Carl Gustav Jacob Jacobi fue un matemático alemán que realizó contribuciones fundamentales a las funciones elípticas, dinámica, ecuaciones diferenciales, determinantes y teoría de números.
Jacobi fue el primer matemático judío en ser nombrado profesor en una universidad alemana.
Biografía
Jacobi nació de ascendencia judía asquenazí en Potsdam el 10 de diciembre de 1804. Era el segundo de cuatro hijos del banquero Simon Jacobi. Su hermano mayor Moritz von Jacobi también llegaría a ser conocido posteriormente como ingeniero y físico. Inicialmente fue educado en casa por su tío Lehman, quien lo instruyó en lenguas clásicas y elementos de matemáticas. En 1816, el joven Jacobi de doce años fue al Potsdam Gymnasium, donde los estudiantes recibían todas las materias estándar: lenguas clásicas, historia, filología, matemáticas, ciencias, etc. Como resultado de la buena educación que había recibido de su tío, así como de sus propias habilidades notables, después de menos de medio año Jacobi fue trasladado al último año a pesar de su corta edad. Sin embargo, como la Universidad no aceptaba estudiantes menores de 16 años, tuvo que permanecer en la clase senior hasta 1821. Utilizó este tiempo para avanzar sus conocimientos, mostrando interés en todas las materias, incluyendo latín, griego, filología, historia y matemáticas. Durante este período también hizo sus primeros intentos de investigación, tratando de resolver la ecuación de quinto grado por radicales.
En 1821 Jacobi fue a estudiar a la Universidad de Berlin, donde inicialmente dividió su atención entre sus pasiones por la filología y las matemáticas. En filología participó en los seminarios de Böckh, llamando la atención del profesor con su talento. Jacobi no siguió muchas clases de matemáticas en la Universidad, ya que el bajo nivel de matemáticas en la Universidad de Berlin en esa época las hacía demasiado elementales para él. Sin embargo, continuó con su estudio privado de las obras más avanzadas de Euler, Lagrange y Laplace. Para 1823 entendió que necesitaba tomar una decisión entre sus intereses competidores y eligió dedicar toda su atención a las matemáticas. En el mismo año se calificó para enseñar en la escuela secundaria y se le ofreció un puesto en el Joachimsthal Gymnasium en Berlin. Jacobi decidió en su lugar continuar trabajando hacia un puesto universitario. En 1825 obtuvo el grado de Doctor en Filosofía con una disertación sobre la descomposición de fracciones parciales de fracciones racionales defendida ante una comisión dirigida por Enno Dirksen. Continuó inmediatamente con su Habilitación y al mismo tiempo se convirtió al cristianismo. Ahora calificado para enseñar clases universitarias, el Jacobi de 21 años dio una conferencia en 1825/26 sobre la teoría de curvas y superficies en la Universidad de Berlin.
En 1827 Jacobi se convirtió en profesor y en 1829, profesor titular de matemáticas en la Universidad de Königsberg, y ocupó la cátedra hasta 1842. Sufrió un colapso por sobrecarga de trabajo en 1843. Luego visitó Italia durante unos meses para recuperar su salud. A su regreso se trasladó a Berlin, donde vivió como pensionista real hasta su muerte. Durante la Revolución de 1848 Jacobi estuvo políticamente involucrado e presentó sin éxito su candidatura parlamentaria en nombre de un club Liberal. Esto llevó, después de la supresión de la revolución, a que se cortara su subvención real, pero su fama y reputación eran tales que pronto se reanudó. En 1836 había sido elegido miembro extranjero de la Real Academia Sueca de Ciencias.
Jacobi murió en 1851 por una infección de viruela. Su tumba se conserva en un cementerio en la sección Kreuzberg de Berlin, el Friedhof I der Dreifaltigkeits-Kirchengemeinde 61 Baruther Street. Su tumba está cerca de la de Johann Encke, el astrónomo. El cráter Jacobi en la Luna recibe su nombre.
Contribuciones científicas
Uno de los mayores logros de Jacobi fue su teoría de funciones elípticas y su relación con la función theta elíptica. Esto fue desarrollado en su gran tratado Fundamenta nova theoriae functionum ellipticarum 1829, y en artículos posteriores en Crelle's Journal. Las funciones theta son de gran importancia en la física matemática debido a su papel en el problema inverso para flujos periódicos y cuasiperiódicos. Las ecuaciones de movimiento son integrables en términos de funciones elípticas de Jacobi en los casos bien conocidos del péndulo, el trompo de Euler, el trompo de Lagrange simétrico en un campo gravitacional y el problema de Kepler de movimiento planetario en un campo gravitacional central.
También realizó contribuciones fundamentales al estudio de ecuaciones diferenciales y a la mecánica clásica, notablemente la teoría Hamilton–Jacobi.
Fue en el desarrollo algebraico donde residió principalmente el poder particular de Jacobi, e hizo contribuciones importantes de este tipo en muchas áreas de las matemáticas, como lo demuestra su larga lista de artículos en Crelle's Journal y en otros lugares a partir de 1826. Se dice que dijo a sus estudiantes que al buscar un tema de investigación, uno debe 'Invertir, siempre invertir' 'man muss immer umkehren', reflejando su creencia de que invertir resultados conocidos puede abrir nuevos campos para la investigación, por ejemplo invertir integrales elípticas y enfocarse en la naturaleza de las funciones elípticas y theta.
En su artículo de 1835, Jacobi probó el siguiente resultado fundamental clasificando funciones periódicas incluyendo funciones elípticas: Si una función univariada de un solo valor es multiperiódica, entonces tal función no puede tener más de dos períodos, y la relación de los períodos no puede ser un número real. Descubrió muchas de las propiedades fundamentales de las funciones theta, incluyendo la ecuación funcional y la fórmula del triple producto de Jacobi, así como muchos otros resultados en series q e series hipergeométricas.
La solución del problema de inversión de Jacobi para el mapa de Abel hiperellíptico por Weierstrass en 1854 requirió la introducción de la función theta hiperellíptica y posteriormente la función theta de Riemann general para curvas algebraicas de género arbitrario. El toro complejo asociado a un género g por la red de períodos se conoce como la variedad Jacobiana. Este método de inversión, y su posterior extensión por Weierstrass y Riemann a curvas algebraicas arbitrarias, puede verse como una generalización de género superior de la relación entre integrales elípticas y las funciones elípticas de Jacobi o Weierstrass.
Jacobi fue el primero en aplicar funciones elípticas a la teoría de números, por ejemplo probando el teorema de dos cuadrados de Fermat y el teorema de cuatro cuadrados de Lagrange, y resultados similares para 6 y 8 cuadrados. Su otro trabajo en teoría de números continuó el trabajo de C. F. Gauss: nuevas pruebas de reciprocidad cuadrática e introducción del símbolo de Jacobi; contribuciones a leyes de reciprocidad superior, investigaciones de fracciones continuas, e invención de las sumas de Jacobi.
También fue uno de los primeros fundadores de la teoría de determinantes. En particular, inventó el determinante Jacobiano formado a partir de las n2 derivadas parciales de n funciones dadas de n variables independientes, que juega un papel importante en cambios de variables en integrales múltiples, y en muchas investigaciones analíticas. En 1841 reintrodujo la notación de derivada parcial ∂ de Legendre, que se convertiría en estándar.
Fue uno de los primeros en introducir y estudiar los polinomios simétricos que ahora se conocen como polinomios de Schur, dando la llamada fórmula bialternante para estos, que es un caso especial de la fórmula de carácter de Weyl, y derivando las identidades de Jacobi–Trudi. También descubrió la fórmula de Desnanot–Jacobi para determinantes, que subyace en las relaciones de Plucker para Grassmanianos.
Los estudiosos de campos vectoriales, teoría de Lie, mecánica Hamiltoniana y álgebras de operadores a menudo encuentran la identidad de Jacobi, el análogo de la asociatividad para la operación de corchete de Lie.
La teoría planetaria y otros problemas dinámicos particulares igualmente ocuparon su atención de vez en cuando. Al contribuir a la mecánica celeste, introdujo la integral de Jacobi 1836 para un sistema de coordenadas sideral. Su teoría del último multiplicador se trata en Vorlesungen über Dynamik, editado por Alfred Clebsch 1866.
Carl Gustav dejó muchos manuscritos, porciones de los cuales han sido publicados a intervalos en Crelle's Journal. Sus otras obras incluyen Commentatio de transformatione integralis duplicis indefiniti in formam simpliciorem 1832, Canon arithmeticus 1839, y Opuscula mathematica 1846–1857. Su Gesammelte Werke 1881–1891 fue publicado por la Academia de Berlin.
Dato curioso
El nombre de Carl Gustav ocasionalmente se escribe como Carolus Gustavus Iacobus Iacobi en sus libros en latín, y su primer nombre a veces se da como Karl.
.jpg)
