1944 à 1946, revenant pour obtenir sa licence en 1947. Un master de Harvard a suivi en 1948, et en 1951 un doctorat de l'Université de Chicago sous la direction d'Irving Segal, avec une thèse sur les algèbres topologiques localement multiplicativement convexes.

Quarante et un ans à Seattle

En 1952, Michael a rejoint le département de mathématiques de l'Université de Washington. Il a été professeur assistant de 1952 à 1956, professeur associé de 1956 à 1960, et professeur de 1960 jusqu'à sa retraite en 1993 — quarante et un ans dans un seul département, dans une vie dont les quatorze premières années avaient contenu trois pays.

Il a voyagé depuis cette base plutôt que de déménager à nouveau : quatre périodes distinctes en tant que visiteur à l'Institute for Advanced Study, une année à l'ETH Zurich en 1973-74 — retour à sa ville natale — et une année à l'Université de Stuttgart en 1978-79.

Le théorème de sélection

Le résultat de 1956 concerne les applications multivoques, parfois appelées correspondances ou multifonctions.

Une fonction ordinaire donne une sortie par entrée. Une application multivoque donne un ensemble complet : pour chaque prix, l'ensemble des quantités qu'une entreprise pourrait produire de manière optimale ; pour chaque état d'une machine, l'ensemble des contrôles admissibles. Une sélection est une fonction ordinaire qui choisit un élément dans chacun de ces ensembles. Les sélections existent toujours si l'on accepte l'axiome du choix — mais elles seront généralement extrêmement discontinues, et un choix discontinu est inutile pour les objectifs réels des gens.

Le théorème de sélection de Michael donne les conditions sous lesquelles une sélection continue existe : en gros, que le domaine soit paracompact et que l'application soit semi-continue inférieurement avec des valeurs convexes fermées. Le théorème est la raison pour laquelle une grande partie de l'analyse moderne fonctionne. Les arguments de point fixe en économie mathématique, la théorie des inclusions différentielles, l'optimisation et le contrôle dépendent tous à un moment donné de la capacité à choisir continûment à partir d'un ensemble en mouvement.

Il ne s'est pas arrêté au théorème. Il a fondé toute la théorie des sélections continues autour de lui, et l'article de 1956 est considéré à juste titre comme l'origine de ce domaine.

La droite de Michael

Son autre construction célèbre est un contre-exemple, et c'est l'un des plus cités en topologie générale.

Les topologues ont longtemps voulu que les propriétés se comportent bien sous les produits — si deux espaces sont agréables, leur produit devrait l'être aussi. La droite de Michael tue cet espoir pour un appariement spécifique et important. C'est un espace paracompact dont le produit avec l'espace des nombres irrationnels n'est même pas normal.

Les contre-exemples de cette qualité accomplissent un travail particulier en mathématiques. Ils marquent la limite du possible et évitent à tous ceux qui viennent après de perdre des années à tenter une preuve de quelque chose de faux. Le nom de Michael est également attaché à la topologie produit de Michael et à des résultats sur les sous-espaces fermés, et il a publié plus d'une centaine d'articles en topologie générale, dans les Transactions, les Annals et Duke, sur les hyperespaces de sous-ensembles, la paracompacité, les sélections continues et le comportement des espaces normaux.

Pourquoi Ernest est qualifié de génie

La preuve la plus solide est la durabilité d'un type spécifique et inhabituel. Un seul article publié en 1956 générait encore suffisamment de nouvelles mathématiques cinquante ans plus tard pour que Topology and Its Applications consacre un numéro spécial à l'anniversaire. Très peu de résultats y parviennent.

La qualité cognitive impliquée mérite d'être nommée précisément, car il ne s'agit pas d'une puissance de calcul brute. Le don de Michael était de trouver les hypothèses exactes — les conditions minimales sous lesquelles une chose souhaitable est vraie, associées aux exemples tranchants montrant ce qui se passe dès qu'on les relâche. Le théorème de sélection et la droite de Michael sont le même talent tourné dans des directions opposées : l'un cartographie où le sol est solide, l'autre marque précisément où il cède. Les mathématiciens de ce type sont plus rares que les résolveurs de problèmes et plus utiles à la santé à long terme d'un domaine, car ils en définissent la géographie.

Le contre-argument honnête est que le travail célèbre de Michael est étroit en surface. La topologie générale dans la seconde moitié du XXe siècle n'était pas là où se situait le centre de gravité de la discipline ; son honneur majeur fut l'inclusion dans la classe inaugurale des Fellows de l'American Mathematical Society en 2012, une distinction large et collective qui est arrivée cinquante-six ans après le théorème. Il n'a remporté aucun prix Wolf, aucun prix Steele, ni aucune adhésion à une académie nationale enregistrée dans les sources accessibles. Aucun collègue n'a laissé de trace le qualifiant de génie. Une grande partie de la renommée du théorème de sélection est empruntée aux utilisateurs en aval — économistes et théoriciens du contrôle qui le citent comme un lemme sans s'engager du tout dans sa topologie. Un verdict juste est que Michael était un mathématicien d'une précision exceptionnelle qui a trouvé un théorème si exactement juste qu'il a survécu à la mode de son propre domaine.

Héritage

Michael a pris sa retraite en 1993 et est décédé le 29 avril 2013, à l'âge de quatre-vingt-sept ans, à Seattle.

Le théorème figure dans tous les textes de troisième cycle sur l'analyse multivoque. La droite de Michael figure dans tous les cours de topologie qui traitent des produits. Les deux sont enseignés, la plupart du temps, sans que personne ne mentionne que leur auteur était un garçon juif qui a quitté Berlin en 1932, a traversé un océan avant une invasion, a servi dans le Pacifique, puis s'est assis dans une pièce à Seattle pendant quarante et un ans et a déterminé précisément quand il est possible de bien choisir.