Si nous arrivons à une équation contenant de chaque côté le même terme mais avec des coefficients différents, nous devons prendre les égaux des égaux jusqu'à ce que nous obtenions un terme égal à un autre terme. Mais, s'il y a d'un côté ou des deux côtés des termes négatifs, les déficiences doivent être ajoutées des deux côtés jusqu'à ce que tous les termes des deux côtés soient positifs. Ensuite, nous devons prendre les égaux des égaux jusqu'à ce qu'il ne reste qu'un terme de chaque côté.
Diophantus d'Alexandrie était un mathématicien alexandrin, auteur d'une série de livres appelée Arithmetica, dont beaucoup sont aujourd'hui perdus. Ses textes traitent de la résolution d'équations algébriques. En lisant l'édition de l'Arithmetica de Diophantus par Claude Gaspard Bachet de Méziriac, Pierre de Fermat a conclu qu'une certaine équation considérée par Diophantus n'avait pas de solutions, et a noté en marge sans élaboration qu'il avait trouvé « une preuve véritablement merveilleuse de cette proposition », maintenant appelée le Dernier Théorème de Fermat. Cela a conduit à d'énormes progrès en théorie des nombres, et l'étude des équations de Diophantus « géométrie diophantienne » et des approximations diophantiennes restent des domaines importants de la recherche mathématique. Diophantus a inventé le terme παρισότης parisotes pour désigner une égalité approximative. Ce terme a été rendu par adaequalitas en latin, et est devenu la technique d'adégalité développée par Pierre de Fermat pour trouver les maxima de fonctions et les tangentes à des courbes. Diophantus était le premier mathématicien grec qui reconnaissait les fractions comme des nombres ; ainsi il permettait les nombres rationnels positifs pour les coefficients et les solutions. À l'usage moderne, les équations diophantiennes sont généralement des équations algébriques avec des coefficients entiers, pour lesquelles des solutions entières sont recherchées.
Biographie
On sait peu de choses sur la vie de Diophantus. Il a vécu à Alexandrie, Égypte, pendant l'époque romaine, probablement entre 200 et 214 après J.-C. jusqu'à 284 ou 298. Diophantus a été diversement décrit par les historiens comme soit grec, soit peut-être égyptien hellénisé, soit babylonien hellénisé. Beaucoup de ces identifications peuvent provenir d'une confusion avec le rhéteur du 4e siècle Diophantus l'Arabe. Une grande partie de nos connaissances sur la vie de Diophantus provient d'une anthologie grecque du 5e siècle de jeux numériques et de énigmes créée par Métrodore. L'un des problèmes parfois appelé son épitaphe déclare :
« Ici repose Diophantus », admirez la merveille.
Par l'art algébrique, la pierre dit quel âge il avait :
« Dieu lui donna son enfance un sixième de sa vie,
Un douzième de plus dans sa jeunesse quand la barbe poussa ;
Et puis un septième avant le mariage commencé ;
En cinq ans naquit un fils radieux.
Hélas, le cher enfant du maître et du sage
Après avoir atteint la moitié de la vie de son père, le sort cruel l'enleva. Après avoir consolé son destin par la science des nombres pendant quatre ans, il termina sa vie. »
Cette énigme implique que l'âge x de Diophantus peut être exprimé comme
x = x/6 + x/12 + x/7 + 5 + x/2 + 4
ce qui donne à x une valeur de 84 ans. Cependant, l'exactitude de ces informations ne peut pas être confirmée indépendamment.
Dans la culture populaire, cette énigme était l'énigme n°142 dans Professor Layton and Pandora's Box comme l'une des énigmes les plus difficiles à résoudre du jeu, qui devait être déverrouillée en résolvant d'abord d'autres énigmes.
Arithmetica
Arithmetica est l'ouvrage majeur de Diophantus et l'ouvrage le plus important sur l'algèbre en mathématiques grecques. C'est une collection de problèmes donnant des solutions numériques d'équations à la fois déterminées et indéterminées. Des treize livres originaux dont Arithmetica était composée, seuls six ont survécu, bien que certains croient que quatre livres arabes découverts en 1968 sont aussi de Diophantus. Certains problèmes diophantiens d'Arithmetica ont été trouvés dans des sources arabes.
Il convient de noter ici que Diophantus n'a jamais utilisé de méthodes générales dans ses solutions. Hermann Hankel, éminent mathématicien allemand, a fait la remarque suivante concernant Diophantus.
« Notre auteur Diophantos ne présente pas la moindre trace d'une méthode générale et complète ; chaque problème exige une méthode spéciale qui refuse de fonctionner même pour les problèmes les plus étroitement liés. Pour cette raison, il est difficile pour le savant moderne de résoudre le 101e problème même après avoir étudié 100 solutions de Diophantos ».
Histoire
Comme beaucoup d'autres traités mathématiques grecs, Diophantus a été oublié en Europe occidentale pendant ce qu'on appelle le Moyen Âge, car l'étude du grec ancien, et l'alphabétisation en général, avaient considérablement décliné. La portion de l'Arithmetica grecque qui a survécu, cependant, a été, comme tous les textes grecs anciens transmis au monde du début de la modernité, copiée par, et ainsi connue des, savants byzantins médiévaux. Les scholies sur Diophantus par le savant grec byzantin John Chortasmenos 1370–1437 sont conservées avec un commentaire complet écrit par le savant grec antérieur Maximos Planudes 1260–1305, qui a produit une édition de Diophantus dans la bibliothèque du monastère Chora à Constantinople byzantine. De plus, une partie de l'Arithmetica a probablement survécu dans la tradition arabe voir ci-dessus. En 1463, le mathématicien allemand Regiomontanus a écrit :
Personne n'a encore traduit du grec en latin les treize livres de Diophantus, dans lesquels réside la fleur même de toute l'arithmétique . . . .
Arithmetica a été traduite pour la première fois du grec en latin par Bombelli en 1570, mais la traduction n'a jamais été publiée. Cependant, Bombelli a emprunté de nombreux problèmes pour son propre livre Algebra. L'editio princeps d'Arithmetica a été publiée en 1575 par Xylander. La traduction latine la plus connue d'Arithmetica a été réalisée par Bachet en 1621 et est devenue la première édition latine largement disponible. Pierre de Fermat en possédait un exemplaire, l'a étudié et y a ajouté des notes en marge.
Notes marginales de Fermat et Chortasmenos
L'édition de 1621 d'Arithmetica par Bachet a acquis une célébrité après que Pierre de Fermat eut écrit son célèbre « Dernier Théorème » en marge de sa copie :
Si un entier n est supérieur à 2, alors an + bn = cn n'a pas de solutions en entiers non nuls a, b et c. J'ai une preuve véritablement merveilleuse de cette proposition, que cette marge est trop étroite pour contenir.
La preuve de Fermat n'a jamais été retrouvée, et le problème de trouver une preuve pour le théorème est resté non résolu pendant des siècles. Une preuve a finalement été trouvée en 1994 par Andrew Wiles après y avoir travaillé pendant sept ans. On croit que Fermat n'avait pas réellement la preuve qu'il prétendait avoir. Bien que la copie originale dans laquelle Fermat avait écrit ceci soit perdue aujourd'hui, le fils de Fermat a édité l'édition suivante de Diophantus, publiée en 1670. Bien que le texte soit par ailleurs inférieur à l'édition de 1621, les annotations de Fermat — y compris le « Dernier Théorème » — ont été imprimées dans cette version.
Fermat n'était pas le premier mathématicien qui se sentirait poussé à écrire ses propres notes marginales sur Diophantus ; le savant byzantin John Chortasmenos 1370–1437 avait écrit « Que ton âme, Diophantus, soit avec Satan en raison de la difficulté de tes autres théorèmes et particulièrement du théorème présent » à côté du même problème.
Autres ouvrages
Diophantus a écrit plusieurs autres livres en plus d'Arithmetica, mais très peu d'entre eux ont survécu.
Les Porismes
Diophantus lui-même se réfère à un ouvrage qui consiste en une collection de lemmes appelée Les Porismes ou Porismata, mais ce livre est entièrement perdu.
Bien que Les Porismes soient perdus, nous connaissons trois lemmes qui s'y trouvaient, car Diophantus s'y réfère dans l'Arithmetica. Un lemme déclare que la différence des cubes de deux nombres rationnels est égale à la somme des cubes de deux autres nombres rationnels, c'est-à-dire que pour tout a et b, avec a > b, il existe c et d, tous positifs et rationnels, tels que
a³ − b³ = c³ + d³.
Nombres polygonaux et éléments géométriques
On sait également que Diophantus a écrit sur les nombres polygonaux, un sujet d'un grand intérêt pour Pythagore et les Pythagoriciens. Des fragments d'un livre traitant des nombres polygonaux subsistent.
Un livre appelé Préliminaires aux Éléments Géométriques a été traditionnellement attribué à Héron d'Alexandrie. Il a été étudié récemment par Wilbur Knorr, qui a suggéré que l'attribution à Héron est incorrecte, et que le véritable auteur est Diophantus.
Influence
L'ouvrage de Diophantus a eu une grande influence dans l'histoire. Les éditions d'Arithmetica ont exercé une profonde influence sur le développement de l'algèbre en Europe à la fin du seizième siècle et aux 17e et 18e siècles. Diophantus et ses ouvrages ont aussi influencé les mathématiques arabes et jouissaient d'une grande renommée parmi les mathématiciens arabes. L'ouvrage de Diophantus a créé une base pour des travaux en algèbre et en réalité une grande partie des mathématiques avancées est basée sur l'algèbre. L'étendue de son influence sur l'Inde est débattue.
Diophantus est souvent appelé « le père de l'algèbre » parce qu'il a considérablement contribué à la théorie des nombres, à la notation mathématique, et parce que Arithmetica contient l'utilisation connue la plus ancienne de notation syncopée.
Analyse diophantienne
Aujourd'hui, l'analyse diophantienne est le domaine d'étude où des solutions entières sont recherchées pour les équations, et les équations diophantiennes sont des équations polynomiales avec des coefficients entiers pour lesquelles seules des solutions entières sont recherchées. Il est généralement plutôt difficile de dire si une équation diophantienne donnée est soluble. La plupart des problèmes dans Arithmetica mènent à des équations quadratiques. Diophantus a considéré 3 types différents d'équations quadratiques : ax² + bx = c, ax² = bx + c, et ax² + c = bx. La raison pour laquelle il y avait trois cas pour Diophantus, tandis qu'aujourd'hui nous n'en avons qu'un seul, est qu'il n'avait aucune notion de zéro et il évitait les coefficients négatifs en considérant les nombres donnés a, b, c comme tous positifs dans chacun des trois cas ci-dessus. Diophantus était toujours satisfait d'une solution rationnelle et n'exigeait pas un nombre entier, ce qui signifie qu'il acceptait les fractions comme solutions à ses problèmes. Diophantus considérait les solutions de racine carrée négative ou irrationnelle « inutiles », « insignifiantes », et même « absurdes ». Pour donner un exemple spécifique, il appelle l'équation 4 = 4x + 20 « absurde » parce qu'elle aboutirait à une valeur négative pour x. Il ne cherchait qu'une solution pour une équation quadratique. Il n'y a aucune preuve qui suggère que Diophantus ait même réalisé qu'il pourrait y avoir deux solutions à une équation quadratique. Il a également considéré des équations quadratiques simultanées.
Notation mathématique
Diophantus a fait des avancées importantes en notation mathématique, devenant la première personne connue à utiliser la notation et le symbolisme algébriques. Avant lui, tous écrivaient les équations complètement. Diophantus a introduit un symbolisme algébrique qui utilisait une notation abrégée pour les opérations fréquentes, et une abréviation pour l'inconnue et pour les puissances de l'inconnue. L'historien mathématique Kurt Vogel déclare :
Le symbolisme que Diophantus a introduit pour la première fois, et qui s'est sans doute développé lui-même, fournissait un moyen court et facilement compréhensible d'exprimer une équation... Puisqu'une abréviation est aussi utilisée pour le mot « égal », Diophantus a fait un pas fondamental de l'algèbre verbale vers l'algèbre symbolique.
Bien que Diophantus ait fait des avancées importantes en symbolisme, il lui manquait toujours la notation nécessaire pour exprimer les méthodes plus générales. Cela a fait que son travail s'est davantage préoccupé des problèmes particuliers plutôt que des situations générales. Certaines des limitations de la notation de Diophantus sont qu'il n'avait que la notation pour une seule inconnue et, quand les problèmes impliquaient plus d'une seule inconnue, Diophantus était réduit à exprimer « première inconnue », « deuxième inconnue », etc. en paroles. Il manquait également un symbole pour un nombre général n. Là où nous écririons 12 + 6n/n² − 3, Diophantus doit recourir à des constructions comme : « ... un nombre sextuple augmenté de douze, qui est divisé par la différence par laquelle le carré du nombre dépasse trois ».
L'algèbre avait encore un long chemin à parcourir avant que des problèmes très généraux puissent être notés et résolus de manière succincte.
