Pierre de Fermat

Dividir un cubo en otros dos cubos, una cuarta potencia, o en general cualquier potencia en dos potencias del mismo denominador superior al segundo es imposible, y ciertamente he encontrado una prueba admirable de esto, pero el margen es demasiado estrecho para contenerla.

Pierre de Fermat francés: ; entre el 31 de octubre y el 6 de diciembre de 1607 – 12 de enero de 1665 fue un abogado francés en el Parlement de Toulouse, Francia, y un matemático a quien se le atribuye el mérito de desarrollos tempranos que condujeron al cálculo infinitesimal, incluyendo su técnica de adecuación. En particular, es reconocido por su descubrimiento de un método original para encontrar las ordenadas mayores y menores de líneas curvas, que es análogo al del cálculo diferencial, entonces desconocido, y su investigación en teoría de números. Hizo contribuciones notables a la geometría analítica, probabilidad y óptica. Es mejor conocido por su principio de Fermat para la propagación de la luz y su Último Teorema de Fermat en teoría de números, que describió en una nota al margen de una copia de la Arithmetica de Diofanto.

Biografía

Fermat nació en 1607 en Beaumont-de-Lomagne, Francia—la mansión de finales del siglo XV donde nació Fermat es ahora un museo. Era de Gascuña, donde su padre, Dominique Fermat, era un acaudalado comerciante de cuero y sirvió tres términos de un año como uno de los cuatro cónsules de Beaumont-de-Lomagne. Su madre fue Claire de Long. Pierre tenía un hermano y dos hermanas y casi con certeza fue criado en la ciudad de su nacimiento. Hay poca evidencia sobre su educación escolar, pero probablemente fue en el Collège de Navarre en Montauban.

Asistió a la Universidad de Orléans desde 1623 y recibió una licenciatura en derecho civil en 1626, antes de mudarse a Burdeos. En Burdeos, comenzó sus primeras investigaciones matemáticas serias, y en 1629 entregó una copia de su restauración de De Locis Planis de Apolonio a uno de los matemáticos allí. Ciertamente, en Burdeos estuvo en contacto con Beaugrand y durante este tiempo produjo trabajos importantes sobre máximos y mínimos que entregó a Étienne d'Espagnet quien claramente compartía intereses matemáticos con Fermat. Allí fue muy influenciado por el trabajo de François Viète.

En 1630, compró el cargo de consejero en el Parlement de Toulouse, una de las Cortes Superiores de Judicatura en Francia, y fue juramentado por la Grand Chambre en mayo de 1631. Ocupó este cargo durante el resto de su vida. Fermat así se convirtió en acreedor a cambiar su nombre de Pierre Fermat a Pierre de Fermat. El 1 de junio de 1631, Fermat se casó con Louise de Long, una cuarta prima de su madre Claire de Fermat née de Long. Los Fermat tuvieron ocho hijos, cinco de los cuales sobrevivieron a la edad adulta: Clément-Samuel, Jean, Claire, Catherine y Louise.

Fluido en seis idiomas francés, latín, occitano, griego clásico, italiano y español, Fermat fue elogiado por sus versos escritos en varios idiomas y su consejo fue buscado con entusiasmo respecto a la enmienda de textos griegos. Comunicó la mayor parte de su trabajo en cartas a amigos, a menudo con poca o ninguna prueba de sus teoremas. En algunas de estas cartas a sus amigos, exploró muchas de las ideas fundamentales del cálculo antes que Newton o Leibniz. Fermat era un abogado capacitado que hacía de las matemáticas más un pasatiempo que una profesión. Sin embargo, hizo contribuciones importantes a la geometría analítica, probabilidad, teoría de números y cálculo. El secreto era común en los círculos matemáticos europeos de la época. Esto naturalmente condujo a disputas de prioridad con contemporáneos como Descartes y Wallis.

Anders Hald escribe que, "La base de las matemáticas de Fermat eran los tratados clásicos griegos combinados con los nuevos métodos algebraicos de Vieta."

Obra

El trabajo pionero de Fermat en geometría analítica Methodus ad disquirendam maximam et minimam et de tangentibus linearum curvarum fue circulado en forma manuscrita en 1636 basado en resultados logrados en 1629, anterior a la publicación de la famosa La géométrie de Descartes 1637, que explotó el trabajo. Este manuscrito fue publicado póstumamente en 1679 en Varia opera mathematica, como Ad Locos Planos et Solidos Isagoge Introducción a Loci Planos y Sólidos.

En Methodus ad disquirendam maximam et minimam y en De tangentibus linearum curvarum, Fermat desarrolló un método de adecuación para determinar máximos, mínimos y tangentes a varias curvas que era equivalente al cálculo diferencial. En estos trabajos, Fermat obtuvo una técnica para encontrar los centros de gravedad de varias figuras planas y sólidas, lo que condujo a su trabajo posterior en cuadratura.

Fermat fue la primera persona conocida en haber evaluado la integral de funciones de potencia general. Con su método, pudo reducir esta evaluación a la suma de series geométricas. La fórmula resultante fue útil para Newton, y luego para Leibniz, cuando desarrollaron independientemente el teorema fundamental del cálculo.

En teoría de números, Fermat estudió la ecuación de Pell, números perfectos, números amistosos y lo que más tarde se conocería como números de Fermat. Fue mientras investigaba números perfectos que descubrió el pequeño teorema de Fermat. Inventó un método de factorización—el método de factorización de Fermat—y popularizó la prueba por descenso infinito, que utilizó para probar el teorema del triángulo rectángulo de Fermat que incluye como corolario el Último Teorema de Fermat para el caso n = 4. Fermat desarrolló el teorema de dos cuadrados y el teorema de números poligonales, que establece que cada número es una suma de tres números triangulares, cuatro números cuadrados, cinco números pentagonales, y así sucesivamente.

Aunque Fermat afirmó haber probado todos sus teoremas aritméticos, pocos registros de sus pruebas han sobrevivido. Muchos matemáticos, incluyendo Gauss, dudaron de varios de sus reclamos, especialmente dada la dificultad de algunos de los problemas y los métodos matemáticos limitados disponibles para Fermat. Su famoso Último Teorema fue descubierto por primera vez por su hijo en el margen de la copia de su padre de una edición de Diofanto, e incluía la declaración de que el margen era demasiado pequeño para incluir la prueba. Parece que no había escrito a Marin Mersenne al respecto. Fue probado por primera vez en 1994, por Sir Andrew Wiles, utilizando técnicas no disponibles para Fermat.

Aunque estudió cuidadosamente e inspiró en Diofanto, Fermat comenzó una tradición diferente. Diofanto estaba satisfecho de encontrar una solución única a sus ecuaciones, incluso si fuera una no deseada fraccionaria. Fermat estaba interesado solo en soluciones enteras a sus ecuaciones diofánticas, y buscaba todas las soluciones generales posibles. A menudo probó que ciertas ecuaciones no tenían solución, lo que generalmente desconcertaba a sus contemporáneos.

A través de su correspondencia en 1654, Fermat y Blaise Pascal ayudaron a sentar las bases de la teoría de la probabilidad. De esta breve pero productiva colaboración sobre el problema de los puntos, ahora se les considera los fundadores conjuntos de la teoría de la probabilidad. Se le atribuye a Fermat haber realizado el primer cálculo de probabilidad riguroso. En él, un jugador profesional le preguntó por qué si apostaba a obtener al menos un seis en cuatro lanzamientos de un dado ganaba a largo plazo, mientras que apostar a obtener al menos un doble seis en 24 lanzamientos de dos dados resultaba en su pérdida. Fermat demostró matemáticamente por qué era así.

El primer principio variacional en física fue articulado por Euclides en su Catoptrica. Dice que, para la trayectoria de la luz que se refleja en un espejo, el ángulo de incidencia es igual al ángulo de reflexión. Herón de Alejandría más tarde demostró que este camino daba la longitud más corta y el tiempo más corto. Fermat refinó y generalizó esto a "la luz viaja entre dos puntos dados a lo largo del camino de menor tiempo" ahora conocido como el principio del menor tiempo. Por esto, Fermat es reconocido como una figura clave en el desarrollo histórico del principio fundamental de la menor acción en física. Los términos principio de Fermat y funcional de Fermat fueron nombrados en reconocimiento de este papel.

Muerte

Pierre de Fermat murió el 12 de enero de 1665, en Castres, en el presente departamento de Tarn. La escuela preparatoria más antigua y prestigiosa de Toulouse lleva su nombre: el Lycée Pierre-de-Fermat . El escultor francés Théophile Barrau hizo una estatua de mármol llamada Hommage à Pierre Fermat como tributo a Fermat, ahora en el Capitole de Toulouse.

• Lugar de entierro de Pierre de Fermat en Place Jean Jaurés, Castres. Traducción de la placa: en este lugar fue enterrado el 13 de enero de 1665, Pierre de Fermat, consejero en la Chambre de l'Édit una corte establecida por el Edicto de Nantes y matemático de gran renombre, célebre por su teorema, an + bn ≠ cn para n>2
• Monumento a Fermat en Beaumont-de-Lomagne
• Busto en la Salle Henri-Martin en Capitole de Toulouse
• Testamento holográfico escrito a mano por Fermat el 4 de marzo de 1660—conservado en los Archivos Departamentales de Haute-Garonne, en Toulouse

Evaluación de su obra

Junto con René Descartes, Fermat fue uno de los dos principales matemáticos de la primera mitad del siglo XVII. Según Peter L. Bernstein, Fermat "era un matemático de poder raro. Fue un inventor independiente de la geometría analítica, contribuyó al desarrollo temprano del cálculo, realizó investigaciones sobre el peso de la tierra, y trabajó en la refracción de la luz y la óptica. En el curso de lo que resultó ser una correspondencia extendida con Blaise Pascal, hizo una contribución significativa a la teoría de la probabilidad. Pero el logro más destacado de Fermat fue en la teoría de números."

Con respecto al trabajo de Fermat en análisis, Isaac Newton escribió que sus propias ideas tempranas sobre cálculo vinieron directamente de "la forma de Fermat de dibujar tangentes."

Del trabajo de teoría de números de Fermat, el matemático del siglo XX André Weil escribió que: "lo que poseemos de sus métodos para lidiar con curvas de género 1 es notablemente coherente; sigue siendo la base de la teoría moderna de tales curvas. Cae naturalmente en dos partes; la primera ... puede ser convenientemente llamada un método de ascenso, en contraste con el descenso que se considera justamente como propio de Fermat." Con respecto al uso de ascenso de Fermat, Weil continuó: "La novedad consistió en el uso vastamente extendido que Fermat hizo del mismo, dándole al menos un equivalente parcial de lo que obtendríamos por el uso sistemático de las propiedades de grupo teórico de los puntos racionales en un cúbica estándar." Con su don para las relaciones numéricas y su habilidad para encontrar pruebas para muchos de sus teoremas, Fermat esencialmente creó la teoría moderna de números.