Arieh Iserles : amener les ordinateurs à respecter la géométrie

Une planète en orbite autour d'une étoile conserve son énergie exactement, pour l'éternité. Simulez cette orbite sur un ordinateur à l'aide d'une méthode numérique standard et l'énergie dérivera — la planète décrivant une spirale lente vers le soleil ou vers l'obscurité, non pas parce que la physique l'exige, mais parce que l'arithmétique fuit. Arieh Iserles fait partie du groupe de mathématiciens qui ont jugé cela inacceptable et ont entrepris de concevoir des algorithmes qui obéissent aux lois encodées par leurs équations.

De Jérusalem au Cam

Iserles est né le 2 septembre 1947 et a étudié à l'Université hébraïque de Jérusalem et à l'Université Ben-Gourion du Néguev. Ses travaux de doctorat portaient sur les méthodes numériques pour les équations différentielles ordinaires raides, un sujet qui semble étroit et qui est tout sauf cela.

La raideur est la pathologie qui apparaît chaque fois qu'un système contient des processus se déroulant à des échelles de temps radicalement différentes : une réaction chimique où une étape prend des microsecondes et une autre des heures. Les méthodes numériques naïves sont contraintes de ramper au rythme du processus le plus rapide, même lorsqu'il ne s'y passe rien d'intéressant, et le calcul devient inaccessible. Résoudre correctement la raideur a été l'un des problèmes pratiques centraux du calcul scientifique du vingtième siècle, et c'est un excellent terrain d'entraînement pour quiconque va consacrer sa carrière au décalage entre mathématiques continues et machines discrètes.

Cambridge, avec un détour

Il est arrivé à Cambridge en tant que chercheur junior au King's College en 1978, y est devenu chercheur senior en 1982 et a passé l'année 1986–1987 comme professeur associé à l'Université de l'Arizona. Il est ensuite retourné à Cambridge et y est resté.

Il a été maître de conférences à Cambridge de 1987 à 1995, lecteur en analyse numérique de 1995 à 1999, et depuis 1999, il est professeur d'analyse numérique des équations différentielles au Département de mathématiques appliquées et de physique théorique (DAMTP), le département où ont travaillé Dirac et Hawking. De 2010 à 2015, il a dirigé le Centre d'analyse de Cambridge.

Intégration géométrique

L'idée centrale de la vie de recherche d'Iserles est qu'une équation différentielle porte une structure et qu'une bonne méthode numérique doit la préserver.

Certains systèmes conservent l'énergie. D'autres conservent le volume dans l'espace des phases. D'autres encore évoluent sur une variété courbée — un corps rigide en rotation, par exemple, dont l'état réside sur le groupe des rotations et ne peut jamais le quitter, peu importe le temps qu'on attend. Les méthodes numériques conventionnelles ignorent tout de cela. Elles approchent le pas suivant et acceptent une petite erreur, et au fil d'une longue simulation, ces petites erreurs s'accumulent pour donner un non-sens qualitatif : la matrice de rotation cesse d'être une rotation, l'énergie dérive, l'orbite est fausse d'une manière qu'aucune précision supplémentaire ne pourra corriger.

L'intégration numérique géométrique s'attaque à ce problème en concevant des méthodes qui respectent exactement les invariants : des intégrateurs symplectiques pour les systèmes hamiltoniens, des méthodes préservant le volume et des schémas construits de telle sorte qu'un système résidant sur un groupe de Lie y demeure. Les contributions personnelles d'Iserles s'articulent autour de l'outillage pour cela : les approximations de l'exponentielle de matrice, en particulier les méthodes qui associent correctement une algèbre de Lie à son groupe de Lie, ainsi que l'analyse des flux isospectraux et des structures de Lie–Poisson.

L'oscillation, l'autre cas difficile

Son deuxième grand domaine est celui des phénomènes hautement oscillatoires — des problèmes où la solution ondule très rapidement.

C'est un véritable cauchemar pour l'analyse numérique standard, et ce pour une raison contre-intuitive. La quadrature ordinaire fonctionne par échantillonnage ; si la fonction oscille plus vite que vous n'échantillonnez, vous n'apprenez rien, et la réponse classique consiste à échantillonner plus vite, ce qui coûte d'autant plus cher que le problème empire. Iserles a travaillé sur des méthodes de discrétisation efficaces pour les intégrales hautement oscillatoires — une famille de techniques où, de manière remarquable, la haute oscillation peut être transformée d'obstacle en avantage, la précision s'améliorant à mesure que la fréquence augmente plutôt de s'effondrer. Il a étendu cette approche aux équations différentielles et aux spectres d'opérateurs, et a développé des intégrateurs exponentiels pour les équations comportant plusieurs échelles d'oscillation en interaction.

Son vaste champ de recherche englobe les équations différentielles ordinaires et aux dérivées partielles, la théorie de l'approximation, les polynômes orthogonaux, les équations fonctionnelles et la dynamique computationnelle.

Le gardien

Iserles a occupé une position exceptionnellement centrale dans les institutions de son domaine. Il est rédacteur en chef d'Acta Numerica, le volume de revue annuel qui constitue pour l'essentiel la boussole de la discipline, et rédacteur en chef du IMA Journal of Numerical Analysis, en plus de siéger dans divers conseils. De 1997 à 2000, il a présidé la Society for Foundations of Computational Mathematics.

Il a également écrit A First Course in the Numerical Analysis of Differential Equations, publié par Cambridge University Press et aujourd'hui dans sa deuxième édition — le livre qui, pour un très grand nombre d'étudiants diplômés dans le monde entier, leur a enseigné la matière.

Pourquoi qualifie-t-on Arieh de génie

La qualité intellectuelle à l'œuvre est un type d'inversion précis : prendre de manière répétée la propriété qui rend un problème difficile et la transformer en la propriété qui fait fonctionner la solution. Le cas le plus évident est l'intégration hautement oscillatoire, où le cadre standard traite l'oscillation rapide comme l'ennemi à suréchantillonner, tandis que les méthodes sur lesquelles Iserles a travaillé s'améliorent à mesure que l'oscillation augmente. L'intégration géométrique implique le même mouvement à un niveau supérieur : cesser de traiter une équation différentielle comme une formule à approcher et commencer à la traiter comme un objet géométrique dont la structure doit être préservée. De tels recadrages sont plus rares et plus difficiles que la virtuosité technique, et ils changent ce qu'une communauté entière croit être en train de faire.

La reconnaissance, pesée honnêtement, est substantielle mais axée sur le service. La médaille Onsager a été décernée en 1999. La médaille David Crighton a suivi en 2012, attribuée explicitement « pour services rendus aux mathématiques et à la communauté mathématique ». Le prix SIAM pour service distingué à la profession a été attribué en 2014. Deux de ces trois distinctions concernent, selon leurs propres motivations, le service plutôt que la découverte.

Le contre-argument est donc bien réel. Aucun théorème ne porte le nom d'Iserles de la même manière qu'un théorème de Runge–Kutta ou de Newton. L'intégration géométrique a été construite par une communauté — Hairer, Lubich, Wanner, Marsden, McLachlan et d'autres à ses côtés — et il en est un contributeur important, non son auteur unique. Son influence mesurable la plus marquante est peut-être éditoriale et pédagogique : diriger Acta Numerica, diriger l'IMA Journal, rédiger le cours d'introduction de référence. Aucune source accessible ne mentionne qu'on l'ait qualifié de génie. C'est un mathématicien appliqué remarquable et un bâtisseur d'institutions exceptionnel, et la seconde moitié de cette phrase pèse plus lourd que ses admirateurs ne l'admettent généralement.

Héritage

Iserles demeure au DAMTP, dans le département où il travaille depuis 1987.

Le programme qu'il a contribué à promouvoir l'a discrètement emporté. Les intégrateurs symplectiques et préservant la structure sont désormais la norme en dynamique moléculaire, en mécanique céleste, en physique des plasmas et dans la conception d'accélérateurs — partout où une simulation doit tourner très longtemps tout en restant crédible à la fin. L'idée sous-jacente est tout aussi philosophique que technique : une méthode numérique n'est pas un instrument neutre destiné à approcher une équation. C'est un petit système dynamique à part entière et, si vous le construisez sans précaution, il vous racontera l'histoire d'un univers qui n'existe pas.