Samuel James Patterson: Una medida nombrada dos veces

Un matemático de veintiocho años que trabajaba en los conjuntos límite de los grupos fuchsianos —los intrincados patrones de contorno, a menudo fractales, que dejan ciertos grupos de simetría que actúan sobre el plano hiperbólico— introdujo en 1976 una forma de asignar una medida precisa a esos límites. Tres años después, el matemático estadounidense Dennis Sullivan redescubrió de forma independiente y amplió drásticamente la misma idea en un entorno diferente, y la herramienta que ambos construyeron juntos, la medida de Patterson-Sullivan, ha sido fundamental para la geometría hiperbólica y la teoría ergódica desde entonces. Samuel James Patterson construyó la primera mitad de esa historia casi en solitario, antes de que el nombre de Sullivan se asociara a ella.

De Belfast a Cambridge

Patterson nació el 7 de septiembre de 1948 en Belfast, Irlanda del Norte, y asistió al Grosvenor High School en el este de la ciudad antes de ingresar en el Clare College de Cambridge, donde obtuvo su licenciatura en matemáticas en 1970. Permaneció en Cambridge para realizar estudios de doctorado bajo la dirección de Alan Beardon, un especialista en análisis complejo y geometría hiperbólica, y completó una tesis titulada «The Limit Set of a Fuchsian Group» —la semilla directa de su posterior y más conocido trabajo— que finalizó en 1974 y le fue concedida formalmente en 1975. Su hermano, David Joseph Patterson, se convirtió en un destacado taxónomo, lo que evidencia una disposición familiar hacia la ciencia rigurosa y clasificatoria que se expresó en dos disciplinas muy diferentes.

De los grupos fuchsianos a un nuevo tipo de medida

Un grupo fuchsiano es un grupo discreto de simetrías del plano hiperbólico, y su «conjunto límite» —los puntos de la frontera hacia los que se acumulan sus órbitas— suele ser un objeto fractal delicado que se resiste a la medición geométrica ordinaria. En 1976, trabajando en Gotinga poco después de su doctorado, Patterson introdujo una construcción, llamada ahora medida de Patterson, que asigna una medida natural y bien comportada exactamente a dichos conjuntos límite, construida a partir de la propia dinámica del grupo en lugar de ser impuesta desde el exterior. Dennis Sullivan generalizó la construcción a partir de 1979 para los grupos kleinianos —el análogo tridimensional de los grupos fuchsianos, que actúan sobre el espacio hiperbólico en lugar del plano hiperbólico— y para la teoría más amplia de los flujos geodésicos, y la construcción combinada ha pasado a conocerse como la medida de Patterson-Sullivan. Hoy en día se sitúa en los cimientos de una amplia área de la teoría ergódica moderna y la geometría hiperbólica, ofreciendo a los matemáticos una forma de traducir preguntas sobre la geometría y la dinámica de la acción de un grupo en preguntas sobre una medida concreta y calculable: una de las herramientas estándar utilizadas para estudiar la distribución de geodésicas cerradas, la entropía y la estructura fina de las variedades hiperbólicas.

Refutación de una conjetura de Kummer

El otro gran logro de Patterson provino de un rincón completamente diferente de la teoría de números. En 1978, trabajando con el teórico de números británico Roger Heath-Brown, refutó la conjetura de Kummer sobre las sumas de Gauss cúbicas, una predicción del siglo XIX, que se remonta a Ernst Kummer, sobre la distribución estadística de los argumentos de ciertas sumas exponenciales cúbicas que surgen en el estudio de la reciprocidad cúbica. Revocar una conjetura centenaria de un matemático de la talla de Kummer es ya un resultado significativo, pero Patterson y Heath-Brown fueron más allá al proponer una conjetura revisada propia para reemplazarla, una predicción que permaneció abierta durante más de cuatro décadas hasta que fue finalmente demostrada en 2021 por Alexander Dunn y Maksym Radziwiłł, un llamativo ejemplo de una conjetura que sobrevive a su creador durante décadas antes de ser vindicada.

Una carrera en Gotinga

Tras su doctorado, Patterson pasó por una serie de puestos prestigiosos pero temporales —Gotinga (1974-1975), de regreso en Cambridge (1975-1979) y luego Harvard, donde ocupó el cargo de profesor asistente Benjamin Peirce (1979-1981)— antes de establecerse en 1981 en una cátedra de matemáticas en la Universidad de Gotinga, la universidad alemana con una de las historias más célebres de las matemáticas, que abarca desde Gauss y Riemann hasta Hilbert y Emmy Noether. Patterson permaneció en Gotinga durante treinta años, hasta su jubilación en 2011, trabajando en grupos discontinuos, grupos fuchsianos y kleinianos, funciones zeta de Ruelle y Selberg, grupos metaplécticos, funciones theta y sumas exponenciales; una cartera de investigación que abarca la geometría hiperbólica y la teoría analítica de números y que refleja una amplitud técnica inusualmente amplia para una sola carrera. Editó el Journal de Crelle, una de las revistas de investigación matemática más antiguas y prestigiosas, de 1982 a 1994, y fue elegido miembro de la Academia de Ciencias y Humanidades de Gotinga en 1998, donde desde entonces ha formado parte del comité ejecutivo de los Archivos Leibniz en Hannover. La London Mathematical Society le concedió su Premio Whitehead en 1984, otorgado a matemáticos en las primeras etapas de su carrera por contribuciones sobresalientes, y sus colegas celebraron su sexagésimo cumpleaños con una conferencia en julio de 2009, seguida de un volumen homenaje de ensayos en su honor en 2012.

Por qué se llama genio a Samuel

El logro específico que le otorga a Patterson tal calificativo es la construcción, a una edad temprana y de manera mayoritariamente independiente, de un objeto matemático genuinamente nuevo —la medida de Patterson— que captura información dinámica de un modo geométrico como ninguna herramienta anterior lo había hecho, y que otro destacado matemático, Dennis Sullivan, consideró lo suficientemente importante como para redescubrirlo de forma independiente y construir sobre él toda una teoría adicional apenas tres años después. Ese tipo de redescubrimiento convergente por parte de un matemático independiente de primer orden es una de las señales externas más fiables de que una idea se adelantaba genuinamente a su tiempo y no era meramente ingeniosa. La refutación de la conjetura de Kummer añade un segundo hilo de evidencia no relacionado: revocar una predicción establecida del siglo XIX y reemplazar ella misma con otra mejor que sobrevivió más de cuarenta años antes de ser probada demuestra el mismo instinto para ver una estructura que otros habían pasado por alto, aplicado a la teoría de números en lugar de a la geometría. La limitación honesta es que, al igual que con varios matemáticos en activo de su generación, el reconocimiento de Patterson —un premio Whitehead otorgado relativamente pronto en su carrera, la pertenencia a la Academia y cargos editoriales— se sitúa por debajo del nivel más alto de los honores matemáticos, y gran parte de su influencia opera a través de un aparato técnico (medidas de conjuntos límite, funciones zeta de grupos discretos) que permanece en gran medida invisible fuera de la geometría y la teoría de números especializadas.

Legado

La medida de Patterson-Sullivan es hoy en día una herramienta estándar que se enseña en cursos de posgrado sobre geometría hiperbólica y teoría ergódica en todo el mundo, citada en trabajos que van mucho más allá de los grupos fuchsianos en los que Patterson la estudió originalmente, y la demostración de Dunn-Radziwiłł de la conjetura de Patterson-Heath-Brown en 2021 confirmó, casi medio siglo después, que el instinto de Patterson sobre dónde residía realmente la verdad del problema de Kummer había sido correcto desde el principio.