Dudley E. Littlewood : La règle qu'il ne pouvait pas prouver

En 1934, deux mathématiciens d'un petit collège universitaire gallois ont publié une loi combinatoire régissant la manière dont certains objets algébriques se multiplient. Ils l'ont énoncée sous forme de théorème. Ils ne l'ont démontrée que pour une poignée de cas particuliers simples, et l'exemple pratique qu'ils ont proposé pour l'illustrer contenait des erreurs. La règle était néanmoins correcte. Il a fallu quarante ans à la profession pour le démontrer, date à laquelle elle était devenue l'un des résultats les plus utilisés de l'algèbre moderne. Comme l'a dit le théoricien des représentations Gordon James, la règle de Littlewood-Richardson « a aidé à envoyer des hommes sur la Lune, mais n'a été prouvée qu'après leur arrivée là-bas. »

De Tottenham à Trinity

Dudley Ernest Littlewood est né à Londres le 7 septembre 1903, enfant unique d'Ada Piper et de Harry Bramley Littlewood, clerc de notaire. Il n'y avait pas d'héritage mathématique ni d'argent ; il est arrivé là où il était grâce aux examens. De la Tottenham County School dans le Middlesex, il a obtenu à la fois une bourse d'État et une bourse d'entrée au Trinity College de Cambridge.

À Trinity, son tuteur de premier cycle était John Edensor Littlewood, le célèbre analyste et collaborateur de Hardy, sans aucun lien de parenté, une coïncidence qui a confondu les bibliographies depuis lors. Il a obtenu son diplôme en 1925 en tant que « wrangler » au Mathematical Tripos, dans la même promotion que Hall et Hodge. Puis, à la manière du marché universitaire de l'entre-deux-guerres, rien ne s'est passé. Il a enseigné à l'école. En 1928, il a obtenu un poste temporaire de chargé de cours à temps partiel à l'University College de Swansea, suivi d'un bref poste au Queen's College de Dundee. Il a épousé Muriel Doris Dyson en 1930 ; leur fils est né en 1935.

Swansea et Richardson

Swansea est l'endroit où sa vie mathématique a réellement commencé, et elle a commencé grâce à un collègue. Archibald Read Richardson, professeur sur place, a initié Littlewood à l'algèbre, un domaine dans lequel il n'avait pas travaillé auparavant. Il est retourné à Swansea en tant qu'assistant en 1930 et est devenu chargé de cours en 1934, y restant jusqu'en 1947. Ses premiers articles traitaient des algèbres de quaternions et de la théorie des invariants, un travail respectable qui ne donnait aucun signe particulier de ce qui allait suivre.

Ce qui a suivi fut l'article de 1934 écrit avec Richardson, « Group characters and algebras ». Il a introduit l'immanant d'une matrice — une généralisation située entre le déterminant et le permanent — et a abordé les fonctions S, maintenant universellement appelées fonctions de Schur, qui encodent les caractères des groupes symétriques et linéaires généraux. L'article posait la question suivante évidente : que se passe-t-il lorsque vous multipliez deux fonctions de Schur ensemble ? La réponse qu'ils ont proposée est que le produit se décompose en une somme de fonctions de Schur dont les coefficients comptent certains tableaux — des arrangements combinatoires de cases remplies de nombres selon des règles strictes.

Pourquoi la règle est importante

Cette seule affirmation s'est avérée se situer à la jonction où se rencontrent plusieurs domaines. Les coefficients de Littlewood-Richardson donnent les multiplicités lorsque les produits tensoriels de représentations de dimension finie sont décomposés, et lorsque les représentations de groupes symétriques sont induites. Ce sont les constantes de structure de l'anneau des fonctions symétriques dans la base de Schur. Et en géométrie algébrique, elles réapparaissent sous forme de nombres d'intersection sur les Grassmanniennes, comptant comment les variétés de Schubert se rencontrent — une connexion que personne en 1934 ne cherchait. Littlewood lui-même a poursuivi les applications de la théorie des représentations à la mécanique quantique.

La preuve, cependant, manquait. Gilbert de Beauregard Robinson a prétendu en 1938 l'avoir complétée, mais son exposition était suffisamment obscure pour que les lacunes qu'elle contenait passent inaperçues pendant des décennies ; Ian Macdonald en comblait encore certaines en 1995. Les premiers arguments répondant aux normes modernes sont venus de Glânffrwd P. Thomas en 1974 et Marcel-Paul Schützenberger en 1977, construits sur la machinerie combinatoire de la correspondance de Robinson-Schensted développée par Schensted, Schützenberger et Donald Knuth. Environ quatre décennies ont séparé l'affirmation de la démonstration.

Livres et Bangor

Littlewood a transformé ses recherches en le livre qui a porté son nom le plus loin, The Theory of Group Characters and Matrix Representations of Groups, publié en 1940 avec une deuxième édition en 1950 — pendant une génération la référence standard pour apprendre le sujet en anglais. Il l'a fait suivre par The Skeleton Key of Mathematics en 1949, une exposition générale qui a connu plusieurs éditions ultérieures, et A University Algebra en 1950, révisé en 1961.

Il a passé l'année 1947-1948 en tant que chargé de cours universitaire à Cambridge, puis en 1948, il a pris la chaire de mathématiques à l'University College of North Wales à Bangor, l'occupant pendant vingt-deux ans jusqu'à sa retraite en 1970. Ses collègues se souvenaient d'un homme timide et réservé, toujours avec un sourire amical, gentil et solidaire, qui lisait de la science-fiction et qui considérait la philosophie et la religion comme des sujets bien plus dignes d'investigation que les mathématiques — une admission inhabituelle pour un professeur de la matière.

Pourquoi Dudley est qualifié de génie

Le mot s'applique à une faculté spécifique et étroite : il pouvait voir la forme d'un mécanisme algébrique avant que quiconque ne puisse prouver qu'il avait cette forme. Son étudiant J. A. Green l'a décrit exactement — « La force mathématique de Littlewood résidait dans son extraordinaire perspicacité sur la façon dont fonctionnaient certains processus algébriques. » Ses collègues ont noté une forte compréhension intuitive des mathématiques formelles et une préférence franche pour une formule utilisable plutôt que pour une dérivation rigoureuse, et ont observé qu'il prenait les méthodes de Frobenius, Schur et Weyl et les retravaillait dans son propre idiome plutôt que de les reproduire. La règle de 1934 en est l'exemple type. Littlewood et Richardson sont parvenus à une loi combinatoire correcte sur des objets que personne ne comprenait pleinement, dans un domaine où l'intuition est notoirement peu fiable, et ils avaient raison — alors que plusieurs mathématiciens capables qui ont tenté des preuves au cours des quarante années suivantes avaient tort.

Le contre-exemple est réel et n'est pas simplement pédant. Ils ont publié la règle sous forme de théorème alors qu'ils n'avaient prouvé que des cas particuliers faciles, et l'exemple illustratif qu'ils ont donné était mal calculé. Si un arbitre avait été plus strict, le résultat aurait pu apparaître comme une conjecture, ce qu'il était. Le travail d'un mathématicien est la preuve, et selon cette norme, la contribution la plus célèbre de Littlewood a été incomplète pendant quatre décennies et achevée par d'autres personnes utilisant des outils qu'il n'avait pas. L'ensemble de son œuvre — trois livres et une série d'articles sur les invariants, les algèbres de quaternions et les caractères de groupe — est solide et utile plutôt qu'historique, et il a passé sa carrière à Swansea et Bangor, bien en dehors des centres de la discipline. Le verdict honnête est qu'il possédait un instinct mathématique vraiment exceptionnel, inégalement assorti de la rigueur nécessaire pour le concrétiser ; la profession a passé quatre-vingt-dix ans à bénéficier de l'instinct et à réparer la rigueur.

Héritage

Il a pris sa retraite en 1970 et est décédé à Llandudno le 6 octobre 1979, peu après son soixante-seizième anniversaire, suite à une chute au cours de laquelle il s'est cassé la jambe. Il est enterré à Llanrhos ; Muriel lui a survécu dix ans. Son nom est désormais prononcé quotidiennement par des personnes qui ne savent rien d'autre sur lui, attaché à une règle qui sous-tend l'étude moderne des fonctions symétriques, la théorie des représentations des groupes classiques et le calcul de Schubert. Très peu de mathématiciens ont un théorème nommé d'après eux. Encore moins en ont un dont la célébrité est arrivée avant la preuve.