Kiyoshi Itō: El matemático que dotó de cálculo a la aleatoriedad

Durante más de una década después de que Kiyoshi Itō publicara el artículo que fundó el cálculo estocástico moderno, casi nadie lo leyó. «No conozco a nadie que haya leído este artículo a fondo cuando apareció, salvo mi amigo G. Maruyama», admitió más tarde. Seis décadas después, la fórmula de ese artículo —una forma de hacer cálculo sobre procesos demasiado irregulares para el cálculo ordinario— funcionaba silenciosamente en todas las mesas de fijación de precios de opciones de los bancos del mundo y, en 2006, a los 91 años, Itō se convirtió en la primera persona galardonada con el Premio Gauss, el honor más reciente de las matemáticas destinado específicamente a trabajos cuyas consecuencias en el mundo real empequeñecieron las expectativas de su autor.

El proyecto secundario de un estadístico en tiempo de guerra

Itō nació el 7 de septiembre de 1915 en Hokusei-cho, en la prefectura de Mie, Japón. Estudió matemáticas en la Universidad Imperial de Tokio, donde se graduó en 1938, y como estudiante se sintió insatisfecho con la literatura sobre teoría de la probabilidad de la época, que a su juicio carecía de una definición rigurosa de variable aleatoria. Esa insatisfacción se convirtió en un programa de investigación. Desde 1938 trabajó en la Oficina de Estadística del Gabinete de Japón, un puesto de funcionario en tiempos de guerra que, de manera inusual, le dio cobertura institucional para llevar a cabo investigaciones teóricas puras como actividad paralela; fue allí, en 1942, donde escribió el artículo «On Stochastic Processes» (Sobre procesos estocásticos), que reconstruyó desde los primeros principios la teoría de la integración estocástica —integrar respecto a un proceso que fluctúa aleatoriamente en lugar de una curva suave—.

Construyendo un cálculo para el movimiento browniano

El objeto matemático que Itō necesitaba domar era el movimiento browniano, el errático zigzag utilizado por primera vez para modelar el temblor de los granos de polen en el agua: una trayectoria tan rugosa que tiene variación no acotada y no puede diferenciarse en el sentido ordinario. La solución de Itō constaba de tres partes vinculadas. Definió un nuevo tipo de integral, ahora llamada integral de Itō, que dio sentido a la integración frente al movimiento browniano. Luego la utilizó para formular ecuaciones diferenciales estocásticas —expresiones de la forma dX(t) = σ(X(t))dB(t) + b(X(t))dt— que permiten a los matemáticos describir y manipular directamente las trayectorias de muestreo aleatorias individuales, en lugar de limitarse a las distribuciones de probabilidad que esas trayectorias puedan producir. Y dedujo lo que el campo llama ahora el lema de Itō, una fórmula, df(X(t)) = f′(X(t))dX(t) + ½f″(X(t))σ²(X(t))dt, sobre cómo cambia con el tiempo una función de un proceso aleatorio, es decir, la regla de la cadena del cálculo ordinario reconstruida para dar cuenta del término adicional de la aleatoriedad. Entre ambas, estos resultados sintetizaron dos tradiciones previamente separadas: el pensamiento probabilístico intuitivo y de trayectorias muestrales del matemático francés Paul Lévy y los fundamentos rigurosos basados en la teoría de la medida establecidos por Andrei Kolmogorov.

Una carrera a través de continentes

Itō se doctoró en 1945 y, tras la guerra, enseñó como profesor asistente en la Universidad Imperial de Nagoya de 1943 a 1952. Se trasladó a la Universidad de Kioto en 1952, donde ocupó una cátedra hasta 1979, alternada con nombramientos internacionales: dos años en el Instituto de Estudios Avanzados de Princeton a partir de 1954, una cátedra en la Universidad de Aarhus en Dinamarca de 1966 a 1969, y otra en la Universidad Cornell de 1969 a 1975. A partir de 1979 enseñó en la Universidad Gakushuin. A través de estos puestos, su artículo de 1942, que en su día pasó desapercibido, fue cosechando lentamente un seguimiento internacional, y los propios estudiantes de Itō en Japón —entre ellos Shinzo Watanabe, Masatoshi Fukushima y Hiroshi Kunita— ampliaron sus métodos a espacios de dimensión infinita y procesos de Markov simétricos generales, convirtiendo a Japón en uno de los principales centros mundiales de la teoría de la probabilidad.

Reconocimiento y el Premio Gauss

Los honores se acumularon de manera constante en la última etapa de la carrera de Itō: el Premio Asahi de Japón en 1978, el Premio Imperial y el Premio de la Academia de Japón de ese mismo año, el Premio Fujiwara en 1985, el Premio Wolf en Matemáticas en 1987 y el Premio Kioto en Ciencias Básicas en 1998. Fue elegido miembro de la Academia Nacional de Ciencias de Estados Unidos y de la Academia de Ciencias de Francia, y recibió doctorados honoris causa por la Universidad de Warwick y la ETH Zúrich. El punto culminante llegó en 2006, cuando la Unión Matemática Internacional creó el Premio Carl Friedrich Gauss específicamente para honrar trabajos matemáticos de sobresaliente importancia práctica, y nombró a Itō —entonces de 91 años— como su primer receptor en el Congreso Internacional de Matemáticos en Madrid. El propio Itō pareció sorprendido por el encuadre del honor: «el hecho de que mi trabajo haya sido elegido para el Premio Gauss por aplicaciones de las matemáticas es verdaderamente inesperado y profundamente gratificante», afirmó, añadiendo que siempre había considerado que su investigación pertenecía a las matemáticas puras.

De la pizarra al parqué de negociación

Esa modestia infravaloraba el alcance de lo que había construido. El cálculo de Itō se convirtió en la infraestructura matemática subyacente a las finanzas cuantitativas modernas: el modelo de valoración de opciones de Black-Scholes y el campo más amplio de las finanzas estocásticas se basan directamente en la resolución de ecuaciones diferenciales estocásticas de tipo Itō para los precios de los activos. Más allá de las finanzas, su marco se convirtió en una herramienta estándar en la teoría de filtrado y el procesamiento de señales, en la genética de poblaciones para modelar la deriva genética, y en la física estadística para describir sistemas azotados por el ruido aleatorio. Pocos resultados matemáticos del siglo XX generados en una oficina de estadística gubernamental, en un artículo que casi nadie leyó inicialmente, pueden presumir de encontrarse hoy dentro del software de todos los grandes bancos.

Por qué se llama genio a Kiyoshi

El argumento a favor de la genialidad de Itō es estrecho pero sólido: no selimitó a resolver un problema abierto, sino que construyó el lenguaje —la integral, la ecuación, la regla de diferenciación— que un campo posterior entero necesitaba antes de poder siquiera formular sus preguntas. Los matemáticos que trabajaron en su tradición describen su construcción de 1942 como el momento en que el análisis estocástico se volvió riguroso en lugar de heurístico, uniendo la intuición de Lévy con el formalismo de Kolmogorov en herramientas lo suficientemente precisas como para soportar el peso que más tarde depositaron en ellas economistas y físicos. La honesta complicación es que esto no fue una perspicacia fulminante reconocida al instante: le tomó más de una década, según el propio Itō, antes de que más de uno o dos matemáticos se involucraran seriamente con el trabajo, y su explosiva importancia práctica en las finanzas solo se hizo visible décadas más tarde, impulsada sustancialmente por economistas (Fischer Black, Myron Scholes, Robert Merton) que aplicaban herramientas que Itō había construido para otros propósitos. Su genio, en otras palabras, fue la construcción paciente y solitaria de una maquinaria exacta cuyo valor total ni siquiera él anticipó; más cercana a la infraestructura fundamental de un ingeniero que a una única prueba deslumbrante.

Legado

Itō falleció el 10 de noviembre de 2008 en Kioto, a los 93 años. El vocabulario que introdujo —integral de Itō, proceso de Itō, lema de Itō— está hoy tan integrado en la teoría de la probabilidad, la física y las finanzas que se enseña a los estudiantes de posgrado apenas mencionando su origen en una oficina de estadística japonesa en tiempos de guerra. El Premio Gauss que coronó su carrera se otorga ahora anualmente a matemáticos cuya obra teórica ha transformado un campo externo; la propia vida de Itō proporcionó el modelo que el premio fue inventado para honrar.