Raghavan Narasimhan: El hombre que resolvió el problema de Levi

En 1962, el Congreso Internacional de Matemáticos invitó a un joven analista indio a pronunciar una de sus conferencias. Tenía veinticinco años y aún le faltaba un año para recibir su doctorado. La invitación no fue una cortesía: dos años antes, Raghavan Narasimhan había resuelto el problema de Levi para espacios complejos, una cuestión que llevaba medio siglo abierta y que había derrotado a una generación de los mejores analistas de Europa. Pasó las siguientes cinco décadas en Chicago escribiendo los libros de texto de los cuales todos los demás aprendieron la materia.

Madrás y el padre Racine

Nació el 31 de agosto de 1937 en Madrás. Su formación matemática comenzó allí, en el Loyola College, donde se licenció en 1957 y estudió bajo la tutela del padre Racine, el jesuita francés que introdujo el análisis continental en un país que había dado a Ramanujan pero poca infraestructura institucional. Narasimhan se trasladó a Bombay, a la órbita del Instituto Tata, y se doctoró en la Universidad de Bombay en 1963 bajo la dirección del teórico de números K. Chandrasekharan.

Vale la pena detenerse en la cronología. El doctorado llegó en 1963. Los teoremas llegaron en 1960 y 1961.

El problema de Levi

El análisis complejo de una variable es una materia de una rigidez hermosa: una función holomorfa en un disco está determinada por una cantidad extraordinariamente pequeña de datos. En varias variables, la rigidez se vuelve extraña. Algunas regiones del espacio complejo tienen la propiedad de que toda función holomorfa en ellas se extiende automáticamente a una región más por mayor —la región no es, por así decirlo, el hogar natural de sus propias funciones. Las regiones que son sus propios hogares naturales se llaman dominios de holomorfia, y en 1910 E. E. Levi preguntó cuáles son, conjeturando que una condición geométrica en la frontera llamada seudoconvexidad es la respuesta.

La cuestión resultó ser brutalmente difícil. Kiyoshi Oka la resolvió finalmente para dominios en el espacio euclidiano complejo en las décadas de 1940 y 1950. Hans Grauert se encargó después de las variedades complejas. Lo que quedaba era el caso general y más delicado: los espacios complejos, a los que se permite tener singularidades (puntos donde el espacio no es localmente un buen fragmento de C^n, sino algo pellizcado o cruzado). Las singularidades rompen las herramientas. Los artículos de Narasimhan, «The Levi problem for complex spaces» en Mathematische Annalen en 1961 y su continuación, cerraron ese caso. El resultado sigue citándose como Grauert-Narasimhan, que es la forma que tiene la disciplina de registrar que el último y más difícil paso fue suyo.

Inmersión

Su otro teorema con nombre propio llegó primero, en 1960, en un artículo en el American Journal of Mathematics titulado «Imbedding of Holomorphically Complete Complex Spaces». Las variedades de Stein son los objetos analítico-complejos que contienen suficientes funciones holomorfas como para separar sus propios puntos (la contrapartida analítica de las variedades algebraicas afines y el marco natural de toda la materia). Definidas de forma abstracta, son difíciles de visualizar. Narasimhan demostró que toda variedad de Stein de dimensión compleja n admite una inmersión holomorfa propia e inyectiva en C^{2n+1}.

Esa frase realiza una labor inmensa. Dice que una variedad de Stein abstracta nunca es exótica: siempre puede realizarse concretamente como un subconjunto cerrado de un espacio euclidiano complejo ordinario de dimensión acotada, estando la cota determinada únicamente por n. Es el análogo analítico-complejo del teorema de inmersión de Whitney en topología diferencial, y convirtió una clase de objetos definidos abstractamente en cosas que se pueden tocar. El resultado lleva su nombre.

Chicago

Fue investigador visitante en el Instituto de Estudios Avanzados de Princeton en 1966 y se incorporó al claustro de matemáticas de la Universidad de Chicago en 1969, donde permaneció durante más de cuatro décadas y de la que se jubiló como profesor emérito. Sus intereses se ampliaron en lugar de estrecharse: además de las varias variables complejas, trabajó en teoría analítica de números y, en la década de 1990, colaboró con Charles Fefferman de Princeton, ganador de la Medalla Fields, en artículos en la confluencia del análisis y la geometría algebraica real, una unión de dos de los analistas más formidables técnicamente con vida. La Universidad de Ginebra le concedió un doctorado honoris causa en 1986.

Los libros

Narasimhan escribió seis libros, y su influencia puede acabar superando a la de los teoremas. Analysis on Real and Complex Manifolds (1968), el volumen de conferencias de Chicago Several Complex Variables (1971) y Complex Analysis in One Variable (2001) son concisos, precisos y famosos por su exigencia: libros que asumen que el lector quiere la ruta correcta más corta en lugar de consuelo. Generaciones de estudiantes de posgrado aprendieron varias variables complejas a partir de ellos. Los colegas recordaban a un hombre que se tomaba igual de en serio la música clásica y el vino, y que, según recordó alguien, «poseía una perspicacia verdaderamente asombrosa en el análisis».

Falleció el 3 de octubre de 2015, a la edad de setenta y ocho años, tras una breve enfermedad.

Por qué se llama genio a Raghavan

Seamos concretos, porque ahí es donde reside la cuestión. Dos resultados, ambos obtenidos antes de cumplir los veinticinco años y antes de tener el doctorado, cada uno de los cuales cerró un problema en lugar de hacerlo avanzar.

El teorema de inmersión es el más limpio. Responde a una pregunta de la forma «¿cuán salvajes pueden ser estos objetos?» con un «nada salvajes» —toda variedad de Stein de dimensión n se sitúa de forma adecuada dentro de C^{2n+1}. Los resultados de esa índole son raros y desproporcionadamente útiles, porque permiten que todos los demás dejen de preocuparse por toda una categoría de patología posible.

El problema de Levi es más difícil y más difícil de explicar. Oka y Grauert se habían ocupado de los casos suaves; el residuo eran los espacios complejos con singularidades, exactamente allí donde la maquinaria estándar se vuelve traicionera. Terminar un problema de cincuenta años en su caso más degenerado, siendo estudiante de posgrado y frente a los mejores analistas de Europa, es para lo que se acuñó la palabra «genio». La invitación del ICM a un joven de veinticinco años sin doctorado es el veredicto de la propia profesión, emitido en su momento.

El contraargumento es de escala más que de calidad. Narasimhan no fundó un campo ni reorientó una disciplina; resolvió dos problemas difíciles dentro de un campo que otros habían definido, y luego pasó cincuenta años productivos pero menos espectaculares trabajando en él. No ganó ninguna Medalla Fields, ningún premio Wolf, ningún Abel; su mayor distinción fue un título honorífico de Ginebra. Puesto al lado de los matemáticos que cambiaron de qué trata la materia, su historial es el de un analista excepcionalmente potente con dos resultados magníficos al principio y una larga y distinguida meseta después: un genio en el sentido estricto y local, que vio a los veintitrés años lo que nadie más podía ver, más que una mente que rediseñó el mapa.

Legado

El teorema de inmersión de Narasimhan y la solución de Grauert-Narasimhan al problema de Levi son elementos permanentes de las varias variables complejas, que se enseñan allí donde se imparte la materia. Sus libros de texto son el segundo legado, y el que ha tocado a más personas: generaciones de matemáticos conocieron por primera vez el análisis complejo a través de su prosa rigurosa. El tercero es institucional y fácil de pasar por alto: formó parte de la cohorte que el padre Racine y K. Chandrasekharan produjeron en las décadas de 1950 y 1960, la generación que convirtió a las matemáticas indias en una presencia permanente en la literatura internacional en lugar de en un prodigio ocasional.