Si solo tuviera los Teoremas! Entonces encontraría las pruebas fácilmente.
Georg Friedrich Bernhard Riemann fue un matemático alemán que hizo contribuciones al análisis, la teoría de números y la geometría diferencial. En el campo del análisis real, es principalmente conocido por la primera formulación rigurosa de la integral, la integral de Riemann, y su trabajo sobre series de Fourier. Sus contribuciones al análisis complejo incluyen notablemente la introducción de las superficies de Riemann, abriendo nuevos caminos en un tratamiento natural y geométrico del análisis complejo. Su famoso artículo de 1859 sobre la función de conteo de primos, que contiene el enunciado original de la hipótesis de Riemann, se considera uno de los artículos más influyentes en la teoría analítica de números. A través de sus aportaciones pioneras a la geometría diferencial, Riemann sentó las bases de las matemáticas de la relatividad general. Muchos lo consideran uno de los mayores matemáticos de todos los tiempos.
Biografía
Primeros años
Riemann nació el 17 de septiembre de 1826 en Breselenz, un pueblo cerca de Dannenberg en el Reino de Hanover. Su padre, Friedrich Bernhard Riemann, era un pobre pastor luterano en Breselenz que luchó en las Guerras Napoleónicas. Su madre, Charlotte Ebell, murió antes de que sus hijos llegaran a la edad adulta. Riemann era el segundo de seis hijos, tímido y que sufría de numerosos colapsos nerviosos. Riemann mostró habilidades matemáticas excepcionales, como capacidades de cálculo, desde temprana edad pero sufrió de timidez y miedo a hablar en público.
Educación
Durante 1840, Riemann fue a Hanover para vivir con su abuela y asistir a la escuela media del liceo. Después de la muerte de su abuela en 1842, asistió a la escuela secundaria en el Johanneum Lüneburg. En la escuela secundaria, Riemann estudió la Biblia intensivamente, pero a menudo se distraía con las matemáticas. Sus maestros quedaron asombrados por su habilidad experta para realizar operaciones matemáticas complicadas, en las que a menudo superaba el conocimiento de su instructor. En 1846, a los 19 años, comenzó a estudiar filología y teología cristiana para convertirse en pastor y ayudar con las finanzas de su familia.
Durante la primavera de 1846, su padre, después de reunir suficiente dinero, envió a Riemann a la Universidad de Göttingen, donde planeaba estudiar hacia un título en Teología. Sin embargo, una vez allí, comenzó a estudiar matemáticas bajo Carl Friedrich Gauss, específicamente sus conferencias sobre el método de los mínimos cuadrados. Gauss le recomendó a Riemann que abandonara su trabajo teológico y entrara en el campo matemático; después de obtener la aprobación de su padre, Riemann se trasladó a la Universidad de Berlin en 1847. Durante su tiempo de estudio, Carl Gustav Jacob Jacobi, Peter Gustav Lejeune Dirichlet, Jakob Steiner y Gotthold Eisenstein estaban enseñando. Se quedó en Berlin durante dos años y regresó a Göttingen en 1849.
Academia
Riemann impartió sus primeras conferencias en 1854, que fundaron el campo de la geometría riemanniana y con ello sentaron las bases para la teoría general de la relatividad de Albert Einstein. En 1857, hubo un intento de promover a Riemann al estado de profesor extraordinario en la Universidad de Göttingen. Aunque este intento fracasó, resultó en que Riemann finalmente recibiera un salario regular. En 1859, tras la muerte de Dirichlet quien ocupaba la cátedra de Gauss en la Universidad de Göttingen, fue promovido a director del departamento de matemáticas de la Universidad de Göttingen. También fue el primero en sugerir usar dimensiones más altas que apenas tres o cuatro para describir la realidad física.
En 1862 se casó con Elise Koch y tuvieron una hija Ida Schilling que nació el 22 de diciembre de 1862.
Familia protestante y muerte en Italia
Riemann huyó de Göttingen cuando los ejércitos de Hanover y Prusia chocaron allí en 1866. Murió de tuberculosis durante su tercer viaje a Italia en Selasca, ahora una aldea de Verbania en el lago Maggiore, donde fue enterrado en el cementerio de Biganzolo Verbania.
Riemann fue un cristiano dedicado, hijo de un ministro protestante, y vio su vida como matemático como otra forma de servir a Dios. Durante su vida, se mantuvo fiel a su fe cristiana y la consideró como el aspecto más importante de su vida. En el momento de su muerte, estaba recitando el Padre Nuestro con su esposa y murió antes de que terminaran de rezar. Mientras tanto, en Göttingen su ama de llaves desechó algunos de los papeles en su oficina, incluyendo mucho trabajo inédito. Riemann se negó a publicar trabajo incompleto, y algunas percepciones profundas pueden haberse perdido para siempre.
La lápida de Riemann en Biganzolo Italia se refiere a Romanos 8:28:
Aquí descansa en Dios
Georg Friedrich Bernhard Riemann
Profesor en Göttingen
nacido en Breselenz, 17 de septiembre de 1826
murió en Selasca, 20 de julio de 1866
Para aquellos que aman a Dios, todas las cosas deben trabajar juntas para lo mejor
Aquí descansa en Dios Georg Friedrich Bernhard Riemann Profesor en Göttingen nacido en Breselenz, 17 de septiembre de 1826 murió en Selasca, 20 de julio de 1866 Para aquellos que aman a Dios, todas las cosas deben trabajar juntas para lo mejor
Geometría riemanniana
Los trabajos publicados de Riemann abrieron áreas de investigación que combinaban análisis con geometría. Estos posteriormente se convertirían en partes importantes de las teorías de geometría riemanniana, geometría algebraica y teoría de variedades complejas. La teoría de las superficies de Riemann fue elaborada por Felix Klein y particularmente por Adolf Hurwitz. Esta área de las matemáticas es parte de la base de la topología y todavía se está aplicando de nuevas maneras a la física matemática.
En 1853, Gauss le pidió a Riemann, su estudiante, que preparara una Habilitationsschrift sobre los fundamentos de la geometría. Durante muchos meses, Riemann desarrolló su teoría de dimensiones superiores y entregó su conferencia en Göttingen en 1854 titulada "Ueber die Hypothesen welche der Geometrie zu Grunde liegen" "Sobre las hipótesis en que se basa la geometría". Solo fue publicado doce años después en 1868 por Dedekind, dos años después de su muerte. Su recepción inicial parece haber sido lenta pero ahora se reconoce como uno de los trabajos más importantes en geometría.
El tema fundado por este trabajo es la geometría riemanniana. Riemann encontró la forma correcta de extender a n dimensiones la geometría diferencial de superficies, que el propio Gauss demostró en su teorema egregium. El objeto fundamental se llama tensor de curvatura de Riemann. Para el caso de superficies, esto puede reducirse a un número escalar, positivo, negativo o cero; los casos no nulos y constantes siendo modelos de las geometrías no euclidianas conocidas.
La idea de Riemann fue introducir una colección de números en cada punto del espacio, es decir, un tensor que describiría cuánto estaba doblado o curvado. Riemann encontró que en cuatro dimensiones espaciales, uno necesita una colección de diez números en cada punto para describir las propiedades de una variedad, sin importar cuán distorsionada sea. Esta es la famosa construcción central de su geometría, conocida ahora como métrica riemanniana.
Análisis complejo
En su disertación, estableció una base geométrica para el análisis complejo a través de las superficies de Riemann, mediante las cuales funciones multivaluadas como el logaritmo con infinitas hojas o la raíz cuadrada con dos hojas podrían convertirse en funciones uno-a-uno. Las funciones complejas son funciones armónicas, es decir, satisfacen la ecuación de Laplace y por lo tanto las ecuaciones de Cauchy-Riemann en estas superficies y se describen por la ubicación de sus singularidades y la topología de las superficies. El "género" topológico de las superficies de Riemann está dado por g = w / 2 − n + 1 parámetros los "móduli".
Sus contribuciones a esta área son numerosas. El famoso teorema de la aplicación de Riemann dice que un dominio simplemente conexo en el plano complejo es "equivalente biholomorfamente", es decir, hay una biyección entre ellos que es holomorfa con una inversa holomorfa a C o al interior del círculo unitario. La generalización del teorema a las superficies de Riemann es el famoso teorema de uniformización, que fue demostrado en el siglo XIX por Henri Poincaré y Felix Klein. Aquí también, las pruebas rigurosas se dieron primero después del desarrollo de herramientas matemáticas más ricas en este caso, la topología. Para la prueba de la existencia de funciones en las superficies de Riemann utilizó una condición de minimalidad, que llamó el principio de Dirichlet. Karl Weierstrass encontró una brecha en la prueba: Riemann no se había dado cuenta de que su suposición de trabajo de que el mínimo existía podría no funcionar; el espacio funcional podría no ser completo y por lo tanto la existencia de un mínimo no estaba garantizada. A través del trabajo de David Hilbert en el Cálculo de Variaciones, el principio de Dirichlet fue finalmente establecido. De lo contrario, Weierstrass quedó muy impresionado con Riemann, especialmente con su teoría de funciones abelianas. Cuando apareció el trabajo de Riemann, Weierstrass retiró su artículo de la revista Crelle y no lo publicó. Tuvieron una buena comprensión cuando Riemann lo visitó en Berlin en 1859. Weierstrass animó a su estudiante Hermann Amandus Schwarz a encontrar alternativas al principio de Dirichlet en análisis complejo, en lo que tuvo éxito. Una anécdota de Arnold Sommerfeld muestra las dificultades que los matemáticos contemporáneos tenían con las nuevas ideas de Riemann. En 1870, Weierstrass había llevado la disertación de Riemann con él a unas vacaciones a Rigi y se quejó de que era difícil de entender. El físico Hermann von Helmholtz lo ayudó en el trabajo durante toda la noche y regresó con el comentario de que era "natural" y "muy comprensible".
Otros puntos destacados incluyen su trabajo sobre funciones abelianas y funciones theta en superficies de Riemann. Riemann había estado en competencia con Weierstrass desde 1857 para resolver los problemas inversos jacobianos para integrales abelianas, una generalización de integrales elípticas. Riemann utilizó funciones theta en varias variables y redujo el problema a la determinación de los ceros de estas funciones theta. Riemann también investigó matrices de período y las caracterizó a través de las "relaciones de período de Riemann" simétricas, parte real negativa. Por Ferdinand Georg Frobenius y Solomon Lefschetz la validez de esta relación es equivalente con la incrustación de C n / Ω, esta es la variedad jacobiana de la superficie de Riemann, un ejemplo de una variedad abeliana.
Muchos matemáticos como Alfred Clebsch continuaron el trabajo de Riemann sobre curvas algebraicas. Estas teorías dependían de las propiedades de una función definida en superficies de Riemann. Por ejemplo, el teorema de Riemann-Roch Roch era un estudiante de Riemann dice algo sobre el número de diferenciales linealmente independientes con condiciones conocidas en los ceros y polos de una superficie de Riemann.
Según Detlef Laugwitz, las funciones automorfas aparecieron por primera vez en un ensayo sobre la ecuación de Laplace en cilindros cargados eléctricamente. Riemann, sin embargo, utilizó tales funciones para mapeos conformes como mapear triángulos topológicos al círculo en su conferencia de 1859 sobre funciones hipergeométricas o en su tratado sobre superficies mínimas.
Análisis real
En el campo del análisis real, descubrió la integral de Riemann en su habilitación. Entre otras cosas, demostró que toda función continua a trozos es integrable. De manera similar, la integral de Stieltjes se remonta al matemático de Göttingen, y por lo tanto se denominan juntos la integral de Riemann-Stieltjes.
En su trabajo de habilitación sobre series de Fourier, donde siguió el trabajo de su maestro Dirichlet, demostró que las funciones integrables de Riemann son "representables" por series de Fourier. Dirichlet lo ha demostrado para funciones continuas diferenciables a trozos, por lo tanto con un número contable de puntos no diferenciables. Riemann dio un ejemplo de una serie de Fourier que representa una función continua casi en ninguna parte diferenciable, un caso no cubierto por Dirichlet. También probó el lema de Riemann-Lebesgue: si una función es representable por una serie de Fourier, entonces los coeficientes de Fourier tienden a cero para n grande.
El ensayo de Riemann fue también el punto de partida para el trabajo de Georg Cantor con series de Fourier, que fue el impulso para la teoría de conjuntos.
También trabajó con ecuaciones diferenciales hipergeométricas en 1857 usando métodos analíticos complejos y presentó las soluciones a través del comportamiento de caminos cerrados alrededor de singularidades descritos por la matriz de monodromía. La prueba de la existencia de tales ecuaciones diferenciales por matrices de monodromía conocidas previamente es uno de los problemas de Hilbert.
Teoría de números
Hizo algunas contribuciones famosas a la teoría analítica de números moderna. En un único artículo corto, el único que publicó sobre el tema de la teoría de números, investigó la función zeta que ahora lleva su nombre, estableciendo su importancia para entender la distribución de números primos. La hipótesis de Riemann fue una de las series de conjeturas que hizo sobre las propiedades de la función.
En el trabajo de Riemann, hay muchos más desarrollos interesantes. Demostró la ecuación funcional para la función zeta ya conocida por Leonhard Euler, detrás de la cual se encuentra una función theta. A través de la suma de esta función de aproximación sobre los ceros no triviales en la línea con parte real 1/2, dio una fórmula exacta, "explícita" para π x .
Riemann conocía el trabajo de Pafnuty Chebyshev sobre el Teorema de los Números Primos. Él h
